四川省广元市2021年中考数学试题（含详解）

这是一份四川省广元市2021年中考数学试题（含详解），共35页。试卷主要包含了选择题．，填空题等内容，欢迎下载使用。

四川省广元市2021中考数学试题
一、选择题．（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．每小题3分，共30分）
1. 计算的最后结果是（ ）
A. 1 B. C. 5 D.
【答案】C
【详解】
【分析】先计算绝对值，再将减法转化为加法运算即可得到最后结果．
【详解】解：原式，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值化简和有理数的加减法运算，解决本题的关键是牢记绝对值定义与有理数运算法则，本题较基础，考查了学生对概念的理解与应用．
2. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案．
【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，
D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：C.
【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合；中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180°后，两部分能够完全重合；熟练掌握定义是解题关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】
【分析】分别根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则进行计算即可判断求解．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，不合题意；
B. ，原选项计算正确，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不合题意；
D. ，原选项计算错误，不合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，乘法公式等知识，熟知乘法公式和整式的乘法法则是解题关键．
4. 一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【详解】
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【详解】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字3后平均数为，所以平均数发生了变化，故A不符合题意；
B、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故B与要求相符；
C、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和 3，故C与要求不符；
D、原来数据的方差=，
添加数字3后的方差=，故方差发生了变化，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
5. 下列命题中，真命题是（ ）
A.
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形
D. 已知抛物线，当时，
【答案】D
【详解】
【分析】根据零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质可直接进行排除选项．
【详解】解：A、，错误，故不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意；
D、由抛物线可得与x轴的交点坐标为，开口向上，然后可得当时，，正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质，熟练掌握零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质是解题的关键．
6. 观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．
【详解】：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
【点睛】本题考查点到直线距离的画法，角平分线的画法，中垂线的画法，能够区别彼此之间的不同是解题切入点．
7. 如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）

A. B. C. D. 1
【答案】B
【详解】
【分析】先计算的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于的长度，根据公式计算即可．
【详解】解：如下图：

连接BC，AO，
∵，
∴BC是直径，且BC=2，
又∵，
∴，

又∵， ，
∴ ，
∴的长度为：，
∴围成的底面圆周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，
则：，
∴．
故选：
【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．
8. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【详解】
【分析】由二次函数详解式，可求与x轴的两个交点A、B，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B点时，恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x轴对称的函数图像只有一个交点，即联立详解式得到的方程的判别式等于0，即可求解．
【详解】解：由知，当时，即

解得：

作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：


平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点
当的函数图像由的图像关于x轴对称得到
当时对应的详解式为
即，整理得：


综上所述或
故答案是：A．

【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．
9. 如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. 1 D.
【答案】D
【详解】
【分析】取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．
【详解】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵是以为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查切线性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10. 如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）

A. B. 1 C. D.
【答案】B
【详解】
【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．
【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，
∵∠CDQ是公共角，
∴∠PDC=∠QDE，
∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，
∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）
11. 的算术平方根是 _____．
【答案】2
【详解】
【详解】∵，的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2.
【点睛】这里需注意：的算术平方根和的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错.
12. 中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失．袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献．截至2012年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤．将20亿这个数据用科学记数法表示为________．
【答案】
【详解】
【分析】科学记数法要求，小数点在第一个不为零的整数后面，其他数为小数，小数点移动位数等于幂的指数，向左移动，指数为正，向右移动，指数为负．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法，根据相关原则进行计算是解题关键点．
13. 如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为________．

【答案】-3
【详解】
【分析】先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可．
【详解】解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为，
∴点D表示的数为，
∵A点表示，C点位于A、D两点之间，
∴，
∵m为整数，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法．
14. 如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________．

【答案】
【详解】
【分析】由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．
15. 如图，点在反比例函数的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且．点是线段上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接、．当时，x的取值范围是________．

【答案】
【详解】
【分析】先求出反比例函数的详解式，再求出线段MN的详解式，最后联立两个详解式求出B和C两个点的坐标，再根据k的几何意义，确定P点位置，即可得到相应的x的取值范围．
【详解】解：∵点
∴，
所以反比例函数的详解式为：，
因为，
∴,
设线段MN详解式为：，
∴，
∴，
∴线段MN详解式为：，
联立以上两个详解式得：，
解得：或，经检验，符合题意；
由图可知，两个函数的图像交点分别为点B和点C，
∴，，
∵，
∴P点应位于B和C两点之间，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题涉及到了动点问题，考查了反比例函数的图像与性质、k的几何意义、待定系数法等内容，解决本题的关键是牢记反比例函数的图像与性质，理解k的几何意义，以及能联立两个函数的详解式求交点坐标等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
16. 如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．

【答案】①②③⑤
【详解】
【分析】由题意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，对于①：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，则问题可判定；对于②：把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，则有HF=EF，则可判定；对于③：连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易证△AOP∽△ABF，进而问题可求解；对于④：过点A作AN⊥EF于点N，则由题意可得AN=AB，若△AEF的面积为定值，则EF为定值，进而问题可求解；对于⑤由③可得，进而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比为，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，
①∵，
∴由四边形内角和可得，
∴点A、B、F、P四点共圆，
∴∠AFP=∠ABD=45°，
∴△APF是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示：

∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，
∴，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴HF=EF，
∵，
∴，故②正确；
③连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：

∵点O是对角线的中点，
∴OB=OD，，
∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，
∴，
由①可得点A、B、F、P四点共圆，
∴，
∵，
∴△AOP∽△ABF，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④过点A作AN⊥EF于点N，如图所示：

由②可得∠AFB=∠AFN，
∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，
∴△ABF≌△ANF（AAS），
∴AN=AB，
若△AEF的面积为定值，则EF为定值，
∵点P在线段上，
∴的长不可能为定值，故④错误；
⑤由③可得，
∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，
∴△APG∽△AFE，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述：以上结论正确的有①②③⑤；
故答案为①②③⑤．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（96分）要求写出必要的解答步骤或证明过程
17. 解方程：．
【答案】
【详解】
【分析】根据整式方程的计算过程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，就可以得到结果．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式方程的计算，注意每个步骤的要求是解题的关键．
18. 先化简，再求值：．其中，．
【答案】，
【详解】
【分析】先算括号内的，再进行分式的除法运算进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式=，
把，代入得：原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．
19. 如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．

（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）24．
【详解】
【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；
（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中

∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．
（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？
（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？
【答案】（1）有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；（2）学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少．
【详解】
【分析】（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据“学校计划用不超过3550元总费用购买”和“购买篮球的数量多于购买足球数量的”列出不等式组，求解即可；
（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，分别计算出在甲，乙两商场的费用列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据题意得，

解得，
∵x是整数，
∴x=9，10或11
∴20-x=12，10或9
故有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；
（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，
在甲商场花费：元；
在乙商场花费：元；
∴要使学校到甲商场花费最少，则有：

解得，
∵，且x是整数，
∴x=9,
即：学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出不等式，再求解．
21. “此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：

甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18－29周岁
900
0.15
400
0.1
30－39周岁
a
0.25
1000
0.25
40－49周岁
2100
b
c
0.225
50－59周岁
1200
0.2
1200
0.3
60周岁以上
300
0.05
500
0.125
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：_________，_________，_________；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为_________；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．

【答案】（1）①1500，0.35，6=900；②108°；（2）
【详解】
【分析】（1）①分别用甲、乙两医院18-29周岁的年龄段的频数除以频率即可求出接种总人数，然后根据频数与频率的关系求出相应的值；②甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数与接种总人数的百分比乘以360°即可得到在扇形统计图中所占圆心角；
（2）画出树状图，得出所有等可能的结果数与三人在同一家医院接种的结果数，运用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）①900÷0.15=6000（人），400÷0.1=4000（人）
∴a=6000-900-2100-1200-300=1500
b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35
c=4000-400-1000-1200-500=900
故答案为：1500，0.35，6=900；
②360°
故答案为：108°；
（2）画树状图为：

∴所有等可能的结果共有8种情况，而同在一所医院接种的有2种结果数，
∴三人在同一家医院接种的概率．
【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及概率的计算，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
22. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米．

（1）求此时无人机的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
【答案】（1）米；（2）秒
【详解】
【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE的值，进而得到DH的值；
（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC的度数，接着求出∠GFA的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG和GF，进而得到DF的值，最后除以无人机速度即可．
【详解】解：如图1，过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E，


可知四边形EHBC为矩形，
∴EH=CB，CE=HB，
∵无人机测得小区楼房顶端点C处的俯角为，测得操控者A的俯角为，DM∥AB，
∴∠ECD=45°，∠DAB=75°，
∴∠CDE=∠ECD=45°，
∴CE=DE，
设CE=DE=HB=x，
∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+，
在Rt△DAH中，DH=tan75°×AH=，
即，
解得：x=30，
∴DH=
∴此时无人机的高度为米；
（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF刚好经过点C，
过A点作AG⊥DF，垂足为点G，此时，由（1）知，AG=（米），


∴；
∵，
∴
∵DF∥AB，
∴∠DFA=∠CAB=30°，
∴,
∴,
因为无人机速度为5米/秒，
所以所需时间为（秒）；
所以经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
23. 如图，直线与双曲线相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，

（1）求直线的详解式及点B的坐标；
（2）以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的详解式．
【答案】（1）y=-0.5x+2；点B坐标为（3，0.5）；（2）过点C的双曲线详解式为．
【详解】
【分析】（1）把点A横坐标代入反比例函数详解式，可求出点A坐标，代入可求出直线详解式，联立反比例函数与一次函数详解式即可得点B坐标；
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线详解式为，根据点A、B坐标可求出AB的长，根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC=，根据两点间距离个数求出m、n的值即可得点C坐标，代入反比例函数详解式求出k值即可得答案．
【详解】（1）∵点A在双曲线上，点A横坐标为1，
∴当x=1时，y=1.5，
∴点A坐标为（1，1.5），
∵直线与双曲线相交于点A、B，
∴k+2=1.5，
解得：k=-0.5，
∴直线的详解式为y=-0.5x+2，
联立反比例函数与一次函数详解式得，
解得：，（舍去），
∴点B坐标为（3，0.5）．
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线详解式为，
∵A（1，1.5），B（3，0.5），
∴AB==，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC==，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴或0（舍去），
∴点C坐标为（，2），
把点C坐标代入双曲线详解式得：，
解得：，
∴过点C的双曲线详解式为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键．
24. 如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【详解】
【分析】（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明∠EAD=∠FDE，再根据AD为直径，得到∠ADE+∠DAE=90°，进而得到AD⊥FD，问题得证；
（2）先求出DE=3，证明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，进而得到AE=6，求出,证明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．
【详解】解：（1）证明：连接DE，
∵
∴∠CAD=∠CED，
∵ 是的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠CED=∠EAD，
∵，
∴∠CED=∠FDE，
∴∠EAD=∠FDE，
∵AD为直径，
∴∠AED=∠ACD=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠FDE=90°，
即AD⊥FD，
又∵为直径，
∴是的切线；
（2）∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴,
∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴DE=DC=3，
∴BC=BD+CD=8，
在Rt中，∵，
∴设AC=3x，AB=5x，
∴，
∵x＞0，
∴x=2，
∴AB=5x=10，AC=3x=6，
∵△AED≌△ACD，
∴AE=AC=6，
∴在Rt△ADE中，,
∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，
∴△ADE∽△AFD，
∴，
即 ,
∴．

【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，圆的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意添加辅助线，熟知圆的性质，利用三角函数解直角三角形是解题关键．
25. 如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．

（1）求证：；
（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．
【答案】（1）证明见详解；（2）；；（3）
【详解】
【分析】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．
（2）的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，的比值转换为的比值即可求得.
（3）过点作垂直于的延长线于点，，将相关线段关系转化为CE，可得关系，观察图象，当时，可得最大值．
【详解】（1）证明：∵，
∴,
∵垂直于射线,
∴
又∵
∴,
∵
即：
又∵
∴
（2）解：∵点P、M、N分别为线段、、的中点
∴，，
∴,
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
又∵
又∵
∴
∴
（3）如下图：

过点作垂直于的延长线于点,




又∵
∴
∴
∴当取得最大值时，取得最大值，

在以的中点为圆心，为直径的圆上运动，
当时，最大，
∴，
【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：
x
…

0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求出这条抛物线的详解式及顶点M的坐标；
（2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴，垂足为F，的外接圆与相交于点E．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）；；（2）；（3）是，1．
【详解】
【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；
（2）利用平移和找对称点方式，将的长转化为，再利用两点之间线段最短确定的最小值等于CE的长，加1后即能确定的最小值；
（3）设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到D点的距离，求出q和e的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值．
【详解】解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）
设抛物线详解式为：，
将点（0,3）代入详解式得：3=a+4，
∴，
∴抛物线详解式为：，顶点坐标．
（2）由表格可知，抛物线经过点A（-1,0），C（0,3），
如图3，将A点向上平移一个单位，得到，
则
∴四边形是平行四边形，
∴，
作关于MQ的对称点E，则
∴，
∴，
当P、E、C三点共线时，最短，
设直线CE的详解式为：，
将C、E两点坐标代入详解式可得：，
∴，
∴直线CE的详解式为：，
令，则，
∴当时，P、E、C三点共线，此时最短，
∴的最小值为．
（3）是；
理由：设，
因为A、B两点关于直线x=1对称，
所以圆心位于该直线上，
所以可设的外接圆的圆心为，
作，垂足为点N，则，
由轴，
∴，
∵，且由表格数据可知
∴，
化简得：，
∵点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线详解式为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的长不变，为1．

【点睛】本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线详解式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等．