中考数学一轮知识复习和巩固练习考点01 实数（能力提升） (含详解)

考向01实数—能力提升

【知识梳理】

考点一、实数的分类

1.按定义分类：

2.按性质符号分类：

有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．

无理数：无限不循环小数叫无理数．

实数：有理数和无理数统称为实数．

方法指导：

常见的无理数有以下几种形式：

（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数；

（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；

（3）根式型：…都是一些开方开不尽的数；

（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.

考点二、实数的相关概念

1.相反数

（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；

（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；

（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.

2.绝对值

（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

可用式子表示为：

（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．

用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．

方法指导：

若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.

3.倒数

（1)实数的倒数是；0没有倒数；

（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.

4.平方根

（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作．

（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作．

5.立方根

如果x3=a，那么x叫做a的立方根．

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．

考点三、实数与数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．

方法指导：

（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.

（2）实数和数轴上的点是一一对应的.

考点四、实数大小的比较

1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.

2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.

3.对于实数a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.

4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.

5.无理数的比较大小：

利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2a>b；

或利用倒数转化：如比较与.

方法指导：

实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.

考点五、实数的运算

1.加法

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．

满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．

2.减法

减去一个数等于加上这个数的相反数．

3.乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac．

4.除法

（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．

（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．

5.乘方与开方

（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘.

正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．

（3)零指数与负指数  

方法指导：

加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．

考点六、有效数字和科学记数法

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.

把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．

方法指导：

（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；

（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.

考点七、数形结合、分类讨论、建模思想

1.数形结合思想
　　实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口；

2.分类讨论思想

（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏；

3. 从实际问题中抽象出数学模型

以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个考点来解决问题，然后有的放矢.
 

【能力提升训练】

一、选择题

1. 在实数π、、、sin30°,无理数的个数为(   )

A.1          B.2              C.3             D.4

2. 对于实数、，给出以下三个判断：

①若，则 ．

②若，则 ．

③若，则 ．

其中正确的判断的个数是（   ）

A．3          B．2            C．1            D．0

3．据统计，2019年河南省机动车保有量突破280万辆，对数据“280万”的理解错误的是（　　）

A．精确到万位

B．有三个有效数字

C．这是一个精确数

D．用科学记数法表示为2.80×106

4．如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（   ）

    A．2.5        B．2       C．         D．      

5．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（   ）

A．38     B．52     C．66    D．74

6. 若a、b两数满足3＝103，a103＝b，则之值为（   ）

A． 　　　B．　　　 C．　　　 D．

二、填空题

7．（1）先找规律，再填数：

（2）对实数a、b，定义运算★如下：a★b=，

例如2★3=2-3=.计算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=         .

8．已知：

......观察前面的计算过程，寻找计算规律计算               （直接写出计算结果），并比较        （填“”或“”或“=”）

9．右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是          ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是     ；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是           （用含n的代数式表示）．

10．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为___________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
    11．已知，当n=1时，a1=0；当n=2时，a2=2；当n=3时，a3=0；…  则a1+a2+a3+a4+a5+a6   的值为___________．

12．观察图形：请用你发现的规律直接写出图4中y的值　     　．

三、解答题

13．对于任何实数，我们规定符号的意义是：=．按照这个规定请你计算：

当时， 的值．

14.小彬在做数学题时，发现下面有趣的结果：

3﹣2=1

8+7﹣6﹣5=4

15+14+13﹣12﹣11﹣10=9

24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16

…

根据以上规律可知第99行左起第一个数是　      　．

15．根据以下10个乘积，回答问题：
　　11×29；　 12×28；　 13×27；　 14×26；　 15×25；
　　16×24；　 17×23；　 18×22；　 19×21；　 20×20.
　　(1)试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；
　　(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
　　(3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明)
 

16.已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2.
(1)求线段OA2的长；
(2)若再以OA2为边按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到  △OA3B3，△OA4B4，…，△OAnBn(如图).求△OA6B6的周长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
 

答案与解析

一、选择题
1. 【答案】B；

【解析】π、是无理数.

2.【答案】C；

【解析】通过举反例说明①②是不对的，只有③是正确的.    

3.【答案】C；

【解析】A、280万精确到万位是正确的，此选项不合题意；

B、280万有三个有效数字是正确的，此选项不合题意；

C、280万是一个近似数，不是精确数，此选项符合题意；

D、280万用科学记数法表示为2.80×106是正确的，此选项不合题意．故选：C．

4.【答案】D；

【解析】用勾股定理求得OB= 即可.  

5.【答案】D；

【解析】先分析出阴影方格的数，如图，找出规律：m=左下角方格的数的平方加上右上角方格的数.

6.【答案】C；

二、填空题

7．【答案】（1）；（2）1；

【解析】（1）规律为：（n为正整数）.

（2） [2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=2-4×（-4）2=1.

8．【答案】42；.

【解析】7×6=42；∵=9×8×7×6×5，=10×9×8，∴.

9．【答案】B；603；6n＋3；

 【解析】字母C第“奇数”次出现时，恰好数到的数是这个“奇数”的3倍。

10．【答案】4；

【解析】第一次结果是-2，继续输入得到结果是4，符合题意.

11．【答案】6；

   【解析】a1=a3=a5=…=0，a2=a4=a6=…=2，所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=6.

12．【答案】12 .

【解析】∵12=5×2﹣1×（﹣2），20=8×1﹣（﹣3）×4，﹣13=（﹣7）×4﹣5×（﹣3），

∴y=3×0﹣6×（﹣2）=12．故答案为：12．

三、解答题

13.【答案与解析】

14.【答案与解析】

解：∵3=22﹣1，

8=32﹣1，

15=42﹣1，

24=52﹣1，

…

∴第99行左起第一个数是：（99+1）2﹣1=9999．

故答案为：9999．

15.【答案与解析】
　　(1)11×29=202-92；12×28=202-82；
　　　 13×27=202-72；14×26=202-62；
　　　 15×25=202-52；16×24=202-42；
　　　 17×23=202-32；18×22=202-22；
　　 　19×21=202-12；20×20=202-02；
　　例如：11×29；假设11×29=□2-○2；
　　　 　 因为□2-○2=(□+○)(□-○)
　　 　 　所以，可以令□-○=11，□+○=29
　　 　 　解得，□=20，○=9，故11×29=202-92
　　 　 　(或11×29=(20-9)(20+9)=202-92)
　　(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：
　　　 11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20.
　　(3)①若a+b=40,a,b是自然数，则ab≤202=400.
　　   ②若a+b=40，则ab≤202=400.
　　   ③若a+b=m，a，b是自然数，则
　　   ④若a+b=m，则
　　   ⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
　　　   则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.
　　   ⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
　　  　 则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.
 

16.【答案与解析】
　　(1)
　　(2)依题意，
　　 　 　 　
　　　 以此类推，
　 　　，即△OA6B6的周长为