中考数学一轮知识复习和巩固练习考点02 整式与因式分解（能力提升） (含详解)

考向02整式与因式分解—能力提升

【知识梳理】

考点一、整式
1.单项式
　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．

方法指导：

（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

2.多项式
　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．

方法指导：

（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

3.整式
　　单项式和多项式统称整式．
    4.同类项
　　所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．
    5.整式的加减
　　整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．
　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.
　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
　　整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
    6.整式的乘除
　　①幂的运算性质：
　　　
　　②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
　　③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：
　　④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：
　　　平方差公式：

完全平方公式：
　　　           
　　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
　　⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
　　⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
 

方法指导：

（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即（都是正整数）.

（3）公式的推广： (，均为正整数)

（4）公式的推广： (为正整数).

考点二、因式分解

1.因式分解
　　 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．
    2.因式分解常用的方法

    （1）提取公因式法：

    （2）运用公式法：

平方差公式：；完全平方公式：

（3）十字相乘法：

3.因式分解的一般步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；

（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；

（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.

方法指导：

（1）因式分解的对象是多项式；

（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．

（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

【能力提升训练】

一、选择题

1. 若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（    ）

    A．61，63      B．63，65      C．61，65      D．63，67

2.乘积应等于（   ）

A．     B．     C．       D．

3．已知x2﹣x﹣1=0，则x3﹣2x+1的值为（　　）

A．﹣1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

4．的个位数字是(     )

A．2             B．4                C．6                D．8

5．若为任意实数时，二次三项式的值都不小于0，则常数满足的条件是（    ）

   A.      B.          C.         D.

6．如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　）

 　A．2cm2 B． 2acm2 C． 4acm2 D． （a2﹣1）cm2

二、填空题

7． 已知，，那么P，Q的大小关系是          ．

8．已知，则＝          ．

9．若n 是正整数，且，则＝__________.

10. （1）如果，那.

（2）已知，则        .

11．对于任意的正整数，能整除代数式的最小正整数是_______.

12.图1可以用来解释：（2a）2=4a2，则图2可以用来解释：　          　．

三、解答题

13.若关于x的多项式﹣5x3+（2m﹣1）x2+（3n﹣2）x﹣1不含二次项和一次项，

求m，n的值．

14．将下列各式分解因式：

（1）；      （2）；

（3）；   （4）.

15. 若二次三项式能被 整除，试求的值．

16.已知：求的值.

答案与解析

1.【答案】B；

【解析】

2.【答案】D；

【解析】

3.【答案】B；

  【解析】∵x2+x﹣1=0，

∴x2+x=1，

∴x3﹣2x+1

=x（x2﹣x）+x2﹣2x+1

=x+x2﹣2x+1

=（x2﹣x）+1

=1+1

=2．故选：B．

4.【答案】C；

【解析】的个位数字等于的个位数字．∵;  ．∴的个位数字等于9＋7的个位数字．

则 的个位数字是6．

5.【答案】B；

  【解析】，由题意得，，所以.

6.【答案】C；

  【解析】

二、填空题

7．【答案】P＝Q；

【解析】∵

          ∴ P＝Q.

8．【答案】－5；

【解析】原式　

　　　　  ∵∴ 原式＝＝－5.

9．【答案】200；

  【解析】.

10.【答案】（1）－4；（2）1；

   【解析】（1）原式

               .

          （2）∵

∴；

∴；

∴，.

11.【答案】10；

   【解析】利用平方差公式化简得10，故能被10整除.

12.【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2；

【解析】如图2：

整体来看：可看做是边长为（a+b）的正方形，面积为：（a+b）2；

从部分看，可看作是有四个不同的长方形构成的图形，其中两个带阴影的长方形面积是相同的，

面积为：a2+2ab+b2；

∴a2+2ab+b2=（a+b）2．

故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2

三、解答题

13.【答案与解析】

解：∵多项式﹣5x3+（2m﹣1）x2+（3n﹣2）x﹣1不含二次项和一次项，

∴2m﹣1=0，3n﹣2=0，

解得m=，n=，

∴m=，n=．

14.【答案与解析】

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

15.【答案与解析】

     因为

     所以，解得.

16.【答案与解析】

∵∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴.