中考数学一轮知识复习和巩固练习考点21 圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系（能力提升） (含详解)

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考向21   圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系 【知识梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆；    弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；    三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．方法指导：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性    圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；    圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；    圆具有旋转不变性．3．圆的确定    不在同一直线上的三个点确定一个圆．方法指导：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径    垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．    推论  平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．方法指导：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．    注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．    5．圆心角、弧、弦之间的关系    定理  在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．    推论  在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角    圆周角定理  在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．    推论1  在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2  半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．方法指导：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系    设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；    点P在圆内d＜r．方法指导：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定    切线的判定定理  经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．    (会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质    切线的性质定理  圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理    切线长  经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理  从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．方法指导：直线是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线经过⊙O上的一点A；②OA⊥．3．圆和圆的位置关系    (1)基本概念    两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：方法指导：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．    ②同心圆是内含的特殊情况．    ③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．    ④“R-r”时，要特别注意，R＞r．      【专项训练】一、选择题1. 在△ABC中，，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（　　）A．5 B．6 C．7 D．152．如图，AB为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD ，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为 A. 70°     B.35°    C. 30°    D. 20°3．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于 （   ）A.30°  B.60°   C.45°  D.50°   4．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为（   ）                                                       A. 5       B. 4       C. 3      D. 25．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为 （   ）A.       B.       C.        D.      6. 如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（　　）A．    B．        C．  D．二、填空题7．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线的距离为2，过上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为             .          8．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于        .9．如图所示，已知⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为________．                      第8题                  第9题                   第10 题10．如图所示，在边长为3 cm的正方形中，与相外切，且分别与边相切，分别与边相切，则圆心距=       cm．11．如图所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A的度数是        .    12．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是　   　（只需填写序号）．   三、解答题13．如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，．（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．      14．如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1+t(t≥0)． (1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式； (2)问点A出发后多少秒两圆相切?      15.已知⊙O的直径AB=10，弦BC=6，点D在⊙O上（与点C在AB两侧），过D作⊙O的切线PD．（1）如图①，PD与AB的延长线交于点P，连接PC，若PC与⊙O相切，求弦AD的长；（2）如图②，若PD∥AB，①求证：CD平分∠ACB；②求弦AD的长．       16. 如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．当α=      度时，点P到CD的距离最小，最小值为       ．探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=       度，此时点N到CD的距离是       ．探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）                      答案与解析一、选择题
1.【答案】C；【解析】过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，易知∠B=30°，则AD=4，BD=4；在Rt△ACD中，∠C=45°，则CD=AD=4；∴BC=BD+CD=4+4≈10.9；①当⊙B与⊙C外离时，（设⊙C的半径为r）则有：r+4＜BC=10.9，即0＜r＜6.9；②当⊙B内含于⊙C时，则有：r﹣4＞BC=10.9，即r＞14.9；综合四个选项，只有C选项不在r的取值范围内，故选C．2.【答案】B；【解析】如图，连接OD，AC.由∠BOC = 70°，根据弦径定理，得∠DOC = 140°；根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠DAC = 70°.从而再根据弦径定理，得∠A的度数为35°.故选B. 3.【答案】C；【解析】连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠CAP=∠ACO.∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC.∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP =45°，即∠CDP=45°. 故选C.4.【答案】C；【解析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段.如图，过点O作OM⊥AB于M，连接OA.根据弦径定理，得AM＝BM＝4，在Rt△AOM中，由AM＝4， OA＝5，根据勾股定理得OM＝3，即线段OM长的最小值为3.故选C.       5.【答案】B；【解析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF.       根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°；       根据圆的轴对称性和DC∥AB，得四边形FBCD是等腰梯形.      ∴DF=CB=1，BF=2+2=4.∴BD=.故选B.6.【答案】D；【解析】如图，连接AB，由圆周角定理，得∠C=∠ABO，在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，∴．二、填空题7．【答案】；【解析】如图所示，OA⊥，AB是切线，连接OB，∵OA⊥，∴OA=2，又∵AB是切线，∴OB⊥AB，在Rt△AOB中，AB===．  8．【答案】5；【解析】∵在Rt△ABO中，，        ∴AD=2AO=.        连接CD，则∠ACD=90°.              ∵在Rt△ADC中，，        ∴BC=AC－AB=15－10=5.9．【答案】；【解析】设正方形ABCD边长为x，∵  ∠POM＝45°，∴  OC＝CD＝x，∴  OB＝2x，连接OA，在Rt△OAB中，∴  ．           10．【答案】；【解析】本题是一个综合性较强的题目，既有两圆相切，又有直线和圆相切．求的长就要以为一边构造直角三角形．过作的平行线，过作的平行线，两线相交于是和的半径之和，设为，则在中解得由题意知不合题意，舍去．故填.11．【答案】99°；   【解析】由，知从而在中，与互补，所以故填99. 12．【答案】②③；  【解析】∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，∴=≠，∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90°，∴∠GPD=∠GDP；∴GP=GD，故②正确；∵弦CE⊥AB于点F，∴A为的中点，即=，又∵C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP．∵AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；故答案为：②③．三、解答题13.【答案与解析】   （1）证明：连接OB、OP ∵且∠D=∠D，∴  △BDC∽△PDO.∴∠DBC=∠DPO.∴BC∥OP.∴∠BCO=∠POA ，∠CBO=∠BOP.∵OB=OC，∴∠OCB=∠CBO.∴∠BOP=∠POA.又∵OB=OA， OP=OP， ∴△BOP≌△AOP（SAS）.∴∠PBO=∠PAO.又∵PA⊥AC， ∴∠PBO=90°.∴ 直线PB是⊙O的切线 .（2）由（1）知∠BCO=∠POA.设PB，则BD=，又∵PA=PB，∴AD=.又∵ BC∥OP ，∴.∴.∴ . ∴∴cos∠BCA=cos∠POA=.    14.【答案与解析】    (1)当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；          当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t-11．(2)两圆相切可分为如下四种情况：①当两圆第一次外切，由题意，可得11-2t＝1+1+t，t＝3；②当两圆第一次内切，由题意，可得11-2t＝1+t-1，；③当两圆第二次内切，由题意，可得2t-11＝1+t-1，t＝11；④当两圆第二次外切，由题意，可得2t-11＝1+t+1，t＝13．所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切．15.【答案与解析】 （1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC===8，∵PD、PC是⊙O的切线，∴PD=PC，∠APC=∠APD，在△APC和△APD中，，∴△APC≌△APD（SAS），∴AD=AC=8．（2）证明：①连接OD、BD，∵PD是⊙O的切线，∴OD⊥PD，∵PD∥AB，∴OD⊥AB，∴=，∴AD=BD，∠ACD=∠BCD，∴CD平分∠ACB．②∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在RT△ADB中，AD2+BD2=AB2，∴2AD2=102，∴AD=5．16.【答案与解析】解：思考：90，2.探究一：30，2.探究二：（1）当PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是MP=OM=4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2.当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°.（2）如图4，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3.在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=.∴∠MOH=49°.∵α=2∠MOH，∴α最小为98°.∴α的取值范围为：98°≤α≤120°. ∴的取值范围是.