18.2.3 正方形 人教版八年级数学下册教学课件

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知识要点1.正方形的性质2.正方形的判定问题2 菱形的性质有哪些？两组对边平行，四条边都相等.两组对角相等，邻角互补.互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.问题1 矩形的性质有哪些？对边平行且相等.四个角都是直角.对角线互相平分且相等.1.矩形经过怎样的变化就成为了正方形呢？矩形正方形邻边相等2.菱形经过怎样的变化就成为了正方形呢？有一个角是直角正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形既能由矩形变换得到又能由菱形变换得到，那么正方形具有哪些性质？下面我们对上述猜想进行证明如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD.下面我们对上述猜想进行证明如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.练一练：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交AO于F.求证：EF∥AB.练一练：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF，∴∠OEF＝45°，∴∠OEF＝∠OBA，∴EF∥AB.证明：①有一个角是直角的平行四边形②有三个角是直角的四边形③对角线相等的平行四边形 ①有一组邻边相等的平行四边形②四条边都相等的四边形③对角线互相垂直的平行四边形菱形的判别方法：矩形的判别方法：有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等 从对角线方面如何判定一个四边形是正方形呢？ 猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.对角线相等的菱形是正方形.练一练：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E， F. 求证：四边形CFDE是正方形．练一练：证法一：∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥CF.同理DF∥CE，∴四边形CFDE是平行四边形．∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴▱ CFDE是菱形．∵∠ACB＝90°，∴菱形CFDE是正方形．证法二：∵∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°，∴四边形CFDE是矩形．∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴矩形CFDE是正方形．1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　 ）　 A．四个角都相等 B．四条边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分B2.(中考·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．②④B3.(中考·龙东)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件___________________________，使四边形ABCD是正方形．∠BAD＝90°(答案不唯一)4.如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形． (1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO， ∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形．(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED， ∠DAC＝∠EAD＋∠AED， ∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO，BD＝2DO， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形.证明：正方形的性质定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.四个角都是直角，四条边都相等两条对角线相等且互相垂直平分，5种识别方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等四边形平行四边形矩形菱形正方形