【备战2023高考】数学总复习——专题01 导数常考经典题型（全国通用）

导数常考经典题型

难度：★★★★☆            建议用时： 30分钟              正确率 ：      /30

一、单选题

1．（2023·四川成都·统考一模）若函数在处有极大值，则实数的值为（    ）

A．1 B．或 C． D．

【答案】D

【解析】函数，，

函数在处有极大值，可得，解得或，

当时，，时，时，

在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值，不合题意.

当时，，时，时，

在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值，符合题意.

综上可得，.

故选：D

2．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．

故选：B.

3．（2023·陕西榆林·统考一模）已知，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】构造函数，

则，

故在上单调递增.

因为，

所以，

故.

故选：D.

4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

则

，

函数存在唯一的极值点，由，

可知函数在上有一个变号零点，

在没有变号零点，

即在没有变号零点，

令，，

则，

当时，，则函数单调递增；

当时，，则函数单调递减；

则，则，故实数a的取值范围为.

故选：B.

5．（2023·陕西铜川·校考一模）直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，直线与直线的交点，直线与曲线交点，满足，

则，

设，，则，

由，得；，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

则，即，

故选：B．

6．（2023·贵州毕节·统考一模）如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，若函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称为这个圆的一个“太极函数”．已知函数是圆的一个太极函数，若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】圆的圆心为，若函数是圆的太极函数，

则函数关于点对称，则，有，

即，

整理为：恒成立，

解得：，

则函数，

，若函数有两个极值点，则有两个不相等的实数根，

则，解得：.

故选：A

7．（2023·吉林·统考二模）设函数，在上的导函数存在，且，则当时（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，

若，则，故A错误，

若，则，故B错误；

对于CD，因为，在上的导函数存在，且，

令，则，

所以在上单调递减，

因为，即，所以，

由得，则，故C正确；

由得，则，故D错误.

故选：C.

8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数是偶函数，当时，．若曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】C

【解析】当时，，所以，

又函数是偶函数，

所以当时，，则，所以．

又，

所以曲线在点处的切线方程为，

即，

所以，，解得．

故选：C

9．（2023·江西上饶·统考一模）已知函数，则在上的零点个数是（    ）

A．2023 B．2024 C．2025 D．2026

【答案】B

【解析】因为，

所以函数是周期为的周期函数，

又，

当时，令，

可得或或

当时，，当且仅当时，

函数在上单调递增，

因为，，所以函数在存在一个零点；

当时，，当且仅当时，，

所以函数在上单调递减，

因为，，

所以函数在存在一个零点；

当时，，所以函数在上单调递增，

因为，，

所以函数在不存在零点；

所以当时，函数有两个零点，且零点位于区间内，

所以在上共有个零点.

故选：B.

10．（2023·湖南·模拟预测）已知函数（e是自然对数的底数），若存在，使得，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，，

，，

当时，，，

由得，由得，所以在上递增，在上递减，

在处取得最小值，，

，

令，则，，

当时，取得最小值，当时，取得最大值0，

所以的取值范围是.

故选：A

11．（2023·广东深圳·统考一模）已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，

又，则公切线的斜率，则，所以，

则公切线方程为，即，

代入得：，则，整理得，

若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，

设，则，令得，

当时，，单调递增，时，，单调递减，

又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下：

所以，解得，故实数a的取值范围为.

故选：B.

12．（2023·全国·模拟预测）已知函数，对于恒成立，则满足题意的a的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为函数，对于恒成立，

所以，对于恒成立，

所以，对于恒成立，

设，则为上的增函数，所以，

则，对于恒成立，

设，则，

当时，恒成立，所以在上为增函数，

因为，所以存在，使得，不满足，对于恒成立；

当时，令，得，

所以当时，，为减函数，

当时，，为增函数，

所以，则，

设，则，

令，得，

当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

所以，当且仅当时，等号成立，

又，所以，即.

综上所述：的取值集合为.

故选：D

二、填空题

13．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

【答案】

【解析】∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：

14．（2023·广东惠州·统考模拟预测）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______.

【答案】          1

【解析】（1）由题意得，，则，，

则.

（2）由题意得，，，∴，

令，则，令，则，

显然当t∈[1,2]时，，p（t）单调递减，所以，∴的最大值为1.

故答案为：，1.

15．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是______________．

【答案】

【解析】 ，所以 是奇函数，

又 ， 在R的范围内是增函数，

有解等价于 ， 有解，

令 ，

当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意；

当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数，

；

令 ，则 ，当 时， ，

是增函数，当 时， 是减函数，

并且当 时， ， ，

当 时 ，即当 时， 满足题意，

所以a的取值范围是 ；

故答案为：.

16．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．

【答案】

【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为，所以方程的两个根为，

即方程的两个根为，

即函数与函数的图象有两个不同的交点，

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

所以当时，，即图象在上方

当时，，即图象在下方

，图象显然不符合题意，所以．

令，则，

设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，

则切线的斜率为，故切线方程为，

则有，解得，则切线的斜率为，

因为函数与函数的图象有两个不同的交点，

所以，解得，又，所以，

综上所述，的取值范围为．

[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导

=0的两个根为

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

设函数，则，

若，则在上单调递增，此时若，则在

上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数

且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；

若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.

【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．