18.2.3 第1课时 正方形的性质 人教版八年级数学下册课件

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18.2.3 正方形第十八章 平行四边形第1课时 正方形的性质观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.情景引入你还能举出其他的例子吗？ 矩 形〃〃问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？问题引入正方形的性质正方形问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？正方形邻边相等矩形〃〃正方形〃〃 菱 形一个角是直角正方形∟正方形的定义： 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.归纳总结 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.ABCD证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD.证一证已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.ABCDO证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD.思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？对称性： .对称轴： .轴对称图形4条ABCD 矩形 菱形正方形平行四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：性质：1.正方形的四个角都是直角，四条边相等； 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.归纳总结 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方 形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O.求证： △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AC = BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.典例精析例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°.证明：∵ △BEC 是等边三角形，∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°.【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况．【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠DCB = 90°．∵ PB = PC，∴∠PBC =∠PCB．∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB，即∠ABP =∠DCP．又∵ AB = DC，PB = PC，∴△APB≌△DPC．证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴∠BAC =∠DAC = 45°．∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP．又∵AP = AB = AD，∴ DP = AP = AD，即 △APD 是等边三角形．∴∠DAP = 60°．∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°， ∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°．∴∠BAP = 2∠PAC．（2）求证：∠BAP = 2∠PAC． 例3 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 试说明：AP = EF.解:连接 PC，AC.又∵ PE⊥BC，PF⊥DC，∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC.∴ 四边形 PECF 是矩形.∴ PC = EF.∴ AP = PC.∴ AP = EF. 在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导.1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等BD练一练3.如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA＝2，求该正方形的周长与面积．解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2.在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得∴ 该正方形的周长为 4AD＝ ， 面积为 AD2＝8.2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是（　） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 A1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °.4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 .459022.5°第3题图第4题图455. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长．解：∵ 四边形 ABCD 为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC.∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE.在 Rt△ABC 中，∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm．6. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：∵ 四边形 ABCD 是正方形.∴ BC = DC，∠BCE = 90° .∴∠DCF = 180° - ∠BCE = 90°.∴∠BCE = ∠DCF.又∵ CE = CF.∴ △BCE≌△DCF.∴ BE = DF.ABDCFE延长BE交DE于点M，∵△BCE≌△DCF ，∴∠CBE = ∠CDF.∵∠DCF = 90°，∴∠CDF +∠F = 90°，∴∠CBE +∠F= 90°，∴∠BMF = 90°，∴ BE⊥DF.ABDFECM1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质性质定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.