江苏省连云港市2022-2023学年高三下学期2月调研考试数学试题+答案

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连云港市2023届高三2月调研考试
数学试题
注意事项：
1．考试时间120分钟，试卷满分150分.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.
【详解】,
故的共轭复数为 ，
故选：B
2. 已知全集，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可知集合中的元素，再由即可求得集合.
【详解】由知，
又因为，
所以.
故选：A
3. 现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ）
A. 56种 B. 64种 C. 72种 D. 96种
【答案】D
【解析】
【分析】根据是否入选进行分类讨论即可求解.
【详解】由题意可知：根据是否入选进行分类：
若入选：则先给从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法；
若不入选：则4个人4个岗位全排有种方法，
所以共有种不同的安排方法，
故选：.
4. 若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质求出的最大值，结合已知条件可求得的值.
【详解】，
当时，，
则函数的最大值为，解得.
故选：C.
5. 二项式的展开式中常数项为（ ）
A. 80 B. C. D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于0，即可得出答案.
【详解】解：二项式的展开式的通项为，
令，则，
所以常数项为.
故选：B.
6. 已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出图形，找出直线与平面所成角的平面角，在三角形内即可求解.
【详解】如图，过点向底面作垂线，垂足为，连接，
过点作于G，连接，

由题意可知：且，
因为平面，所以平面，
则即为直线与平面所成角的平面角，
设正四面体的棱长为2，则，，
所以，则，
在中，由余弦定理可得：，
在中，，
所以，
所以直线与平面所成角的正切值是，
故选：.
7. 在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有20名的年龄位于区间内．已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于区间内人口占该地区总人口的30%．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的概率为（ ）
A. 0.001 B. 0.003 C. 0.005 D. 0.007
【答案】A
【解析】
【分析】利用条件概率公式计算即可.
【详解】设从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内为事件A，此人患该疾病为事件B，则 .
故选：A.
8. 已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，设，，由三角形相似得到，得到圆锥的表面积为，令，由导函数得到当时，圆锥的表面积取得最小值，进而得到此时与，作出圆锥的外接球，设外接球半径为，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表面积.
【详解】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为，
则，，
因为⊥，⊥，所以∽，则，

设，，
故，由得：，
由得：，
故，所以，，
解得：，
所以圆锥的表面积为，
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在时取得最小值，，
此时，，
设圆锥外接球球心为，连接，设，
则，
由勾股定理得：，即，
解得：，故其外接球的表面积为.

故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设，，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则不与垂直 D. 不与垂直
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项，两边平方计算出，得到垂直关系；B选项，计算出，得到垂直关系；C选项，计算出，得到垂直关系，D计算出，得到D正确.
【详解】，，是三个非零向量，
A选项，两边平方得：，即，
故，则，A正确；
B选项，，因为，所以，
故，B正确；
C选项，，故，则与垂直，C错误；
D选项，，故与垂直，D错误.
故选：AB
10. 折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（ ）

A. 高为 B. 表面积为
C. 体积为 D. 上底面积、下底面积和侧面积之比为
【答案】BCD
【解析】
【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B，C；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D.
【详解】对于A，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则，
解得,所以圆台的母线长为，高为，选项A错误；
对于B，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，
所以圆台的表面积为，选项B正确；
对于C，圆台的体积为 ，选项C正确；
对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D正确，
故选：BCD．
11. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A. 若直线l经过焦点F，且，则
B. 若，则直线l的倾斜角为
C. 若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
D. 若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由列出方程，求出，A错误；B选项，先得到直线经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设，由抛物线定义结合基本不等式得到的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.
【详解】A选项，由题意得：，准线方程为，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
则，所以，
解得：，A错误；
B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
因为，所以，
代入中，得到，
即，
因为点A在第一象限，所以，故，即，，
解得：
故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，
解得：，B正确；
C选项，设，过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，

因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，
则，
由抛物线定义可知：，
由基本不等式得：，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即，C正确；
D选项，当直线l不经过焦点时，设，
由三角形三边关系可知：，
由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，
若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.
故选：BC
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
12. 利用“”可得到许多与n（且）有关的结论，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先证明出，当且仅当时，等号成立，A选项，令，得到，累加后得到A正确；B选项，推导出，，当且仅当时等号成立，令，可得，累加后得到B正确；C选项，推导出，累加后得到C错误；D选项，将中的替换为，推导出，故，当且仅当时，等号成立，累加后得到D正确.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也时最小值，，
故，当且仅当时，等号成立，
A选项，令，所以，
故，
其中
，
所以，A正确；
B选项，将中的替换为，可得，，
当且仅当时等号成立，
令，可得，
所以，
故，
其中
所以，B正确；
C选项，将中的替换为，显然，
则，
故，
故，C错误；
D选项，将中的替换为，其中，，则，
则，故，当且仅当时，等号成立，
则，D正确.
故选：ABD
【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程是____________.
【答案】；
【解析】
【分析】先求出圆的圆心和半径，即得圆的方程.
【详解】由题得圆心的坐标为，即.
圆的半径为.
所以圆的方程为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
14. 为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为________________kg．
【答案】54.5
【解析】
【分析】计算出样本中心点，代入回归直线方程，得到，从而估计出该女生的体重.
【详解】，，
故，解得：，
故回归直线方程为，则当时，(kg).
故答案为：54.5
15. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为9，则离心率=______.
【答案】##
【解析】
【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率
【详解】由A，B两点在直线上，设，
因为A，B两点关于原点对称，所以，
由A，B两点的横坐标之积为9得，解得，所以，
代入双曲线方程得，所以，
所以，所以离心率为.
故答案为：
16. 已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】分析 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.
【详解】 ，所以 是奇函数，
又 ， 在R的范围内是增函数，
有解等价于 ， 有解，
令 ，
当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意；
当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数，
；
令 ，则 ，当 时， ，
增函数，当 时， 是减函数，
并且当 时， ， ，
当 时 ，即当 时， 满足题意，
所以a的取值范围是 ；
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前n项和为，且．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设数列的前n项积为，若，求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由通项与前项和的关系结合等差的定义证明即可；
（2）由等差数列通项公式得出，再由题设定义得出数列的通项公式．
【小问1详解】
当时，
当n≥2时，，所以，
所以（常数），
故数列是以为首项，2为公差的等差数列．
【小问2详解】
由（1）知，，得，
当n≥2时，，
当时，，不符合上式，
故．
18. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
（1）求甲班在项目A中获胜的概率；
（2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可；
（2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望
【小问1详解】
记“甲班在项目A中获胜”为事件A，
则，
所以甲班在项目A中获胜的概率为
【小问2详解】
记“甲班在项目B中获胜”为事件B，
则，
X的可能取值为0，1，2，
则，
，
．
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



．
所以甲班获胜的项目个数的数学期望为
19. 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
（1）求;
（2）若,求外接圆的半径R．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)将写为代入化简可得,根据,即可得;
(2) 由正、余弦定理可将化简为,进一步化简可得,结合,再根据正弦定理即可得外接圆半径.
【小问1详解】
解:因为,
所以
,
所以,因为,
所以,所以,又,
所以;
【小问2详解】
因为,
所以在中,由正、余弦定理得:
,
所以,故,
由正弦定理得
所以外接圆半径为.
20. 如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面．

（1）证明：为圆柱底面的直径；
（2）若M为中点，N为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明平面，继而证明平面，根据线面垂直的性质定理证明，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面与平面的法向量，根据空间向量的夹角公式，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：连接，在直三棱柱中，，
∴四边形为正方形，
∴
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴
又平面，平面，
∴．
又，,平面，
∴平面，又平面，
∴，∴为圆柱底面的直径．
【小问2详解】
由已知平面，，
∴以为正交基底建立空间直角坐标系，

∴，，，，，．
∵为，中点，
∴，．
设平面的一个法向量为．
则，又，，
∴，取，得，，∴，
设平面的一个法向量为．
则ï，又，，
∴，取，得，．
∴，
∴，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
21. 已知函数．
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最大值；
（2）由可得出，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，，则，
所以，函数在上单调递增，所以，.
【小问2详解】
解：函数的定义域为，由可得，
令，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，且，
当时，，则，所以，函数在上单调递增，
当时，，则，所以，函数在上单调递减，
所以，，
令，其中，则，则函数在上为增函数，
因为，，则存在，使得，
当时，；当时，.
由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
22. 已知椭圆E：的焦距为，且经过点．
（1）求椭圆E的标准方程：
（2）过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求解析式；
（2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出，进而讨论最值.
【小问1详解】
由题意得，所以，即椭圆方程为；
【小问2详解】
当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l：，
由，得．
，，.

不妨设在x轴上方，则在x轴下方．
椭圆在x轴上方对应方程为，，
则A处切线斜率为，得切线方程为，整理得.
同理可得B处的切线方程为．
由得，
代入①得，所以．
因为，所以
设，则，则，
当且仅当，即时，的最大值是2．
另解：当直线l的斜率存在时，设l：，
由得，
所以，，，

椭圆在x轴上方的部分方程为，，
则过的切线方程为，
即，
同理可得过的切线方程为.
由得
设，则，
所以直线l的方程为，所以.
，
令，则，所以，
当时，即时，取得最大值，为2．
【点睛】直线与圆锥曲线问题，一般设出直线，联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理表示出所求的内容，进而进行进一步讨论.