中考数学一轮知识复习和巩固练习考点22 正多边形与圆的有关的证明和计算（能力提升） (含详解)

考向22   正多边形与圆的有关的证明和计算

【知识梳理】

考点一、正多边形和圆

1、正多边形的有关概念：

(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
　　(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
　　(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
　　(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）
　　(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
    2、正多边形与圆的关系：
　　(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
　　(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
　 （3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.

（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3、正多边形性质：
　　(1)任何正多边形都有一个外接圆.
　　(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

方法指导：

（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.
    （2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.

考点二、圆中有关计算

1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
 

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为

，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，

全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.

方法指导：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，

即；
 

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
 

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
 

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
 

【专项训练】

一、选择题

1. 将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是（    ）度．

A.60       B.90     C.120     D.150 

2．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为，，则圆锥的底面积是（   ）平方米．

  A.9π      B.16π    C. 25π     D.36π

3．某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径的扇形区域内（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（   ）

    A．6πm2     B．5πm2     C．4πm2    D．3πcm2

4．如图所示，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是（    ）

    A．6π     B．5π     C．4π     D．3π

5．如图所示，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为 （    ）

    A．     B．     C．     D．

6．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

7．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是________．

8．如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为________．

9．如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深为__________米．

10．将半径为10cm，弧长为12π的扇形围成圆锥(接缝忽略不计)，那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值是________．

11．如图所示是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为________cm．

12．如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为           ．

三、解答题

13．如图所示，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝，∠DPA＝45°．

(1)求⊙O的半径；

(2)求图中阴影部分的面积．

14. 如图AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．

(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．

15．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．

(1)求证：P是△ACQ的外心；

(2)若，CF＝8，求CQ的长；

(3)求证：(FP+PQ)2＝FP·FG．

16. 如图，圆O的半径为r．

（1）在图①中，画出圆O的内接正△ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长．

（2）在图②中，画出圆O的内接矩形ABCD，简要写出画法；若设AB=x，则矩形的周长为　   ．

（3）如图③，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并探究L是否有最大值，若有，请指出x为何值时，L取得最大值；若没有，请说明理由．

答案与解析

一、选择题
1.【答案】D；

【解析】圆锥的底面周长为，所以它的侧面展开图的圆心角

是．

2.【答案】D；

【解析】因为，AO＝8，所以BO＝6，所以圆锥的底面积是．

3.【答案】A；

【解析】五个扇形的半径都为2cm，设其圆心角分别为，，，，，

则无法直接利用扇形面积公式求解，可以整体考虑，边形形

内角和＝(5-2)×180°＝540°，

∴  ．

4.【答案】A；

【解析】如果分别求SⅠ和SⅢ得阴影面积则很复杂，由旋转前后图形全等，易得SⅠ＝SⅡ，

∴ ．

5.【答案】B；

【解析】要求围成的圆锥的底面圆半径，只要求出扇形ABC中BC的弧长，该弧长即为围成的圆锥的底面圆的周长，再根据周长即可以求出半径．

∵ 直径为2，∠BAC＝60°

∴ AC＝，

∴ BC的弧长为，设底面圆的半径为r，则由解得．

6.【答案】D；

【解析】连结OE1，OD1，OD2，如图，

∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，

∴∠E1OD1=60°，

∴△E1OD1为等边三角形，

∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，

∴OD2⊥E1D1，

∴OD2=E1D1=×2，

∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，

同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，

则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．

故选D．

二、填空题

7．【答案】3；

【解析】设圆锥的母线长为R，侧面展开图半圆弧长为，圆锥底面积半径为r，

则有：．

∴  R2＝36，R＝6．又．

∴  ，∴  2πr＝6π，r＝3．

8．【答案】；

【解析】设⊙O与BC切于D点，连接OD，OC．

在Rt△ODC中，．∠OCD＝30°．

∴  ．

∴  ，则．

9．【答案】0.4；

  【解析】如图，过O作OC⊥AB于C，并延长并于D．

          在Rt△OBC中，，．

          ∴  ．

          ∴  CD＝OD-OC＝1-0.6＝0.4(米)．

10．【答案】；

【解析】如图，因为2πR＝12π，所以R＝6．

由勾股定理，得．

所以．

11．【答案】；

【解析】底圆周长为2πr＝10π，

设圆锥侧面展开图的扇形所对圆心角为n°，

有，即，

∴  n＝180°，如图所示，FA＝2，OA＝8，

在Rt△OEA中由勾股定理可得EA即为所求最短距离．

∴ ．

12．【答案】a； 

【解析】第一个：正多边形的面积等于a；

第二个：如图作AE⊥BD于E，

设正六边形的边长为2，

∵正六边形的一个内角为120°，

∴∠ABE=30°，

则AE=1，BE=，

△ABD的面积为：×2×1=，

a=2×2=4，

∴正六边形的面积为：a，

第三个：如图，

∵正八边形的一个内角为135°，

∴∠ABD=45°，

设正八边形的边长为2，

则BD=AD=，△ABD的面积为1，

四边形ABEF的面积为1+2+1=2+2，

a=2×（2+2）=4+4，

∴正八边形的面积为2a，

通过计算可以看出：第n个正多边形的面积为a．

三、解答题

13.【答案与解析】

   （1）∵  直径AB⊥DE，

∴  ．

∵  DE平分半径OA，

∴  ．

在Rt△OCE中，

∵  ∠CEO＝30°．

∴  OE＝2．

即⊙O的半径为2．

   （2）连OF，在Rt△DCP中，

∵  ∠DPC＝45°．∠D＝90°-45°＝45°

∴  ∠EOF＝2∠D＝90°．

∵  ．

∴  ．

14.【答案与解析】

    解：(1)直线CD与⊙O相切．

如图，连接OD．

∵  OA＝OD，∠DAB＝45°，

∴  ∠ODA＝45°．∴  ∠AOD＝90°．

∵  CD∥AB，∴  ∠ODC＝∠AOD＝90°，

即OD⊥CD．

又∵  点D在⊙O上，∴  直线CD与⊙O相切．

(2)∵  BC∥AD，CD∥AB，

∴  四边形ABCD是平行四边形．

∴  CD＝AB＝2．

∴  ．

∴  图中阴影部分的面积等于

．

15.【答案与解析】

    (1)证明：∵  C是的中点，

∴  ．

∴  ∠CAD＝∠ABC．

∵  AB是⊙O的直径，

∴  ∠ACB＝90°．

∴  ∠CAD+∠AQC＝90°．

又  CE⊥AB，

∴  ∠ABC+∠PCQ＝90°．

∴  ∠AQC＝∠PCQ．

∴  在△PCQ中，有PC＝PQ．

∵  CE⊥直径AB，

∴  ．

∴  ．

∴  ∠CAD＝∠ACE．

∴  在△APC中，有PA＝PC．

∴  PA＝PC＝PQ．

∴  P是△ACQ的外心．

 (2)解：∵  CE⊥直径AB于F，

∴  在Rt△BCF中，

由，CF＝8，

得  ．

∴  由勾股定理，得．

∵  AB是⊙O直径，

∴  在Rt△ACB中，由，，

得  ．

易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴  AC2＝CQ·BC．

∴  ．

(3)证明：∵  AB是⊙O直径，∴  ∠ACB＝90°．

∴  ∠DAB+∠ABD＝90°．

又CF⊥AB，∴  ∠ABG+∠G＝90°．

∴  ∠DAB＝∠G．

∴  Rt△AFP∽Rt△GFB．

∴  ，即AF·BF＝FP·FG．

易知Rt△ACF∽Rt△CBF，

∴  FC2＝AF·BF(或由射影定理得)

∴  FC2＝FP·FG．

由(1)，知PC＝PQ，∴  FP+PQ＝FP+PC＝FC．

∴  (FP+PQ)2＝FP·FG．

16.【答案与解析】

  解：（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出．

△ABC就是所求的三角形；

（2）在直角△ABD中，AD==，

则BC=AD=，CD=AB=x．

则矩形的周长是：2x+2，

故答案是：2x+2；

（3）连接AC，

∵AD是直径，

∴∠ACD=90°，

又∵CG⊥AD于点G．

∴CD2=DG•AD，

∴DG==，

∴BC=EF=AD﹣2DG=2r﹣．

则L=4x+4r﹣．

当x=﹣=r时，L取得最大值．最大值是：6r．