小学数学人教版五年级下册探索图形学案及答案

人教版数学五年级下册

知识点01：长方体和正方体的认识

1. 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

长方体特点：

（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。

（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。

2. 由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。

正方体特点：

（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。

（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。

（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。

3. 长方体、正方体有关棱长计算公式：

长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4；正方体的棱长总和=棱长×12。

知识点02：长方体和正方体的表面积

1. 长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
2. 长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；正方体的表面积=棱长×棱长×6。

知识点03：长方体和正方体的体积

1. 物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2. 长方体的体积=长×宽×高。正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
3. 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
4. 体积单位换算：大单位×进率=小单位；小单位÷进率=大单位。

考点01：长方体和正方体的认识

【典例分析01】用丝带捆扎一个长35厘米，宽25厘米，高10厘米的长方体礼盒（如图）。打结处的丝带长40厘米。捆扎这个礼盒至少需要多长的丝带？

【分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知：需要彩带的长度等于2条长+4条高+2条宽+打结用的40厘米即可。

【解答】解：35×2+25×2+10×4+40

＝70+50+40+40

＝200（厘米）

答：至少需要200厘米的丝带。

【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和的计算方法。

【变式训练01】把12盒同样的儿童牙膏用丝带捆在一起。

（1）至少需要 　   　厘米的丝带。（丝带接头处忽略不计）

（2）如果一行摆 　   　盒，摆 　   　行，会更节省丝带。

【变式训练02】一个正方体的礼品盒，棱长6cm，包装这个礼品盒至少要用多少平方厘米的包装纸？

【变式训练03】用一根长为96厘米的铁丝焊接成一个尽可能大的正方体框架模型（焊接头不计），这个正方体的棱长是多少厘米？

考点02：长方体和正方体的表面积

【典例分析02】做一个微波炉的包装箱（如图），至少要用多少平方米的硬纸板？

【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据分别代入公式解答。

【解答】解：（1×0.6+1×0.4+0.6×0.4）×2

＝（0.6+0.4+0.24）×2

＝1.24×2

＝2.48（平方米）

答：至少要用2.48平方米的硬纸板。

【点评】此题主要考查长方体的表面积公式的计算方法。

【变式训练01】一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是3dm、4dm、5dm，那么正方体的棱长是多少分米？要做这样一个正方体无盖鱼缸，需要多少平方米的玻璃？

【变式训练02】求如图所示图形的表面积。

【变式训练03】一间长8米、宽7米、高3.5米的教室，需要粉刷四壁，已知门窗共12平方米，需要粉刷的面积有多大？

考点03：长方体和正方体的体积

【典例分析03】把一个棱长为30cm的正方体铁块，熔铸成一个长45cm、高12cm的长方体，这个长方体铁块的宽是多少厘米？

【分析】熔铸前后这个铁块的体积不变，先根据正方体的体积公式V＝a3求出铁块的体积；然后再用铁块的体积除以后来熔铸成的长方体的侧面积，就是这个长方体的宽。

【解答】解：（30×30×30）÷（45×12）

＝27000÷540

＝50（厘米）

答：这个长方体铁块的宽是50厘米。

【点评】本题抓住铁块的体积不变，先根据正方体的体积公式求出铁块的体积，再根据长方体的体积公式求出长方体的宽。

【变式训练01】一种冷藏车，车厢是长方体。从里面量，长是3米，宽是2.5米，高是2米。车厢的容积是多少立方米？

【变式训练02】一根长方体木料，长是5米，横断面的面积是0.06平方米。这根长方体木料的体积是多少立方米？

【变式训练03】如图，一个水龙头以6立方分米/分的流速向空着的长方体玻璃缸内注水，注水5分钟时关闭水管，这时玻璃缸内的水面高度是多少厘米？（玻璃厚度忽略不计）

一．选择题（共6小题）

1．一个长方体的棱长之和是144厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是（　　）

A．24 B．36 C．72

2．一个长方体水池，长20米，宽10米，深2米，占地（　　）平方米．

A．200 B．400 C．520

3．至少用（　　）个相同的小正方体才能拼成个大正方体。

A．4 B．6 C．8

4．如图，从一个较大的长方体木块中挖掉一个小正方体，现在它的表面积（　　）

A．比原来大 B．比原来小 C．与原来相等 D．无法比较

5．甲、乙、丙三种杯子都装了1升水，甲杯装满了，乙杯装了一半少一点，丙杯装了一半多一点，其中（　　）杯的容量最大。

A．甲 B．乙 C．丙

6．如两图形分别表示一个长方体的前面和右侧面，那么这个长方体的体积是（　　）

A．36立方厘米 B．12立方厘米 C．18立方厘米 D．30立方厘米

二．填空题（共6小题）

7．一个正方体的底面周长是20厘米，它的体积是 　   　立方厘米。

8．挖一个长和宽都是3米的长方体水池，要使水池的容积是36立方米，应挖 　   　米深，若要在底部和四周贴瓷砖，则要贴瓷砖的面积是 　   　平方米。

9．用一根长36分米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的表面积是 　   　平方分米，体积是 　   　立方分米。

10．经历了“设计长方体的包装方案”的实践活动，我发现 　   　，包装用的纸就越少。

11．捆如图正方体盒子要用 　   　厘米彩带。（打结用了35厘米彩带）

12．某超市，要做一个长2.3m，宽0.5m，高1.2m的玻璃柜台，现要在柜台各边都安上角铁，这个柜台需要 　   　m角铁。

三．判断题（共5小题）

13．表面积相等的长方体，体积一定相等．　   　．

14．一个正方体的棱长是3cm，它的棱长之和是18cm。 　   　

15．一个物体从一个面看到正方形，这个物体一定是正方体。 　   　

16．求做一个长方体纸箱至少需要多少纸板，是求这个纸箱的表面积。 　   　

17．用20个小正方体搭一个长方体，不管怎样搭，体积都相等。 　   　

四．计算题（共1小题）

18．计算下面图形的表面积和体积。

五．应用题（共5小题）

19．西山小学要粉刷一间美术教室的四面墙壁和天花板。美术教室的长是8米，宽是6米，高是3米，门窗的面积是12.2平方米，需要粉刷的面积有多少平方米？

20．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被管誉为中华民族的“国饮”。如图所示是一个正方体铁皮茶叶盒，棱长是1.5分米。如果制作这个茶叶盒实际用料是其表面积的1.6倍，做一个这种茶叶盒至少需要铁皮多少平方分米？

21．一个集装箱长是9m，宽是3.4m，高是2.5m。这个集装箱的容积是多少立方米？（厚度忽略不计）

22．一块长方体石料，长100厘米，宽60厘米，高50厘米。如果1dm3石料的质量是2.7kg，这块石料的质量是多少千克？

23．有一个底面是正方形的长方体通风管，高是36cm，侧面展开后恰好是一个正方形，这个通风管的体积是多少？通风管的面积是多少？

一．选择题（共6小题）

1．用48厘米的铁丝做一个长5厘米，宽3厘米的长方体的框架，高是（　　）厘米。

A．4 B．8 C．3 D．16

2．一个长方体长15cm，宽9cm，高7cm，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（　　）

A．15cm B．9cm C．7cm

3．一个长方体的底是面积为4平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（　　）平方分米．

A．18 B．48 C．64

4．相邻的两个容积单位之间的进率是（　　）

A．10 B．100 C．1000

5．一个杯子中装着200mL的水，这个杯子的容积是（　　）

A．200mL B．1L C．20mL D．无法确定

6．如图所示，从一块长方体木块中截掉一个正方体小木块，它的表面积与原来相比，（　　）

A．比原来小 B．比原来大 

C．与原来同样大

二．填空题（共6小题）

7．计量比较少的液体，通常用　   　作单位，可以用字母　   　表示．

8．

9．一根长方体木桩，长3米，宽8分米，高4分米。

（1）这根木桩的体积是 　   　立方米。

（2）从这根木桩上截下一个最大的正方体木块，木块的体积是 　   　立方米。

10．一个正方体有　   　条棱，如果它的棱长总和是36cm，那么它一条棱的长度是　   　．

11．用一根丝带捆扎一个长40厘米、宽15厘米、高10厘米的长方体礼盒（如图），接头处用去了3分米。这根丝带至少要 　   　厘米。

12．一个长方体，从中间截开正好可以分成两个相同的正方体（如图），两个正方体的棱长总和比长方体的棱长和多64厘米，其中一个正方体的表面积是 　   　平方厘米。

三．判断题（共5小题）

13．用4cm、5cm、12cm的小棒各4根能搭成一个长方体框架。 　   　

14．长、宽、高都相等的长方体叫做立方体．　   　．

15．正方体的棱长3厘米，表面积是27平方米。 　   　

16．一个长方体的底面积和高都扩大到原来的4倍，它的体积扩大到原来的16倍。 　   　

17．计量水、油、饮料等液体的多少，通常只用毫升作单位．　   　．

四．计算题（共1小题）

18．如图是一个长方体的平面展开图，求原长方体的表面积和体积。

五．应用题（共5小题）

19．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是60厘米的正方体铁块，锻铸成一个长25厘米，宽16厘米的长方体铁棒，这个长方体铁棒的高是多少厘米？

20．一个长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米。如果高增加2分米，表面积将增加多少平方分米？体积增加多少立方分米。

21．将8个棱长为2厘米的小正方体礼盒包装成一个大礼盒，包装纸至少要多少平方厘米？（先想一想，画出草图，再解答）

22．把一个所有棱长之和为144cm的正方体实心铁块熔铸成一个长为9cm，宽为6cm的长方体实心铁块，这个长方体实心铁块的高是多少厘米？

23．一个长方体苹果箱的规格是60×40×30（单位：厘米），它的体积是多少？制作100个这样的纸箱至少需要多少平方米的纸板？

一．选择题（共5小题）

1．（2020春•嘉荫县期末）一个长方体最多有（　　）个面是正方形。

A．.2 B．.3 C．4 D．6

2．（2022春•浚县期末）有一根126cm长的铁丝，将这根铁丝焊接成一个正方体框架后，还剩6cm，这个正方体框架的棱长是（　　）厘米。（接头处忽略不计）

A．30 B．10 C．20

3．（2021春•江北区期末）一个长方体的底是面积为9平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（　　）平方分米．

A．27 B．108 C．144

4．（2022秋•灌云县期末）一个长方体的长、宽、高分别是a厘米，b厘米、c厘米。如果高增加4厘米，它的表面积增加了（　　）平方厘米。

A．4ab B．64 C．8a+8b D．2ab+2bc

5．（2022秋•汝阳县期中）用长3.25dm，宽2dm，高1dm的长方体木材能做成（　　）个棱长是5cm小正方体。

A．52 B．48 C．8 D．7

二．填空题（共5小题）

6．（2022秋•固镇县校级月考）一种长方体铁皮烟囱，底面是边长3分米的正方形，高4米，制这样一节烟囱至少要用铁皮 　   　平方米？

7．（2022秋•固镇县校级月考）网购已经成为大家生活中常用的购物方式，为了防止物品损坏，每个快递的包装都很严实。一个棱长为35厘米的正方体快递箱，要在它所有棱上粘一层透明胶带，至少需要 　   　厘米长的胶带。

8．（2022秋•固镇县校级月考）夏季降雨多，是洪涝灾害的高发季节，为防止夏季强降雨导致低洼路面积水过深，某村要将一段长50米，宽4米的路铺高。现运来150立方米的沙子，均匀的铺到该路面上，可以铺 　   　厘米厚。

9．（2022秋•固镇县校级月考）山西体育中心游泳馆内，有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽25米，深度2.5米。管理员打算在池内注入2米深的水，要注入 　   　吨水。（1立方米水重1吨）

10．（2021秋•射阳县期末）至少要 　   　个小正方体才能拼成一个大正方体，一种正方体的工艺蜡烛盒，四周和底面都是玻璃，棱长6厘米。这个蜡烛盒的体积是 　   　立方厘米，做这个蜡烛盒至少要用 　   　平方厘米玻璃。

三．判断题（共5小题）

11．（2022春•城阳区期末）棱长是6厘米的正方体的表面积和体积相等。 　   　

12．（2021秋•莱阳市期末）把一个长方体橡皮泥捏成一个正方体，表面积变大。 　   　

13．（2021秋•浦东新区期末）搭一个正方体需要12根长短相等的小棒和12个小球。 　   　

14．（2022秋•汝阳县期中）一瓶可乐的容量是2升，雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升就把这瓶可乐喝完了。 　   　

15．（2021春•凌河区期末）大正方体上截下一个小正方体后，体积和表面积都变小了。 　   　

四．计算题（共1小题）

16．（2022春•白水县期末）如图是一个长方体的平面展开图，求原长方体的表面积和体积。（单位：cm）

五．应用题（共5小题）

17．（2022春•岷县期末）惠民超市要做一个长5m、宽0.5m、高0.8m的玻璃柜台，至少需要多大面积的玻璃？

18．（2021秋•烟台期末）一间教室的长8米，宽6.5米，高4米，要粉刷教室的四壁和顶部，扣除门窗的面积22平方米，每平方米需用0.5千克的白灰，粉刷这间教室要用多少千克的白灰？

19．（2022秋•灌云县期末）航模兴趣小组同学观察并测量了一个长方体。

甲说：“如果高减少2厘米，它巧好是一个正方体。”

乙说：“长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是96平方厘米。”

丙说：“它的底面周长是16厘米。”

这三名同学得到的数据都是正确的，求这个长方体的体积。

20．（2022春•揭阳期末）做一个无盖的正方体玻璃鱼缸，棱长为60cm。做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方米？

21．（2022春•黄山期末）妈妈去永辉超市买了一箱果汁，果汁箱长35cm、宽20cm、高15cm。售货员用彩带把果汁箱捆扎起来（如图），打结部分彩带长40cm。至少需要多长彩带？