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【备战2023高考】数学总复习——专题06 离心率（全国通用）
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这是一份【备战2023高考】数学总复习——专题06 离心率（全国通用）
离心率 难度：★★★★☆ 建议用时： 30分钟 正确率 ： /30一、单选题1．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A2．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ）A． B． C． D．3【答案】B【解析】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为，因此直线的倾斜角的正切值为，即，所以有，设，由双曲线定义可知：，由余弦定理可知：，故选：B3．（2023·吉林·统考二模）已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点,若是正三角形,则，即，即，即有，则，解得.故选：C.4．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设椭圆C的右焦点为，连接．由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，即以为直径的圆与椭圆有公共点．设椭圆C的半焦距为，所以只需，所以，即，所以椭圆C的离心率的取值范围为．故选：C6．（2023·全国·模拟预测）我们平时学习的“对勾函数”（形如，ab同号且不为零）的图像实际上是一种特殊的双曲线.根据双曲线的相关定义，“对勾函数”的图像经旋转后得到的双曲线（焦点位于x轴上）的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得其渐近线方程为和，因为的倾斜角为，的倾斜角为，所以原双曲线的两渐近线的夹角为，因为，解得，所以原双曲线的渐近线方程为，则，所以双曲线的离心率为，故选：A7．（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】双曲线（，）的渐近线的方程为，双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，根据双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为，则，则，，则该双曲线的离心率为，故选：D.8．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与在第二象限交于点，且双曲线的一条渐近线垂直平分线段，则的离心率为（ ）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由题设，渐近线，，因为以为直径的圆与在第二象限交于点，所以，因为双曲线的一条渐近线垂直平分线段，所以， ，，所以，直线的方程为，直线的方程为，所以，联立方程得，所以，将代入整理得，即，所以，的离心率为.故选：D9．（2023·贵州毕节·统考一模）已知，为双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，半径长为的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，点为切点，则，过点作，垂足为点，则，因为，，则，因为点是线段的中点，所以点是线段的中点，则，，因为，则，则，，因为，解得：即双曲线的离心率为.故选：C10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，椭圆C的半焦距为c，则，，所以，因为，所以，所以，即，则，所以.故选：A.11．（2023·陕西咸阳·校考一模）双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由题，设，因为所以，因为，所以，解得因为，解得，所以，双曲线的离心率为.故选：A12．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知为双曲线左支上的一点， 双曲线的左右顶点分别为， 直线交双曲线的一条渐近线于点， 直线的斜率为， 若以为直径的圆经过点， 且， 则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设点 ， 则， 即有， ①以为直径的圆经过点可知， 所以，即，由 ，则 ， 可得，由，则，所以 ，② 由①和②得， 由，得双曲线的离心率．故选：D．二、填空题13．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足皆可）【解析】，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）14．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．【答案】【解析】过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：．15．（2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．【答案】【解析】设的半焦距为c（），则，又，所以，又直线与的一条渐近线平行，所以，所以，所以，所以，所以，又，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为．故答案为：16．（2023·上海·统考模拟预测）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于_________.【答案】【解析】设椭圆的右焦点为，依题意可得，双曲线的一条渐近线为，因为，所以，由，解得，即，又点在椭圆上，所以，即，即，即，即，即，即，即，即，即，解得或（舍去），所以椭圆方程为，则，所以椭圆的离心率.故答案为：
离心率 难度：★★★★☆ 建议用时： 30分钟 正确率 ： /30一、单选题1．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A2．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ）A． B． C． D．3【答案】B【解析】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为，因此直线的倾斜角的正切值为，即，所以有，设，由双曲线定义可知：，由余弦定理可知：，故选：B3．（2023·吉林·统考二模）已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点,若是正三角形,则，即，即，即有，则，解得.故选：C.4．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设椭圆C的右焦点为，连接．由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，即以为直径的圆与椭圆有公共点．设椭圆C的半焦距为，所以只需，所以，即，所以椭圆C的离心率的取值范围为．故选：C6．（2023·全国·模拟预测）我们平时学习的“对勾函数”（形如，ab同号且不为零）的图像实际上是一种特殊的双曲线.根据双曲线的相关定义，“对勾函数”的图像经旋转后得到的双曲线（焦点位于x轴上）的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得其渐近线方程为和，因为的倾斜角为，的倾斜角为，所以原双曲线的两渐近线的夹角为，因为，解得，所以原双曲线的渐近线方程为，则，所以双曲线的离心率为，故选：A7．（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】双曲线（，）的渐近线的方程为，双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，根据双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为，则，则，，则该双曲线的离心率为，故选：D.8．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与在第二象限交于点，且双曲线的一条渐近线垂直平分线段，则的离心率为（ ）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由题设，渐近线，，因为以为直径的圆与在第二象限交于点，所以，因为双曲线的一条渐近线垂直平分线段，所以， ，，所以，直线的方程为，直线的方程为，所以，联立方程得，所以，将代入整理得，即，所以，的离心率为.故选：D9．（2023·贵州毕节·统考一模）已知，为双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，半径长为的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，点为切点，则，过点作，垂足为点，则，因为，，则，因为点是线段的中点，所以点是线段的中点，则，，因为，则，则，，因为，解得：即双曲线的离心率为.故选：C10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，椭圆C的半焦距为c，则，，所以，因为，所以，所以，即，则，所以.故选：A.11．（2023·陕西咸阳·校考一模）双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由题，设，因为所以，因为，所以，解得因为，解得，所以，双曲线的离心率为.故选：A12．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知为双曲线左支上的一点， 双曲线的左右顶点分别为， 直线交双曲线的一条渐近线于点， 直线的斜率为， 若以为直径的圆经过点， 且， 则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设点 ， 则， 即有， ①以为直径的圆经过点可知， 所以，即，由 ，则 ， 可得，由，则，所以 ，② 由①和②得， 由，得双曲线的离心率．故选：D．二、填空题13．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足皆可）【解析】，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）14．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．【答案】【解析】过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：．15．（2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．【答案】【解析】设的半焦距为c（），则，又，所以，又直线与的一条渐近线平行，所以，所以，所以，所以，所以，又，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为．故答案为：16．（2023·上海·统考模拟预测）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于_________.【答案】【解析】设椭圆的右焦点为，依题意可得，双曲线的一条渐近线为，因为，所以，由，解得，即，又点在椭圆上，所以，即，即，即，即，即，即，即，即，即，解得或（舍去），所以椭圆方程为，则，所以椭圆的离心率.故答案为：
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