中考数学一轮知识复习和巩固练习考点06 一元一次不等式（组） (含详解)

考向06一元一次不等式（组）

【知识梳理】

考点一、不等式的相关概念

1．不等式

    用不等号连接起来的式子叫做不等式．

    常见的不等号有五种： “≠”、  “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”．

2．不等式的解与解集

    不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左.

3．解不等式

    求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.

方法指导：

不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．

考点二、不等式的性质

性质1：

不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c．

性质2：

不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）．

性质3：

不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）．

方法指导：

（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.

（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b．

不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.

考点三、一元一次不等式（组）

1．一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．

2．一元一次不等式的解法

     一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．

    解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．   

方法指导：

解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．

3．一元一次不等式组及其解集

     含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

     一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

方法指导：

判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多． 

4．一元一次不等式组的解法

    由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．

    注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.

方法指导：

解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．

5．一元一次不等式（组）的应用

    列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要．

方法指导：

列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案．

6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系

一次函数，当函数值时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值或时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定的取值范围.

【巩固训练】

一、选择题

1. 不等式-x-5≤0的解集在数轴上表示正确的是（    ）

       A                 B                    C                D

2．若实数a＞1，则实数M=a，N=，P=的大小关系为（   ）

    A．P＞N＞M     B．M＞N＞P    C．N＞P＞M     D．M＞P＞N

3．如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过A，B两点，则不等式kx+b＞0的解集是（   ）

A．x＞0    

B．x＞2    

C．x＞-3   

D．-3＜x＜2                                  

4．如果不等式+1＞的解集是x＜，则a的取值范围是（   ）

    A．a＞5     B．a=5      C．a＞-5     D．a=-5

5．已知整数x满足是不等式组，则x的算术平方根为（　　）

A．2   B．±2   C．   D．4

6．不等式组无解，则a的取值范围是（   ）

    A．a＜1     B．a≤1     C．a＞1     D．a≥1

二、填空题

7．若不等式ax＜a的解集是x＞1，则a的取值范围是__    ____．

8．若（m﹣1）x|2m﹣1|﹣8＞5是关于x的一元一次不等式，则m=　　．

9．已知3x+4≤6+2（x-2），则│x+1│的最小值等于__   ____．

10．若不等式a（x-1）＞x-2a+1的解集为x＜-1，则a的取值范围是____     __．

11．满足≥的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于__  ____．

12．有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．

三、解答题

13．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．

（1）x-3≥．         

（2）解不等式组

14. 若，求的取值范围．

15．某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．

（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）

（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？

16. 如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，则剩下9个；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数少于3个，问共有几个儿童，分了多少个橘子？

答案与解析

一、选择题
1.【答案】B；

【解析】解不等式得x ≥-5，故选B.   

2.【答案】D；

【解析】方法一：取a=2，则M=2，N=，P=，由此知M＞P＞N，应选D．

          方法二：由a＞1知a-1＞0．

          又M-P=a-=＞0，∴M＞P；

          P-N=-=＞0，∴P＞N．

          ∴M＞P＞N，应选D．

3.【答案】C；

【解析】不等式kx+b＞0的解集 即y＞0的解集，观察图象得x＞-3.  

4.【答案】B；

【解析】化简原不等式得（2-a）x＞-5，因为原不等式解集是x＜，所以2-a＜0，且，

         解得a＞2,且a=5.

5.【答案】A；

【解析】解：，

解①得：x＞3，

解②得：x＜5，

则不等式组的解集是：3＜x＜5．

则x=4．

x的算术平方根是：2．故选A．

6.【答案】B；

【解析】 解不等式组得x≥1，x＜a, 因为不等式组无解，所以a≤1.

二、填空题

7．【答案】a＜0；

【解析】结果不等号的方向改变了，故a＜0.

8．【答案】0；

【解析】由（m﹣1）x|2m﹣1|﹣8＞5是关于x的一元一次不等式，得

，解得m=0，故答案为：0．

9．【答案】1；

  【解析】解不等式得x≤-2，当x=-2时，│x+1│有最小值，有最小值等于1.

10．【答案】a＜1；

【解析】解不等式得(a-1)x＞1-a, 因为不等式a（x-1）＞x-2a+1的解集为x＜-1，所以a-1＜0，

即a＜1.

11．【答案】-19；

   【解析】解不等式得x≤8，绝对值不大于10的所有整数之和为（-9）+（-10）=-19.

12．【答案】4. 

三、解答题

13.【答案与解析】

   （1）x≥7，  数轴上表示略；

（2）由不等式组：

解不等式①，得

解不等式②，得

由图可知不等式组的解集为：

14.【答案与解析】

   解：由

得或

∴或（无解）

即．

15.【答案与解析】

解：（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得：

，

解得：；

答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元；

（2）设购进A型计算器a台，则购进B台计算器：（70﹣a）台，

则30a+40（70﹣a）≤2500，

解得：a≥30，

答：最少需要购进A型号的计算器30台．

16.【答案与解析】

    解：设共有x个儿童，则共有（4x+9）个橘子，依题意，得0≤4x+9-6（x-1）＜3

    解这个不等式组，得6＜x≤7.5．

    因为x为整数，所以x取7．

    所以4x+9=4×7+9=37．

    答：共有7个儿童，分了37个橘子．