18.1.2 第3课时 三角形的中位线 人教版八年级数学下册课件

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18.1.2 平行四边形判定第十八章 平行四边形第3课时 三角形的中位线学习目标1. 理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线 定理.（重点）2. 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算 问题.(重点）问题 平行四边形的性质和判定有哪些？复习引入边：角：对角线：① AB∥CD， AD∥BC② AB = CD， AD = BC③ AB∥CD， AB=CD∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADCAO = CO，DO = BO判定性质我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？三角形的中位线定理概念学习定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE，则线段 DE 就称为△ABC 的中位线.问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ABCDEF有三条，如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF.问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.问题3：如图，DE 是△ABC 的中位线， DE 与 BC 有怎样的关系？两条线段的关系位置关系数量关系分析：DE与BC的关系猜想：DE∥BC？ 度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．问题4：平行角平行四边形或线段相等一条线段是另一条线段的一半倍长短线分析1：猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 问题3：如何证明你的猜想？分析2：互相平分构造平行四边形倍长DE证明：延长 DE 到 F，使 EF = DE．连接 AF、CF、DC.∵ AE = EC，DE = EF ，∴ 四边形 ADCF 是平行四边形．F∴ 四边形 BCFD 是平行四边形，∴ DE∥BC， ． 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点. 求证： 证一证证明：延长 DE 到 F，使 EF = DE．F∴ 四边形 BCFD 是平行四边形．∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE =∠F，AD = CF.连接 FC．∵∠AED = ∠CEF，AE = CE，证法2：∴ DE∥BC， ． 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．三角形中位线定理：符号语言：归纳总结F重要发现： ①中位线 DE、EF、DF 把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和 BDEF，四边形 BFED 和 CFDE，四边形 ADFE 和 DFCE.②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.由此你知道怎样分蛋糕了吗典例精析例1 如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AC、BC 的中点，AF 平分∠CAB，交 DE 于点 F. 若 DF＝3，求 AC 的长解：∵ D、E 分别为 AC、BC 的中点，∴ DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵ AF 平分∠CAB，∴ ∠1＝∠3，∴ ∠1＝∠2，∴ AD＝DF＝3，∴ AC＝2AD＝2DF＝6.123解：∵ M、N、P 分别是 AD、BC、BD 的中点，∴ PN，PM 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，∴ PM = AB，PN = DC，PM∥AB，PN∥DC，∵ AB = CD，∴ PM = PN，∴ △PMN 是等腰三角形，∵ PM∥AB，PN∥DC， 例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，M、N、P 分别是 AD、BC、BD 的中点，∠ABD = 20°，∠BDC = 70°，求∠PMN 的度数．∴∠MPD =∠ABD = 20°，∠BPN = ∠BDC = 70°.∴∠MPN = ∠MPD + ( 180° − ∠NPB ) = 130°.∴∠PMN = ( 180°−130° )÷ 2 = 25°． 例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.证明：取 AC 的中点 F，连接 BF.∵ BD＝AB，∴ BF 为△ADC 的中位线，∴DC＝2BF.∵ E 为 AB 的中点，AB＝AC，∴ BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵ BC＝CB，∴ △EBC≌△FCB.∴ CE＝BF. ∴ CD＝2CE.F 构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键.练一练1. 如图，△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点．(1) 若 DE = 5，则 BC = ．(2) 若 ∠B = 65°，则∠ADE = °．(3) 若 DE + BC = 12，则 BC = ．106582.如图，A，B 两点被池塘隔开，在 A，B 外选一点 C，连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC 的中点 M，N，如果测得 MN = 20 m，那么 A，B 两点间的距离为______m．NM40例4 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA 中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形．四边形问题连接对角线三角形问题（三角形中位线定理）三角形的中位线与平行四边形的综合运用分析：证明：连接 AC.∵ E，F，G，H 分别为各边的中点，∴ EF∥HG， EF = HG.∴ EF∥AC，HG∥AC，∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.【变式题】如图，E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四边之中点．求证：四边形 EFGH 为平行四边形.证明：如图，连接 BD.∵ E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四边之中点，∴EH 是△ABD 的中位线， FG 是△BCD 的中位线，∴ EH∥BD 且 EH = BD， FG∥BD 且 FG = BD，∴ EH∥FG 且 EH = FG，∴ 四边形 EFGH 为平行四边形.证明：∵ D、E 分别为 AB、AC 的中点，∴ DE 为△ABC 的中位线，∴ DE∥BC，DE = BC.∵ CF = BC，∴ DE = FC．(2) 求 EF 的长.解：∵ DE∥FC，DE = FC，∴四边形 DEFC 是平行四边形，∴ DC = EF，∵ D 为 AB 的中点，等边△ABC 的边长是 2，∴ AD = BD = 1，CD⊥AB，BC = 2，∴ EF = DC = ．练一练1.如图，在△ABC 中，AB = 6，AC = 10，点 D，E，F分别是 AB，BC，AC 的中点，则四边形 ADEF 的周长为 （　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 D2.如图，▱ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，BD = 12，求△DOE 的周长.解：∵ ▱ABCD 的周长为36，∴ BC + CD = 18．∵ 点 E 是 CD 的中点，∴ OE 是△BCD 的中位线，DE = CD.∴ OE = BC.∴△DOE 的周长为 OD+OE+DE = (BD+BC+CD) = 15， 即△DOE 的周长为15．1.如图，在△ABC 中，点 E、F 分别为 AB、AC 的中点．若 EF 的长为 2，则 BC 的长为 （　　） A.1 B.2 C.4 D.8 2.如图，在 ▱ABCD 中，AD = 8，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，则 EF 等于 （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第2题图第1题图CC3.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边 AB、BC、 AC 的中点.(1) 若∠ADF = 50°，则∠B= °；(2) 已知三边 AB、BC、AC 分别为 12、10、8， 则△ DEF 的周长为 .5015ABCDFE4.在△ABC 中，E、F、G、H 分别为 AC、CD、 BD、 AB 的中点，若 AD = 3，BC = 8，则四边形 EFGH 的周长是 .115.如图，在△ABC 中，AB = 6 cm，AC = 10 cm，AD 平分∠BAC，BD⊥AD 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 F，E 为 BC 的中点，求 DE 的长．解：∵ AD 平分∠BAC，BD⊥AD，∴ AB = AF = 6 cm，BD = DF，∴ CF = AC - AF = 4 cm.∵ BD = DF，E 为 BC 的中点，∴ DE = CF = 2 cm．6.如图，E 为▱ABCD 中 DC 边的延长线上一点，且CE＝DC，连接 AE，分别交 BC、BD 于点 F、G，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF，判断 AB 与 OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．解：AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴ ∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵ CE＝DC，∴AB＝CE.∴ △ABF≌△ECF(ASA). ∴BF＝CF.∵ OA＝OC，∴OF 是 △ABC 的中位线，∴ AB∥OF，AB＝2OF.7. 如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD，BD = 12，AC = 16，E，F分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长．解：取 BC 边的中点 G，连接 EG、FG.∵ E，F 分别为 AB，CD 的中点，∴ EG 是 △ABC 的中位线，FG 是 △BCD 的中位线，又 BD = 12，AC = 16，AC⊥BD，∴ EG = 8，FG = 6，EG⊥FG.∴∴ EG∥AC，FG∥BD，G三角形的中位线三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半三角形的中位线定理三角形的中位线定理的应用