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江苏省扬州市2022-2023学年高三下学期开学考试数学试卷及答案
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这是一份江苏省扬州市2022-2023学年高三下学期开学考试数学试卷及答案，共21页。
2022－2023学年度第二学期期初考试
高 三 数 学 2023.02
(全卷满分150分，考试时间120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足i(z＋i)＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知a，b∈R，则“a＜b”是“a＜b－1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝100，则其前9项和等于( )
A．150 B．180 C．300 D．360
4．平面向量，满足＋＝(3，－2)，－＝(1，x)，且·＝0，则x的值为( )
A． B． C．±2 D．±2
5．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切直约为( )
A． B． C． D．
6．已知α，β∈(0，)，2tanα＝，则tan(2α＋β＋)＝( )
A． B．－ C． D．
7．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，则对于以下数据：
2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1，1，2，3，4，5
下列选项正确的是( )
A．平均数是3，方差是7 B．平均数是4，方差是7
C．平均数是3，方差是8 D．平均数是4，方差是8
8．在平面直角坐标系xOy中，x轴正半轴上从左至右四点A、B、C、D横坐标依次为a－c、a、a＋c、2a，y轴上点M、N纵坐标分别为m、－2m(m＞0)，设满足PA＋PC＝2a的动点P的轨迹为曲线E，满足QN＝2QM的动点Q的轨迹为曲线F，当动点Q在y轴正半轴上时，DQ交曲线E于点P0(异于D)，且OP0与BQ交点恰好在曲线F上，则a：c＝( )
A． B． C．2 D．3
二、多项选择题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的有( )
A．＝ B．＋＝
C．＋＋＋…＋＝2n D．(1＋x)4展开式中二项式系数最大的项为第三项
10．已知实数a，b＞0，2a＋b＝4，则下列说法中正确的有( )
A．＋有最小值 B．a2＋b2有最小值
C．4a＋2b有最小值8 D．lna＋lnb有最小值ln2
11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如[－3.5]＝－4，[3.5]＝3．已知函数f(x)＝cosx＋|cosx|，函数g(x)＝[f(x)]，则下列说法中正确的有( )
A．函数f(x)在区间(0，π)上单调递增 B．函数f(x)图象关于直线x＝kπ(k∈Z)对称
C．函数g(x)的值域是{0，1，2} D．方程g(x)＝x只有一个实数根
12．在四面体ABCD的四个面中，有公共棱AC的两个面全等，AD＝1，CD＝，∠CDA＝90°，二面角B－AC－D大小为θ，下列说法中正确的有( )
A．四面体ABCD外接球的表面积为3π B．四面体ABCD体积的最大值为
C．若AD＝AB，AD⊥AB，则θ＝120° D．若AD＝BC，θ＝120°，则BD＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S3＝4，S6＝12，则S9＝ ▲ ．
14．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且右支上有一点P(p，1)，则cos∠F1PF2＝ ▲ ．
15．某个随机数选择器每次从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中等可能地选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是a，b，c，则概率P(a＜b＜c)＝ ▲ ．
16．已知函数f(x)＝ax2＋x，若当x∈[0，1]时，|f(x＋1)|≤a＋1恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝an＋1－2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝log2an．
①cn＝bn×an；②cn＝；③cn＝(－1)n(bn)2．
从上面三个条件中任选一个，求数列{cn}的前n项和Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(本小题满分12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．A＝，b＝10，c＝6，△ABC的内切圆I的面积为S．
(1)求S的值；
(2)若点D在AC上，且B，I，D三点共线，求·的值．
19．(本小题满分12分)
在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，AA1＝2，AC⊥A1B．
(1)求证：BA＝BC；
(2)已知AB＝，A1B＝2，求直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值．
20．(本小题满分12分)
云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/亿元
692
962
1334
2091
3229
经计算得：＝36.33，＝112.85．
(1)根据以上数据，建立y关于x的回归方程ŷ＝e(e为自然对数的底数)．
(2)云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力．某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差ε~N(0，)，其中m为单件产品的成本(单位：元)，且P(－1＜ε＜1)＝0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差ε~N(0，)．若保持单件产品的成本不变，则P(－1＜ε＜1)将会变成多少?若保持产品质量不变(即误差的概率分布不变)，则单件产品的成本将会下降多少?
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线ŷ＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－．
若X~N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜σ)＝0.6827，P(X－μ|＜2σ)＝0.9545，P(|X－μ|＜3σ)＝0.9973．
21．(本小题满分12分)
已知AB为抛物线G：y2＝2px(p＞0)的弦，点C在抛物线的准线l上．当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3．
(1)求抛物线G的方程；
(2)若∠ACB为直角，求证：直线AB过定点．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝e，x∈R；g(x)＝cosx，x∈(－，)．(e为自然对数的底数，e≈2.718)．
(1)若函数h(x)＝af(x)－g(x)在区间(－，)上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)是否存在直线l同时与y＝f(x)、y＝g(x)的图象相切?如果存在，判断l的条数，并证明你的结论；如果不存在，说明理由．
2022-2023 学年第二学期期初考试
高三数学参考答案
1 ．D 2 ．B 3 ．B 4 ．C 5 ．A 6 ．B
9 ．ABD 10 ．BC 11 ．BCD
13 ．28 14 ． 15 ．
17．解：(1) Sn = an+1 一 2 ：Sn一1 = an 一 2 ( n > 2 )，
2023.2
7 ．D 8 ．A
12 ．ACD
3 1
16 ． [一 , 一 ]
5 2
两式相减得an+1 = 2an ( n > 2 ) ··············································································2 分
a1 = 2, a2 = 4 ：a2 = 2a1 ···················································································3 分
：an+1 = 2an (ne N* )
a1 = 2 丰 0 ： = 2 (ne N* )
：数列恳an } 是以2 为首项， 2 为公比的等比数列
：an = 2n ； ······································································································5 分
说明： 结果an = 2n 对， 但漏掉a2 = 2a1 的扣 1 分
(2) 由(1)可知bn = log2 an = log2 2n = n
若选①：cn = bn . an = n . 2n ，
：Tn = 1 . 2 + 21 . 22 + 3 . 23 + + n . 2n
2Tn = 1 . 22 + 2 . 23 + + (n 一 1) . 2n + n . 2n+1 ························································7 分
两式相减得： 一Tn = 2 + 22 + 23 + + 2n 一 n . 2n+1 = 2 2一+1 一 n . 2n+1 ，
所以Tn = (n 一 1) . 2n+1 + 2 ． ···················································································10 分
1 1 1 1 ( 1 1 )
n 4bn2 一 1 4n2 一 1 (2n 一 1)(2n +1) 2 \2n 一 1 2n +1)
若选②： c = = = = | 一 | ·····························7 分
Tn = 1 一 + 一 + 一 + + 2n1一 1 一 = 1 一 = ··········10 分
若选③： cn = (一1)n . (bn )2 = (一1)n . n2
当n 为偶数时，Tn = (一12 + 22 )+ (一32 + 42 )+ + 一 (n 一 1)2 + n2 =1 + 2+ + n = ····7 分
当n 为奇数时，Tn = Tn+1 一 cn+1 = 一 (n +1)2 = 一 . ·······························10 分
综上得：Tn = (一 1)n . ···················································································10 分
\ 3 ) 2 2 7
说明： 没有“综上得”不扣分
18 ．解：(1) 在△ABD 中， 由余弦定理得:a2 = b2 + c2 _ 2bccos
：a2 = 100 + 36 + 60 = 196 ，即 a = 14 ·······································································3 分
2 2 3
设内切圆I 的半径为r ，则 S编ABC = 1 . (a + b + c) . r = 1 bcsin 2冗
：r = 3 ：S = 冗r2 = 3冗 ······················································································6 分
(2) 法 1 ：在△ABC 中， 由 (1) 结合余弦定理得cos 三ABC = ，
S BC
BD平分三ABC ， ：点D到 AB, BC 的距离相等， 故 S编ABD = AB ，
编CBD
而 S编ABD = AD , ：AB = AD = 3 ：BD = 7 BA + 3 BC ················································9 分
S编CBD CD BC CD 7 10 10
：BD . BC = BA . BC + BC = 〉6〉14 〉 + 〉14 = 105 ·····································12 分
7 3 2 7 11 3 2
10 10 10 14 10
法 2 ：在△ABC 中， 由 (1) 结合余弦定理得cos 三ABC = ，
依题意可知I为内心， 故BD平分三ABC ，设三ABD = 三CBD = 9
21
：sin 9 =
14
则 cos 三ABC = 2cos2 9 _ 1 = ，：cos 9 = ， ······································8 分
思路 1 ：在△ABD 中， 三ADB = _ 9 , 由正弦定理得 sin = sin _ 9 (**)
BD AB
sin | _ 9 | = cos 9 _ sin 9 =
( 冗 ) 1
AB 2冗 6 3
：(* *) 得BD = sin _ 9 sin 3 = . 2 = 3 ·····················································10 分
：BD . BC = BD . BC cos 9 = 105 ············································································12 分
思路 2：
S编ABC = S编ABD + S编CBD
1 1 1
： acsin 29 = c . BD . sin 9 + a . BD . sin 9
2 2 2
：BD = 2accos 9 = 2〉6〉14〉 = 3 a + c 6 +14
·································································10 分
：BD . BC = BD . BC cos 9 = 105 ············································································12 分
S BC
思路 3 ： BD平分三ABC ， ：点D 到AB, BC 的距离相等，故 S编ABD = AB
编CBD
而 = ,： = = BD = 10 ,：AD = 3
2 2 2 2冗
在△ABD 中， 由余弦定理得BD = AD + AB 一 2AD . AB . cos 3 = 3 ··························10 分
：BD . BC = BD . BC cos 9 = 105 ·············································································12 分
19 ．解： (1) 连接A1O ，在三棱柱ABC 一 A1B1C1 中，侧面ACC1A1 是菱形，三A1AC = 60， 则编AA1C 为正三角形， 取AC 中点为O ，则 AC 」A1O ，
又 AC 」A1B ， A1B A1O = A1 ， A1B, A1O 仁平面A1BO ，
所以AC 」平面A1BO ， ························································································3 分
因为BO 仁平面A1BO ，所以AC 」BO ，
因为O 是 AC 中点，所以AB = BC ． ·······································································5 分
(2) 在边长为 2 的正编AA1C 中， A1O = ，
在编ABC 中， AB = BC = ，AC = 2 ，则 BO = 1 ，又 A1B = 2 ，
所以 A1O2 + BO2 = A1B2 ，所以 A1O 」BO ， ·······························································7 分
所以OA1 , OB, OC 两两垂直.
以O 为原点， OB, OC, OA1 分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系O 一 xyz ．
则 A(0, 一1,0), B(1,0,0),C(0,1,0), A1 (0,0, 3) ，
A1B = (1,0, 一 ) ， A1C = (0,1, 一 ), A1B1 = AB = (1,1,0) ，
设平面A1B1C 的法向量为n = (x, y, z) ，则
〈 ，令 z = 1，则 n = (一 , ,1) ·····················································10 分
(|A1B . n = x + y = 0
|lA1C . n = y 一 z = 0
设直线A1B 与平面A1B1C 所成角为9 ，
则sin 9 =| cos 想 A1B, n >|=| |= ，
所以， 直线A1B 与平面A1B1C 所成角的正弦值为 ． ···············································12 分
20．解：(1)因为 = ex+ ，所以 ln = x + ， ························································1 分
所以 = (xiyi)2xiln yi = 一66.一〉32 = = 0.386 ， ·······················4 分
5
所以 = xln yi 一 x = 〉36.33 一 0.386〉3 = 6. 108 ，
i =1
所以 = ex+ = e0.386x+6.108 . ················································································6 分
1 1 1
4 4 2
(2) 未引入云算力辅助前，c ~ N(0,) ，所以山 = 0,G = ，
引入云算力辅助后， c ~ N(0,) ，所以山 = 0,G = ，
又P(_1 < c< _1) = 0.6827 = P(| c_ 山 |< G) ，所以 = 1 ，所以 m = 4 ． ···························8分
若保持产品成本不变，则m = 4 ，c ~ N(0, ) ，G = = ，
所以P(_1 < c< _1) = P(| c_ 山 |< 2G) = 0.9545 ·····························································10分
若产品质量不变，则 = 1 ，所以 m = 1，
所以单件产品成本可以下降4 _ 1 = 3 元. ·····································································12分
(|AB = xA + xB + p = 8
21 ． 解：(1) 设 A(xA , yA ) ， B(xB , yB ) ， 则由题意得〈 xA + xB ，故 p = 2 ，
|l 2 = 3
所以抛物线的方程为y2 = 4x . 4 分
(2) 直线AB 过定点(1,0) ，证明如下：
设C(_1,c) ， A( , y1 ) ，B( , y2 ) ，直线AB 的方程：x = ty+n(n > 0) ，
将x = ty+n(n > 0) 代入y2 = 4x 得y2 _ 4ty _ 4n = 0 ，
则编 > 0 ，所以y1 + y2 = 4t，y1y2 = _4n ， ··································································6 分
所以 CA = ( + 1, y1 _ c) ， CB = ( + 1, y2 _ c) ，
因为 三ACB = 90，所以 CA CB=0 ，即 yy + y+y + 1+y1y2 _ c(y1 +y2 )+c2 = 0 ，
16 4
即 n2 + 4t2 + 2n + 1 _ 4n _ 4tc+ c2 = 0 ， ······································································8 分
即 (n _ 1)2 +(2t _ c)2 =0 ，所以n=1 ，
所以直线AB 过定点(1,0) ．····················································································12 分
22 ．解：(1) h(x) = af (x) _ g(x) = aex+ 2 _ cos x ， h'(x) = aex+ 2 + sin x ．
因为h(x) = af (x) _ g(x) 在(_ π , π ) 上单调减，
2 2
所以Vx= (_ π , π ) ， h,(x) = aex+2 + sin x 共 0 恒成立，
2 2
所以Vx= (_ , ) ， a 共 _ 恒成立． ···································································2 分
设M(x) = _ ，x= (_ , ) ，则 M,(x) = _ = ，
当x 仁 (一 π , π ) 时， M,(x) 想 0 ，当x 仁 ( π , π ) 时， M,(x) > 0 ，
2 4 4 2
所以M(x) 在(一 π , π ) 上单调递减， 在(π , π ) 上单调递增， ············································4 分
2 4 4 2
所以M(x)min = M() = 一 = 一 e一 一2 ，
e
4
所以a 共 一 e一 一2 . ·····························································································5 分
(2) 存在且仅有一条直线同时与y = f (x) 、y = g(x) 的图象相切． ·······························6 分
设直线与y = f (x) ，y = g(x) 的图象分别相切于点P(x1 , y1 ) ，Q(x2 , y2 ) ，
2 2
其中x1 仁 R ，x2 仁 (一 π , π ) ，且 x1 才 x2 ，f ,(x) = ex+2 , g,(x) =一 sin x ，
则在 P 处的切线方程为：y 一 ex1 +2 = ex1 +2 (x 一 x1 ) ，即 y = ex1 +2x + (1 一 x1 )ex1 +2 ；
在 Q 处的切线方程为： y 一 cos x2 = 一 sin x2 (x 一 x2 ) ，即 y = 一xsin x2 + cos x2 + x2 sin x2 ． 所以ex1 +2 =一 sin x2 ， …①
(1 一 x1 )ex1 +2 = cos x2 + x2 sin x2 ， …②
因为一 sin x2 仁 (一1,1) ，所以 0 想 ex1 +2 想1 ，则 x2 仁 (一 ,0) ．
可得x1 = 一2 + ln(一 sin x2 ) ，于是有[3 一 ln(一 sin x2 )](一 sin x2 ) = cos x2 + x2 sin x2 ，
整理得(x2 + 3)sin x2 + cos x2 一 sin x2 ln(一 sin x2 ) = 0 ． 8 分
法 1 ：两边同除以sin x2 得(x2 + 3) + 2 一 ln(一 sin x2 ) = 0 ,
cos x
sin x2
要证有且仅有一条直线同时与y = f (x) 、y = g(x) 的图象都相切，
只需证函数M(x) = x + 3+ 一 ln(一 sin x) ，在 x 仁 (一 , 0) 上有且仅有一个零点．
M '(x) = 1 + 一 sin2 x cos2 x 一 一 cos x = 一 cos x(sin2x + cos x) = 一 cos x s2in(x + )
sin x 一 sin x sin x sin x
当 x 仁 (一 π , 一 π ) 时， M '(x) > 0 ，当 x 仁 (一 π , 0) 时， M '(x) 想 0 ，
2 4 4
所以M(x) 在(一 π , 一 π ) 上单调递增， 在(一 π , 0) 上单调递减， ·······································10 分
2 4 4
M(一 ) > M(一 ) = 一 + 3 > 0 ，所以M(x) 在(一 , 一 ) 上无零点.
几 几 π π π
4 2 2 2 4
取 sin x0 =一e一3 ，x0 仁 (一 ,0) ，则 cos x0 = 1 一 e一6 ，
cos x0 1 一 e一6 一3 6 6
sin x0 e
π
M(x0 ) = x0 + 3 + 一 ln(一 sin x0 ) < 3 一 一3 一 ln e = 6 一 e 一 1 < 6 一 2 一 1 < 0 ，
所以函数M(x) 在(一 ,0) 上有且仅有一个零点，
4
综上， 函数M(x) 在(一 ,0) 上有且仅有一个零点，
π
2
所以有且仅有一条直线同时与f(x) ，g(x) 的图象都相切． ··········································12 分
法 2 ：要证有且仅有一条直线同时与y = f (x) 、y = g(x) 的图象都相切，
π
只需证函数G(x) = (x + 3)sin x + cos x 一 sin xln(一sin x) 在x= (一 , 0) 上有且仅有一个零点． 2
G'(x) = sin x + (x + 3) cos x 一 sin x 一 cos xln(一 sin x) 一 sin x . = cos x[x + 2 一 ln(一 sin x)] ，
设 N(x) = x + 2 一 ln(一 sin x), x= (一 π ,0) ，则 N '(x) = 1 一 一 cos x = 1 一 cos x ，
2 一 sin x sin x
因为x= (一 , 0) ，所以cos x > 0,sin x < 0 ，所以N'(x) > 0 ，
π
2
2 2 2
π
所以N(x) 在(一 π , 0) 上单调递增， 所以N(x) > N(一 π ) = 一 π + 2> 0 ，
又 cos x > 0 ，所以G'(x) > 0 ，所以G(x) 在(一 , 0) 上单调递增， ····································10 分
2
所以G(一 π ) = (一 π + 3)sin(一 π ) + cos(一 π ) 一 sin(一 π ) ln[一 sin(一 π )] = π 一 3 < 0 ，
2 2 2 2 2 2 2
取 sin x0 =一e一3 ，x0 = (一 ,0) ，则 cos x0 = 1 一 e一6 ，
3「 cos x0 ]
G(x0 ) = (x0 + 3) sin x0 + cos x0 一 sin x0 ln(一 sin x0 ) = 一e一 |x0 + 3 + 一 ln(一 sin x0 ) |
L sin x0 」
sin x0
其中x0 + 3+ cos x0 一 ln(一 sin x0 ) < 3 一 1 一 一6 一 ln e一3 = 6 一 e6 一 1 < 6 一 26 一 1 < 0 ，
e
一
所以G(x0 ) > 0 ，
π
所以函数G(x) 在(一 ,0) 上有且仅有一个零点，
2
所以有且仅有一条直线同时与f(x) ，g(x) 的图象都相切． ··········································12 分
2022－2023学年度第二学期期初考试
高 三 数 学 2023.02
(全卷满分150分，考试时间120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足i(z＋i)＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知a，b∈R，则“a＜b”是“a＜b－1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝100，则其前9项和等于( )
A．150 B．180 C．300 D．360
4．平面向量，满足＋＝(3，－2)，－＝(1，x)，且·＝0，则x的值为( )
A． B． C．±2 D．±2
5．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切直约为( )
A． B． C． D．
6．已知α，β∈(0，)，2tanα＝，则tan(2α＋β＋)＝( )
A． B．－ C． D．
7．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，则对于以下数据：
2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1，1，2，3，4，5
下列选项正确的是( )
A．平均数是3，方差是7 B．平均数是4，方差是7
C．平均数是3，方差是8 D．平均数是4，方差是8
8．在平面直角坐标系xOy中，x轴正半轴上从左至右四点A、B、C、D横坐标依次为a－c、a、a＋c、2a，y轴上点M、N纵坐标分别为m、－2m(m＞0)，设满足PA＋PC＝2a的动点P的轨迹为曲线E，满足QN＝2QM的动点Q的轨迹为曲线F，当动点Q在y轴正半轴上时，DQ交曲线E于点P0(异于D)，且OP0与BQ交点恰好在曲线F上，则a：c＝( )
A． B． C．2 D．3
二、多项选择题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的有( )
A．＝ B．＋＝
C．＋＋＋…＋＝2n D．(1＋x)4展开式中二项式系数最大的项为第三项
10．已知实数a，b＞0，2a＋b＝4，则下列说法中正确的有( )
A．＋有最小值 B．a2＋b2有最小值
C．4a＋2b有最小值8 D．lna＋lnb有最小值ln2
11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如[－3.5]＝－4，[3.5]＝3．已知函数f(x)＝cosx＋|cosx|，函数g(x)＝[f(x)]，则下列说法中正确的有( )
A．函数f(x)在区间(0，π)上单调递增 B．函数f(x)图象关于直线x＝kπ(k∈Z)对称
C．函数g(x)的值域是{0，1，2} D．方程g(x)＝x只有一个实数根
12．在四面体ABCD的四个面中，有公共棱AC的两个面全等，AD＝1，CD＝，∠CDA＝90°，二面角B－AC－D大小为θ，下列说法中正确的有( )
A．四面体ABCD外接球的表面积为3π B．四面体ABCD体积的最大值为
C．若AD＝AB，AD⊥AB，则θ＝120° D．若AD＝BC，θ＝120°，则BD＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S3＝4，S6＝12，则S9＝ ▲ ．
14．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且右支上有一点P(p，1)，则cos∠F1PF2＝ ▲ ．
15．某个随机数选择器每次从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中等可能地选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是a，b，c，则概率P(a＜b＜c)＝ ▲ ．
16．已知函数f(x)＝ax2＋x，若当x∈[0，1]时，|f(x＋1)|≤a＋1恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝an＋1－2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝log2an．
①cn＝bn×an；②cn＝；③cn＝(－1)n(bn)2．
从上面三个条件中任选一个，求数列{cn}的前n项和Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(本小题满分12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．A＝，b＝10，c＝6，△ABC的内切圆I的面积为S．
(1)求S的值；
(2)若点D在AC上，且B，I，D三点共线，求·的值．
19．(本小题满分12分)
在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，AA1＝2，AC⊥A1B．
(1)求证：BA＝BC；
(2)已知AB＝，A1B＝2，求直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值．
20．(本小题满分12分)
云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/亿元
692
962
1334
2091
3229
经计算得：＝36.33，＝112.85．
(1)根据以上数据，建立y关于x的回归方程ŷ＝e(e为自然对数的底数)．
(2)云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力．某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差ε~N(0，)，其中m为单件产品的成本(单位：元)，且P(－1＜ε＜1)＝0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差ε~N(0，)．若保持单件产品的成本不变，则P(－1＜ε＜1)将会变成多少?若保持产品质量不变(即误差的概率分布不变)，则单件产品的成本将会下降多少?
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线ŷ＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－．
若X~N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜σ)＝0.6827，P(X－μ|＜2σ)＝0.9545，P(|X－μ|＜3σ)＝0.9973．
21．(本小题满分12分)
已知AB为抛物线G：y2＝2px(p＞0)的弦，点C在抛物线的准线l上．当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3．
(1)求抛物线G的方程；
(2)若∠ACB为直角，求证：直线AB过定点．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝e，x∈R；g(x)＝cosx，x∈(－，)．(e为自然对数的底数，e≈2.718)．
(1)若函数h(x)＝af(x)－g(x)在区间(－，)上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)是否存在直线l同时与y＝f(x)、y＝g(x)的图象相切?如果存在，判断l的条数，并证明你的结论；如果不存在，说明理由．
2022-2023 学年第二学期期初考试
高三数学参考答案
1 ．D 2 ．B 3 ．B 4 ．C 5 ．A 6 ．B
9 ．ABD 10 ．BC 11 ．BCD
13 ．28 14 ． 15 ．
17．解：(1) Sn = an+1 一 2 ：Sn一1 = an 一 2 ( n > 2 )，
2023.2
7 ．D 8 ．A
12 ．ACD
3 1
16 ． [一 , 一 ]
5 2
两式相减得an+1 = 2an ( n > 2 ) ··············································································2 分
a1 = 2, a2 = 4 ：a2 = 2a1 ···················································································3 分
：an+1 = 2an (ne N* )
a1 = 2 丰 0 ： = 2 (ne N* )
：数列恳an } 是以2 为首项， 2 为公比的等比数列
：an = 2n ； ······································································································5 分
说明： 结果an = 2n 对， 但漏掉a2 = 2a1 的扣 1 分
(2) 由(1)可知bn = log2 an = log2 2n = n
若选①：cn = bn . an = n . 2n ，
：Tn = 1 . 2 + 21 . 22 + 3 . 23 + + n . 2n
2Tn = 1 . 22 + 2 . 23 + + (n 一 1) . 2n + n . 2n+1 ························································7 分
两式相减得： 一Tn = 2 + 22 + 23 + + 2n 一 n . 2n+1 = 2 2一+1 一 n . 2n+1 ，
所以Tn = (n 一 1) . 2n+1 + 2 ． ···················································································10 分
1 1 1 1 ( 1 1 )
n 4bn2 一 1 4n2 一 1 (2n 一 1)(2n +1) 2 \2n 一 1 2n +1)
若选②： c = = = = | 一 | ·····························7 分
Tn = 1 一 + 一 + 一 + + 2n1一 1 一 = 1 一 = ··········10 分
若选③： cn = (一1)n . (bn )2 = (一1)n . n2
当n 为偶数时，Tn = (一12 + 22 )+ (一32 + 42 )+ + 一 (n 一 1)2 + n2 =1 + 2+ + n = ····7 分
当n 为奇数时，Tn = Tn+1 一 cn+1 = 一 (n +1)2 = 一 . ·······························10 分
综上得：Tn = (一 1)n . ···················································································10 分
\ 3 ) 2 2 7
说明： 没有“综上得”不扣分
18 ．解：(1) 在△ABD 中， 由余弦定理得:a2 = b2 + c2 _ 2bccos
：a2 = 100 + 36 + 60 = 196 ，即 a = 14 ·······································································3 分
2 2 3
设内切圆I 的半径为r ，则 S编ABC = 1 . (a + b + c) . r = 1 bcsin 2冗
：r = 3 ：S = 冗r2 = 3冗 ······················································································6 分
(2) 法 1 ：在△ABC 中， 由 (1) 结合余弦定理得cos 三ABC = ，
S BC
BD平分三ABC ， ：点D到 AB, BC 的距离相等， 故 S编ABD = AB ，
编CBD
而 S编ABD = AD , ：AB = AD = 3 ：BD = 7 BA + 3 BC ················································9 分
S编CBD CD BC CD 7 10 10
：BD . BC = BA . BC + BC = 〉6〉14 〉 + 〉14 = 105 ·····································12 分
7 3 2 7 11 3 2
10 10 10 14 10
法 2 ：在△ABC 中， 由 (1) 结合余弦定理得cos 三ABC = ，
依题意可知I为内心， 故BD平分三ABC ，设三ABD = 三CBD = 9
21
：sin 9 =
14
则 cos 三ABC = 2cos2 9 _ 1 = ，：cos 9 = ， ······································8 分
思路 1 ：在△ABD 中， 三ADB = _ 9 , 由正弦定理得 sin = sin _ 9 (**)
BD AB
sin | _ 9 | = cos 9 _ sin 9 =
( 冗 ) 1
AB 2冗 6 3
：(* *) 得BD = sin _ 9 sin 3 = . 2 = 3 ·····················································10 分
：BD . BC = BD . BC cos 9 = 105 ············································································12 分
思路 2：
S编ABC = S编ABD + S编CBD
1 1 1
： acsin 29 = c . BD . sin 9 + a . BD . sin 9
2 2 2
：BD = 2accos 9 = 2〉6〉14〉 = 3 a + c 6 +14
·································································10 分
：BD . BC = BD . BC cos 9 = 105 ············································································12 分
S BC
思路 3 ： BD平分三ABC ， ：点D 到AB, BC 的距离相等，故 S编ABD = AB
编CBD
而 = ,： = = BD = 10 ,：AD = 3
2 2 2 2冗
在△ABD 中， 由余弦定理得BD = AD + AB 一 2AD . AB . cos 3 = 3 ··························10 分
：BD . BC = BD . BC cos 9 = 105 ·············································································12 分
19 ．解： (1) 连接A1O ，在三棱柱ABC 一 A1B1C1 中，侧面ACC1A1 是菱形，三A1AC = 60， 则编AA1C 为正三角形， 取AC 中点为O ，则 AC 」A1O ，
又 AC 」A1B ， A1B A1O = A1 ， A1B, A1O 仁平面A1BO ，
所以AC 」平面A1BO ， ························································································3 分
因为BO 仁平面A1BO ，所以AC 」BO ，
因为O 是 AC 中点，所以AB = BC ． ·······································································5 分
(2) 在边长为 2 的正编AA1C 中， A1O = ，
在编ABC 中， AB = BC = ，AC = 2 ，则 BO = 1 ，又 A1B = 2 ，
所以 A1O2 + BO2 = A1B2 ，所以 A1O 」BO ， ·······························································7 分
所以OA1 , OB, OC 两两垂直.
以O 为原点， OB, OC, OA1 分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系O 一 xyz ．
则 A(0, 一1,0), B(1,0,0),C(0,1,0), A1 (0,0, 3) ，
A1B = (1,0, 一 ) ， A1C = (0,1, 一 ), A1B1 = AB = (1,1,0) ，
设平面A1B1C 的法向量为n = (x, y, z) ，则
〈 ，令 z = 1，则 n = (一 , ,1) ·····················································10 分
(|A1B . n = x + y = 0
|lA1C . n = y 一 z = 0
设直线A1B 与平面A1B1C 所成角为9 ，
则sin 9 =| cos 想 A1B, n >|=| |= ，
所以， 直线A1B 与平面A1B1C 所成角的正弦值为 ． ···············································12 分
20．解：(1)因为 = ex+ ，所以 ln = x + ， ························································1 分
所以 = (xiyi)2xiln yi = 一66.一〉32 = = 0.386 ， ·······················4 分
5
所以 = xln yi 一 x = 〉36.33 一 0.386〉3 = 6. 108 ，
i =1
所以 = ex+ = e0.386x+6.108 . ················································································6 分
1 1 1
4 4 2
(2) 未引入云算力辅助前，c ~ N(0,) ，所以山 = 0,G = ，
引入云算力辅助后， c ~ N(0,) ，所以山 = 0,G = ，
又P(_1 < c< _1) = 0.6827 = P(| c_ 山 |< G) ，所以 = 1 ，所以 m = 4 ． ···························8分
若保持产品成本不变，则m = 4 ，c ~ N(0, ) ，G = = ，
所以P(_1 < c< _1) = P(| c_ 山 |< 2G) = 0.9545 ·····························································10分
若产品质量不变，则 = 1 ，所以 m = 1，
所以单件产品成本可以下降4 _ 1 = 3 元. ·····································································12分
(|AB = xA + xB + p = 8
21 ． 解：(1) 设 A(xA , yA ) ， B(xB , yB ) ， 则由题意得〈 xA + xB ，故 p = 2 ，
|l 2 = 3
所以抛物线的方程为y2 = 4x . 4 分
(2) 直线AB 过定点(1,0) ，证明如下：
设C(_1,c) ， A( , y1 ) ，B( , y2 ) ，直线AB 的方程：x = ty+n(n > 0) ，
将x = ty+n(n > 0) 代入y2 = 4x 得y2 _ 4ty _ 4n = 0 ，
则编 > 0 ，所以y1 + y2 = 4t，y1y2 = _4n ， ··································································6 分
所以 CA = ( + 1, y1 _ c) ， CB = ( + 1, y2 _ c) ，
因为 三ACB = 90，所以 CA CB=0 ，即 yy + y+y + 1+y1y2 _ c(y1 +y2 )+c2 = 0 ，
16 4
即 n2 + 4t2 + 2n + 1 _ 4n _ 4tc+ c2 = 0 ， ······································································8 分
即 (n _ 1)2 +(2t _ c)2 =0 ，所以n=1 ，
所以直线AB 过定点(1,0) ．····················································································12 分
22 ．解：(1) h(x) = af (x) _ g(x) = aex+ 2 _ cos x ， h'(x) = aex+ 2 + sin x ．
因为h(x) = af (x) _ g(x) 在(_ π , π ) 上单调减，
2 2
所以Vx= (_ π , π ) ， h,(x) = aex+2 + sin x 共 0 恒成立，
2 2
所以Vx= (_ , ) ， a 共 _ 恒成立． ···································································2 分
设M(x) = _ ，x= (_ , ) ，则 M,(x) = _ = ，
当x 仁 (一 π , π ) 时， M,(x) 想 0 ，当x 仁 ( π , π ) 时， M,(x) > 0 ，
2 4 4 2
所以M(x) 在(一 π , π ) 上单调递减， 在(π , π ) 上单调递增， ············································4 分
2 4 4 2
所以M(x)min = M() = 一 = 一 e一 一2 ，
e
4
所以a 共 一 e一 一2 . ·····························································································5 分
(2) 存在且仅有一条直线同时与y = f (x) 、y = g(x) 的图象相切． ·······························6 分
设直线与y = f (x) ，y = g(x) 的图象分别相切于点P(x1 , y1 ) ，Q(x2 , y2 ) ，
2 2
其中x1 仁 R ，x2 仁 (一 π , π ) ，且 x1 才 x2 ，f ,(x) = ex+2 , g,(x) =一 sin x ，
则在 P 处的切线方程为：y 一 ex1 +2 = ex1 +2 (x 一 x1 ) ，即 y = ex1 +2x + (1 一 x1 )ex1 +2 ；
在 Q 处的切线方程为： y 一 cos x2 = 一 sin x2 (x 一 x2 ) ，即 y = 一xsin x2 + cos x2 + x2 sin x2 ． 所以ex1 +2 =一 sin x2 ， …①
(1 一 x1 )ex1 +2 = cos x2 + x2 sin x2 ， …②
因为一 sin x2 仁 (一1,1) ，所以 0 想 ex1 +2 想1 ，则 x2 仁 (一 ,0) ．
可得x1 = 一2 + ln(一 sin x2 ) ，于是有[3 一 ln(一 sin x2 )](一 sin x2 ) = cos x2 + x2 sin x2 ，
整理得(x2 + 3)sin x2 + cos x2 一 sin x2 ln(一 sin x2 ) = 0 ． 8 分
法 1 ：两边同除以sin x2 得(x2 + 3) + 2 一 ln(一 sin x2 ) = 0 ,
cos x
sin x2
要证有且仅有一条直线同时与y = f (x) 、y = g(x) 的图象都相切，
只需证函数M(x) = x + 3+ 一 ln(一 sin x) ，在 x 仁 (一 , 0) 上有且仅有一个零点．
M '(x) = 1 + 一 sin2 x cos2 x 一 一 cos x = 一 cos x(sin2x + cos x) = 一 cos x s2in(x + )
sin x 一 sin x sin x sin x
当 x 仁 (一 π , 一 π ) 时， M '(x) > 0 ，当 x 仁 (一 π , 0) 时， M '(x) 想 0 ，
2 4 4
所以M(x) 在(一 π , 一 π ) 上单调递增， 在(一 π , 0) 上单调递减， ·······································10 分
2 4 4
M(一 ) > M(一 ) = 一 + 3 > 0 ，所以M(x) 在(一 , 一 ) 上无零点.
几 几 π π π
4 2 2 2 4
取 sin x0 =一e一3 ，x0 仁 (一 ,0) ，则 cos x0 = 1 一 e一6 ，
cos x0 1 一 e一6 一3 6 6
sin x0 e
π
M(x0 ) = x0 + 3 + 一 ln(一 sin x0 ) < 3 一 一3 一 ln e = 6 一 e 一 1 < 6 一 2 一 1 < 0 ，
所以函数M(x) 在(一 ,0) 上有且仅有一个零点，
4
综上， 函数M(x) 在(一 ,0) 上有且仅有一个零点，
π
2
所以有且仅有一条直线同时与f(x) ，g(x) 的图象都相切． ··········································12 分
法 2 ：要证有且仅有一条直线同时与y = f (x) 、y = g(x) 的图象都相切，
π
只需证函数G(x) = (x + 3)sin x + cos x 一 sin xln(一sin x) 在x= (一 , 0) 上有且仅有一个零点． 2
G'(x) = sin x + (x + 3) cos x 一 sin x 一 cos xln(一 sin x) 一 sin x . = cos x[x + 2 一 ln(一 sin x)] ，
设 N(x) = x + 2 一 ln(一 sin x), x= (一 π ,0) ，则 N '(x) = 1 一 一 cos x = 1 一 cos x ，
2 一 sin x sin x
因为x= (一 , 0) ，所以cos x > 0,sin x < 0 ，所以N'(x) > 0 ，
π
2
2 2 2
π
所以N(x) 在(一 π , 0) 上单调递增， 所以N(x) > N(一 π ) = 一 π + 2> 0 ，
又 cos x > 0 ，所以G'(x) > 0 ，所以G(x) 在(一 , 0) 上单调递增， ····································10 分
2
所以G(一 π ) = (一 π + 3)sin(一 π ) + cos(一 π ) 一 sin(一 π ) ln[一 sin(一 π )] = π 一 3 < 0 ，
2 2 2 2 2 2 2
取 sin x0 =一e一3 ，x0 = (一 ,0) ，则 cos x0 = 1 一 e一6 ，
3「 cos x0 ]
G(x0 ) = (x0 + 3) sin x0 + cos x0 一 sin x0 ln(一 sin x0 ) = 一e一 |x0 + 3 + 一 ln(一 sin x0 ) |
L sin x0 」
sin x0
其中x0 + 3+ cos x0 一 ln(一 sin x0 ) < 3 一 1 一 一6 一 ln e一3 = 6 一 e6 一 1 < 6 一 26 一 1 < 0 ，
e
一
所以G(x0 ) > 0 ，
π
所以函数G(x) 在(一 ,0) 上有且仅有一个零点，
2
所以有且仅有一条直线同时与f(x) ，g(x) 的图象都相切． ··········································12 分
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