专题75 带电粒子在磁场中运动的多解问题（原卷版+解析版）-2023届高考物理一轮复习知识点精讲与最新高考题模拟题同步训练

2023高考一轮知识点精讲和最新高考题模拟题同步训练

第十三章  磁场

专题75  带电粒子在磁场中运动的多解问题

第一部分  知识点精讲

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，问题形成多解。根据多解形成原因，常见的有如下三种情况：

一、　带电粒子电性不确定形成多解

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解，如图所示。带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场：若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。

二、　临界状态不唯一形成多解

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解，如图所示。

三、　磁场方向不确定形成多解

对于题目只给出磁场方向垂直于纸面等，而没有明确方向的问题，可能由于磁场方向不确定形成多解。

四、运动具有周期性形成多解

带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解。

二、带电粒子在磁场中运动的多解问题解题思路

(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因。

(2)作出粒子的运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。

(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。

第二部分 最新高考题精选

1. （2022·全国理综乙卷·21）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（　　）

A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大

B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大

C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能

D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能

【参考答案】BD

【名师解析】．在截面内，极板间各点的电场强度大小E与其到O点的距离r成反比，可设为

带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有，

可得，即粒子1入射时的动能等于粒子2入射时的动能，故C错误；

粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3入射时的动能比它出射时的小，故A错误；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做离心运动，电场力做负功，则动能减小，粒子4入射时的动能比它出射时的大，故B正确；

粒子3做向心运动，有，可得

粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能，故D正确；

2．（2022·高考广东物理）如图6所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是（    ）

A．    B．  

 C．    D．

【参考答案】A

【命题意图】本题考查带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动，左手定则及其相关知识点。

【解题思路】

根据题述情景，质子垂直Oyz平面进入磁场，向y轴正方向偏转穿过MNPQ平面向x轴正方向偏转，所以可能正确的是A。

3.（20分）

（2021高考全国甲卷）如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。

（1）求粒子发射位置到P点的距离；

（2）求磁感应强度大小的取值范围；

（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。

【名师解析】（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知

粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，有

粒子发射位置到P点的距离

由得

（2）带电粒子在磁场中运动速度

带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹（分别从Q、N点射出），如图所示

由几何关系可知，粒子运动轨迹的最小半径为

最大半径 

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力

，

由解得，磁感应强度大小的取值范围为

（3）若带电粒子正好从QN的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图所示。

由几何关系可知

带电粒子在匀强磁场中运动轨迹半径

粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离

由解得

4（16分）（2021高考河北物理）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q。一足够长的挡板与正极板成倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子，长度为。忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，。

（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压的大小；

（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上，求电压的最小值；

（3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点（，H、S两点末在图中标出）。对于粒子靶在区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n（）种能量的粒子，求和的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。

【名师解析】（1）从O点射出的粒子经电场一次加速，由动能定理

带电粒子正好打在P点处的粒子靶上，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r=L0/2.

洛伦兹力提供向心力，qvB=m

联立解得：U0=。

（2）当电压为最小值时，粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板OM相切，此时粒子恰好不能打到挡板上，则

从O点射出的粒子在板间被加速，由动能定理，

粒子在负极板上方的磁场中做匀速圆周运动，

粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到v0，则

由几何关系，

联立解得：v=4v0/3，

（3）设粒子第一次经过电场加速，在负极板上方磁场区域偏转的轨迹半径为r0，若粒子在电场中加速电压小于Umin，粒子穿过正极板下方磁场运动时，会被OM板吸收。则第一次出现能吸收两种能量的位置（即H点），为粒子通过极板电压时，粒子第二次从上方打到负极板位置（轨迹如图中蓝色线条所示）。由（2）的计算可知，r1=

则  CH=4r-2r’=

极板电压大于  时，粒子均不会被OM吸收，可以经过正极板下方磁场偏转，回到负极板上方磁场中，偏转后打在负极板上。则H点右方的点的粒子靶都可以接受到n（n≥2）种能量的粒子，即CS→∞。

第三部分 最新模拟题精选

1. （2022河北重点中学期中素养提升）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC是圆的一条直径，D为圆上一点，∠COD=60°。在A点有一个粒子源，沿与AC成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。则从A点射出的粒子的比荷可能是（　　）

A.  B.  

C.  D.

【参考答案】AD

【名师解析】

带电粒子从C点射出磁场，轨迹如图所示

由几何关系得

解得

带电粒子从D点射出磁场，轨迹如图所示

由几何关系得是菱形，所以粒子的轨迹半径

所以粒子在磁场中运动的轨迹半径满足

由洛伦兹力提供向心力得

解得从A点射出的粒子的比荷满足

故选AD。

2. （2022山东聊城二模）如图所示，某粒子分析器由区域I、区域Ⅱ和检测器Q组成。两个区域以垂直x轴的平面P为界，其中区域I内有沿着z轴正方向的匀强磁场和匀强电场，区域Ⅱ内只有沿着z轴正方向的匀强磁场，电场强度大小为E，两个区域内的磁感应强度大小均为B。当粒子撞击检测器Q时，检测器被撞击的位置会发光。检测器中心在轴上，在检测器所在平面上建立与xOy坐标系平行的坐标系。一质量为m、带电荷量为q的带正电粒子从A点沿x轴正方向以初速度v0射入，若区域I内只存在匀强磁场，粒子轨迹圆的圆心恰好是O点，平面P到O点的距离，运动过程中粒子所受重力可以忽略不计。

（1）求A点的位置，用坐标（x，y）表示：

（2）若区域I只有匀强电场E，当检测器Q置于平面P所在位置时，求检测器上发光点的位置，用坐标（，）表示：

（3）当检测器距O点的距离为d时，求检测器上发光点的位置，用坐标（，）表示。

【参考答案】（1）；（2）；

（3）当时坐标为，

当时，坐标为

【名师解析】

（1）由洛伦兹力提供向心力有

解得

则A点坐标为；

（2）粒子做类平抛运动，有

解得

则

则发光点的位置为；

（3）①当时，粒子的运动可以分解为沿z轴方向初速度为零的匀加速直线运动和xOy平面内速度为的匀速圆周运动

解得

根据

解得

则

发光点的位置坐标为；

②当时，在区域Ⅱ内粒子的运动可以分解为沿轴方向的匀速直线运动和平面内速度为的匀速圆周运动，刚出区域Ⅰ时，粒子的坐标为，沿轴的速度为

粒子在区域Ⅱ运动的时间

根据几何关系可知，打在检测器上的坐标为

发光点的位置为。

3. （2022河北唐山三模）如图为控制高能粒子在不同位置发生正碰的装置。关于y轴对称间距为的直线边界和之间有两个有界匀强磁场。两磁场的边界在x轴上方，与x轴距离h可调。下方磁场垂直纸面向里，上方磁场垂直纸面向外，磁感应强度均为B。高速正、负电子分别从和磁场边界上沿x轴以相同速率同时进入磁场。调节电子速率和h，控制正负电子在y轴不同位置发生正碰，碰撞时速度与y轴垂直。已知电子质量为m、电荷量大小为e、不计粒子间的相互作用力和重力。求：

（1）正、负电子同时以相同速度进入磁场，经过边界一次后在y轴发生正碰，求h大小；

（2）正、负电子同时以相同速度进入磁场，调节h使正负电子在y轴不同位置发生正碰，求h的可能大小。

【名师解析】

（1）设正、负电子以速度v1在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r1，根据牛顿第二定律有

解得

r1=

如图所示，根据对称性可知

（2）设正、负电子以速度v2在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r2，根据牛顿第二定律有

解得

如图所示，当时，正、负电子仅可能在O点发生正碰，根据几何关系有

解得

当h< r2时，如图所示，正、负电子在两磁场中存在往复运动的情况，根据几何关系有

解得

4.如图甲所示，平行金属板A和B间的距离为d。现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，t＝0时，A板比B板的电势高，电压的正向值为u0，反向值为－u0。现有质量为m、带电荷量为q的正粒子组成的粒子束，从AB的中点O1以平行于金属板方向O1O2的速度v0＝射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。求：

(1)粒子射出电场时位置离O2点的距离范围及对应的速度；

(2)若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感应强度是多大？

【名师解析】

　(1)当粒子由t＝nT(n＝0，1，2，…)时刻进入电场，向下侧移最大，

则s1＝＋－＝，

当粒子由t＝nT＋(n＝0，1，2，…)时刻进入电场，向上侧移最大，

则s2＝＝，

在距离中点O2下方至上方的范围内有粒子射出。

打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为

vy＝·＝，

所以射出速度大小为

v＝＝ ＝。

(2)粒子运动示意图如图所示。设速度方向与v0的夹角为θ，

则tan θ＝＝，得θ＝30°。

要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界某一点且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等。

粒子宽度D＝(s1＋s2)cos 30°，

即D＝ cos 30°

＝。

故磁场区域的最小半径为

r＝＝，

而粒子在磁场中做匀速圆周运动有

qvB＝m，解得B＝。

[答案]　(1)见解析　(2)