四川省成都石室中学2022-2023学年高三下学期入学考试文科数学试题及答案

这是一份四川省成都石室中学2022-2023学年高三下学期入学考试文科数学试题及答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届入学考试文科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，，则（    ）A． B． C． D．2．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面上的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．用系统抽样的方法从400名学生中抽取容量为16的样本，将400名学生编号为1至400，按编号顺序分组，若在第1组抽出的号码为12，则在第2组抽出的号码为（    ）A．26 B．28 C．33 D．374．已知为奇函数，当时，，则当时，（    ）A． B． C． D．5．将函数的图象先向左平移，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为（    ）A．  B．C．  D．6．给出下列命题：（1）设a，b，c为实数，若，则a>b；（2）设，则的取值范围是；（3）当x>2时，的最小值是4．其中真命题的个数是（    ）A．3 B．2 C．1 D．07．“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理．如图是求“大衍数列”前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=4，则输出的S=（    ）A．6 B．14 C．26 D．448．已知函数的图象关于对称，则的值是（    ）A． B． C．2 D．9．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（    ）A． B． C． D．10．已知函数的极值点均不大于2，且在区间（1，3）上有最小值，则实数a的取值范围是（    ）A．  B．C．  D．11．已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ）A． B． C． D．12．在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则（    ）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线的焦点到准线的距离是______．14．已知圆，过原点的直线l与圆C有公共点，则直线l斜率的范围为______．15．小明和小强计划去博物馆参观，约定上午9：00~9：30之间的任何一个时间在博物馆会合．两人商量好提前到达博物馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去参观，则两人能够在博物馆门口会合的概率是______．16．将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度为；再将余下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为．以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段．重复这一过程，记数列表示第n次操作后余下的区间段长度．（1）=______；（2）若，都有恒成立，则实数λ的取值范围是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且（），数列的前n项积为，满足（）．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）第二十二届世界杯足球赛已于2022年12月18日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行．本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起．为了了解某校学生对足球运动的兴趣，在该校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到如图所示的等高堆积条形图．（Ⅰ）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”； 喜欢足球运动不喜欢足球运动合计男生   女生   合计   （Ⅱ）从样本中对不喜欢足球运动的学生按性别分层抽样的方法抽取出6名学生，若从这6人中随机抽取4人，求抽取到1男3女的概率．附表：P0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635其中，，n=a+b+c+d．19．（本小题满分12分）多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，，，EF=FA=1．（Ⅰ）求证：平面平面DEF；（Ⅱ）求该多面体的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线为椭圆C在点P处的切线，，且直线与椭圆C交于A，B两点．（ⅰ）求直线的方程；（ⅱ）当的面积取最大值时，求直线的方程．21．（本小题满分12分）已知函数，．（Ⅰ）求证：f（x）存在唯一零点；（Ⅱ）设，若存在，，使得，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系Ox中，若点A为曲线上一动点，点B在射线AO上，且满足，记动点B的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若过极点的直线交曲线C和曲线l分别于P，Q两点，且直线PQ的中点为M，求的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数（a>0）．（Ⅰ）若a=1，解不等式；（Ⅱ）当x>0时，恒成立，求实线a的取值范围． 答案及解析1．A【解析因为，，所以．2．C【解析】由，所以z在复平面上的点位于第三象限．3．D【解析】组距：，则第2组抽出来的号码应该为12+25=37．4．B【解析】当x<0时，，．5．D【解析】将函数的图象向左平移后，所得图象对应的函数为；再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则．6．B【解析】由题意，对于（1）中，若则，所以（1）正确；对于（2）中，由，则的取值范围是，所以（2）不正确；对于（3）中，当x>2时，，当且仅当x=3时取等，所以（3）正确．7．C【解析】（1）n=1，S=0，m=4，n是奇数，，S=0+0=0，n>m否，n=2；（2）n=2，n不是奇数，，S=0+2=2，n>m否，n=3；（3）n=3，n是奇数，，，n>m否，n=4；（4）n=4，n不是奇数，，S=6+8=14，n>m否，n=5；（5）n=5，n是奇数，，S=14+12=26，n>m是，则输出S=26．8．D【解析】因为的图象关于对称，则在取得极值．又，则，得，所以，则．9．B【解析】DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥D-HJK为正三棱锥．设正方体的棱长为3，则DH=DK=DJ=2，所以，则题图1中，则，所以．10．A【解析】易知最小值只能在极小值处取得，，所以．（1）当a=2时，在上单调递增，无最值；（2）当1<a<2时，f（x）在（1，a）上单调递增，上单调递减，上单调递增，在x=2取得极小值，又极小值必须为最小值，则，即，即；（3）当时，在上单调递减，上单调递增，满足条件．综上所述，．11．A【解析】在中，由．因为，所以，所以，所以．12．D【解析】因为，当时，取最小值，则，所以，故．因为，所以b=2c，所以，得，所以．13．1【解析】因为抛物线方程为，所以焦准距p=1．14．【解析】由题意可知，圆C的圆心为，半径．设直线l的方程为y=kx，则，即，解得．15．【解析】设小明到达的时刻为9时x分，小强到达的时刻为9时y分，其中，，则当时，两人能够在图书馆门口会合．如图，两人到达时刻构成正方形区域，记其面积为S；而事件A：两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为，所以．16．（1）（2）（第1空2分，第2空3分）【解析】由题意可知，，，，所以，所以数列为首项，公比的等比数列，所以．因为，都有恒成立，所以恒成立，只需．记，，显然，所以．令，即，即，解得．因为，所以n可以取包含5以后的所有正整数，即当且时，单调递减．又，，所以．综上所述，当n=5时，最大，所以，所以实数的取值范围是．17．解：（Ⅰ）在中，令n=1，得当时，由，于是有．因为数列的各项均为正数，所以，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以有，显然适合，因此．由，令n=1，得；当时，由，得，所以．（Ⅱ）记，数列的前n项和为，所以，则．由可知，数列是以为首项，4为公比的等比数列，则数列的前n项和为，故数列的前n项和．18．解：（Ⅰ）完成列联表： 喜欢足球运动不喜欢足球运动合计男生6040100女生2080100合计80120200的观测值，所以有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”．（Ⅱ）按照分层抽样的方法可得，抽取男生2人，设为a，b；女生4人，设为A，B，C，D，从这6人中随机抽取4人，末被抽取的2人有{a，b}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{a，D}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{b，D}，{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B，D}，{C，D}，共有15种不同的基本结果，其中抽取到1男3女的情况，即未抽取的2人是1男1女，则有{a，A}，{a，B}，{a，C}，{a，D}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{b，D}，共有8种不同的基本结果，所以抽取到1男3女的概率为．19．（Ⅰ）证明：如图，连接BD，设AC与BD交于点O，连接FO，EO．因为平面平面ACEF，平面平面ACEF=AC，，平面ACEF，所以平面ABCD．因为四边形ABCD是边长为的正方形，所以．在直角梯形ACEF中，，O为AC的中点，则AO=EF=1，且．又因为AF=EF， ，所以四边形AFEO是边长为1的正方形，所以，且EO=AF=1，所以平面ABCD．因为平面ABCD，所以，则，所以，所以．因为平面ABCD，平面ABCD，所以，所以，所以，所以．又因为，BE，平面BEF，所以平面BEF．又因为平面CDE，所以平面平面CDE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，，，，则平面ACEF．多面体ABCDEF可以视为四棱雉B-ACEF和四棱雉D-ACEF的组合体，故其体积为．20．解：（Ⅰ）由题意，得．则故椭圆．（Ⅱ）（ⅰ）由题意可得，直线的切线斜率一定存在．令直线，联立，整理得，所以，即，所以，故直线，即直线．（ⅱ）由（ⅰ），设，，直线，联立，整理得，且，即-4<m<4，所以，则．又点P到直线的距离，且-4<m<4，所以令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，即当m=2时，面积取最大值，此时直线的方程为x+2y+2=0．21．证明：（Ⅰ）由题意，得．记，则．因为时，恒成立，所以在上单调递增．因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，所以有唯一零点x=1．（Ⅱ）由，得．记，故．因为在上单调递增，所以，则，设则，．因为在上恒成立，所以在上单调递增，注意到，所以的解集为，的解集为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．又因为，所以．22．解：（Ⅰ）当点B在线段AO上时，由，得或．当点B不在线段AO上时，设，则，所以，所以．又，所以．综上所述，曲线C的极坐标方程为或．（Ⅱ）若曲线C为，此时点P，Q重合，不合题意．若曲线C为，设直线，由得；由得．因为M是线段PQ的中点，所以．因为，所以．记，则．又在上单调递减，，故当时，取最大值为323．解：（Ⅰ）若，则．当时，，则，所以；当时，，则，所以；当时，，则，所以．综上所述，的解集为．（Ⅱ）因为，，所以当时，恒成立，即得；当时，恒成立，即，得．综上所述，实数a的取值范围为．