中考数学一轮知识复习和巩固练习考点14 全等三角形 (含详解)

考向14   全等三角形

【知识梳理】

考点一、基本概念

1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

2.全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；

（2）全等三角形对应角相等.

方法指导：

全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.

3.全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).

考点二、灵活运用定理

三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．

应用三角形全等的判别方法注意以下几点：

1. 条件充足时直接应用判定定理

方法指导：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．

2. 条件不足，会增加条件用判定定理

方法指导：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．

3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理

方法指导：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．

常见的几种辅助线添加：

①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；

②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；

③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；

④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；

⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．

【专项训练】

一、选择题
1．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，

使所画的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可画出(    ) .

A.2个 　　 B.4个 　　 C.6个 　　 D.8个
　　　
　　 2．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC的中点，AE⊥BD交BC于E，若∠BDE=，∠ADB的大小是（   ）．

A． 　　　B． 　　　C．　　　 D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3．如图，△ABC中，∠C为钝角，CF为AB上的中线，BE为AC上的高，若CF=BE，则∠ACF的大小是（   ）.

A．45°　　　 B．60°　　　 C．30°　　　 D．不确定
　　　
    4．如图，△ABC中，∠BAC=90° AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=2∠C，∠DAE的度数是(   ) .　　

A. 45° 　B. 20°　 C. 30°　 D. 15°
　　　

 5．如图，六边形ABCDEF中，每一个内角都是120°，AB=12，BC=30，CD=8，DE=28．求这个六边形的周长为（　　）

A．125      B．126     C．116   D．108

 6. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（   ）.
　　A．∠1＝∠EFD　　　 B．BE＝EC　　　 C．BF＝DF＝CD 　　　D．FD∥BC
　　　　　　　

二、填空题

7．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的。若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则的度数为______.

8．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到，交于点，若，则∠A=______.
　

9．如图，已知的周长是20，分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是___________.
  

10．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，且点C为BD中点，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则 的面积为______．

11．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE=　   　．

12．将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C 的位置是有理数       ，2008应排在A、B、C、D、E中      的位置.

三、解答题

13. 已知：如图，过△ABC的边BC的中点M作直线平行于∠BAC的平分线AD，而且交直线AB、AC于E、F.求证：
　                                                 　

14.如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由. 　　                                                  
 

15．如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与　全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
　                                                               
 

16.【问题探究】

（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．

【深入探究】

（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．

（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．

答案与解析

一、选择题

1.【答案】B.

2.【答案】C.

【解析】作关于BC的对称图形，作的中点，连接，则容易证明，说明和AE在同一条直线上的线段，根据对称性交于E点，所以与DE在同一条直线上，容易证明．
所以．所以．

3.【答案】C．

【解析】延长CF到D，使CD=2CF，容易证明
　　　　　△AFC≌△，所以∠D=∠FCA，所以AC∥BD，因为
　　　　　CF=BE，所以CD=2BE，即AC与BD之间的距离等于CD的一半，
　　　　　所以∠D=30°．所以内错角∠ACF=30°．

4.【答案】D.

5.【答案】C.

【解析】如图，分别作直线AF、ED、BC的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．

∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，

∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．

∴△PGH、△BGA、△DHC、△EFP都是等边三角形．

∴GB=AB=AG=12，DH=CH=CD=8．

∴GH=12+30+8=50，FE=PE=PH﹣ED﹣DH=50﹣28﹣8=14，AF=PG﹣PF﹣AG=50﹣14﹣12=24．

∴六边形的周长为：24+12+30+8+28+14=116．故选：C．

6.【答案】D.

二、填空题

7．【答案】80°.

【解析】由三角形内角和是180°知∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°,
　　 　　由翻折知：∠ABE=∠2，∠ACD=∠3,∴ ．

8．【答案】55°.

【解析】由旋转知： ,，
　∵ ，∴ 55, ∴ 55°.

9．【答案】30 .

【解析】提示：面积法．

10．【答案】8.

11．【答案】15°.

【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°．

∵△OEF是正三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°．

在△AOE和△BOF中，

，

∴△AOE≌△BOF（SSS），

∴∠AOE=∠BOF，

∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2=（90°﹣60°）÷2=15°.  故答案为15°．

12．【答案】－29 , B .

三、解答题

13.【答案与解析】证明：延长FM到G，使，连接
　　　　

　       ∵ M为BC的中点，                          
　　　　　∴ △BMG≌△CMF ∴ ∠G=∠2，CF=BG,
　　　　　又∵ 平分，ME∥AD,
　　　　　∴ ∠3=∠4，∠3=∠E，∠1=∠4，
　　　　　∴ ∠1=∠E，即AE=AF,
　　　　　∵ ∠1=∠2，∠G=∠2，∠1=∠E，
　　　　　∴ ∠G=∠E，即BE=BG=CF,
　　　　　∴ AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+CF

                    =BE+CF=2CF，

          即

14.【答案与解析】猜测 AE＝BD，AE⊥BD.
　　　　证明如下：
　　　　∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
　　　　∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.
　　　　∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
　　　　∴AC＝CD，CE＝CB.
　　　　∴△ACE≌△DCB（SAS）
　　　　∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB.
　　　　∵∠AFC＝∠DFH，
　　　　∴∠DHF＝∠ACD＝90°，
　　　　∴AE⊥BD.

15.【答案与解析】

（1）①∵秒，
　　　　∴，
　　　　∵，点为的中点，
　　　　∴．
　　　　又∵，
　　　　∴，
　　　　∴．
　　　　又∵，
　　　　∴，
　　　　∴．
　　　②∵， ∴，
　　　又∵，，则，
　　　∴点，点运动的时间秒，
　　　∴．
　　（2）设经过秒后点与点第一次相遇，
　　　由题意，得，
　　　解得．
　　　∴点共运动了．
　　　∵，
　　　∴点、点在边上相遇，
　　　∴经过秒点与点第一次在边上相遇.

16.【答案与解析】

解：（1）BD=CE．

理由是：∵∠BAE=∠CAD，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

在△EAC和△BAD中，

，

∴△EAC≌△BAD，

∴BD=CE；

（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC．

∵∠ACD=∠ADC=45°，

∴AC=AD，∠CAD=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

在△EAC和△BAD中，

，

∴△EAC≌△BAD，

∴BD=CE．

∵AE=AB=7，

∴BE==7，∠AEC=∠AEB=45°，

又∵∠ABC=45°，

∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，

∴EC===，

∴BD=CE=．

（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

又∵∠ABC=45°，

∴∠E=∠ABC=45°，

∴AE=AB=7，BE==7，

又∵∠ACD=∠ADC=45°，

∴∠BAE=∠DAC=90°，

∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

在△EAC和△BAD中，

，

∴△EAC≌△BAD，

∴BD=CE，

∵BC=3，

∴BD=CE=7﹣3（cm）．