2023年上海闵行区九年级一模数学试题含答案解析

这是一份2023年上海闵行区九年级一模数学试题含答案解析，共10页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本练习含三个大题，共 25 题．答题时，学生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习纸上答题一律无效．
除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
本次练习不可以使用科学计算器．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
下列各组图形一定相似的是（ ▲ ）
（A）两个直角三角形； （B）两个菱形； （C）两个矩形； （D）两个等边三角形．
如图，已知 AB // CD // EF，它们依次交直线 l1、l2 于点 A、C、E 和点 B、D、F，如果 AC∶CE =3∶1，BF=10，那么 DF 等于（ ▲ ）
1020515
（A） 3 ；（B） 3 ；（C） 2 ；（D） 2 ．
如图，已知在 Rt△ABC 中， ACB  90 ， B  ， CD  AB ，垂足为点 D，那么下列线段的比值不一定等于sin 的是（ ▲ ）
（A） AD ；（B） AC ；（C） AD ；（D） CD ．
BDABACBC
下列说法正确的是（ ▲ ）
→→→ →
（A
→→→→
）如果 e 为单位向量，那么 a  a e ；（B）如果 a  b ，那么 a // b ；
→→→→→→→→
（C）如果 a 、b 都是单位向量，那么 a  b ； （D）如果 a  b ，那么 a  b ．
抛物线 y  2x2 向下平移 3 个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ▲ ）
（A）（﹣3，0）； （B）（3，0）；（C）（0，﹣3）；（D）（0，3）．
如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长 AC 和 BD 相等）可测量
零件的内孔直径 AB ．如果 AC = BD = 3 ，且量得CD  4cm ，则零件的厚度 x 为( ▲ )
OCOD
x
DC
O
10
B
A
（A）2cm；（B）1.5cm；（C）0.5cm；（D）1cm．
D
l1
A
l2
B
C
D
EF
（第 2 题图）
B
CA
（第 3 题图）（第 6 题图）
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
如果 a  3b（b  0），那么 a  b ▲．
b
化简： 2 (  →  →  2 → ▲．
3 ab )b
33
已知 f（x）= x2 + 2x ，那么 f（1）的值为▲．
抛物线 y  2x2 在对称轴的左侧部分是▲的（填“上升”或“下降”）．
已知两个相似三角形的相似比为 2︰3，那么这两个三角形的面积之比为▲．
设点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP>BP），AB=2，那么线段 AP 的长是 ▲．
在直角坐标平面内有一点 A（5，12），点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半轴的夹角为，那么 sinθ的值为▲．
已知 D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点（不与端点重合），要使得△ADE 与
△ABC 相似，那么添加一个条件可以为▲（只填一个）．
已知一斜坡的坡角为 30°，则它坡度 i =▲．
如图，一艘船从 A 处向北偏西 30° 的方向行驶 5 海里到 B 处，再从 B 处向正东方向行驶 8 千米到 C 处，此时这艘船与出发点 A 处相距 ▲海里．
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB=9，ctA＝2，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 上，将△ABC 沿着折痕 DE 翻折后，点 A 恰好落在线段 BC 的延长线上的点 P处，如果∠BPD＝∠A，那么折痕 DE 的长为 ▲ ．
阅读：对于线段 MN 与点 O（点 O 与 MN 不在同一直线上），如果同一平面内点 P
满足：射线 OP 与线段 MN 交于点 Q，且 OQ  1 ，那么称点 P 为点 O 关于线段 MN
的“准射点”．
OP2
问题：如图，矩形 ABCD 中，AB =4，AD=5，点 E 在边 AD 上，且 AE=2，联结 BE．设点 F 是点 A 关于线段 BE 的“准射点”，且点 F 在矩形 ABCD 的内部或边上，如果点 C 与点 F 之间距离为 d，那么 d 的取值范围为 ▲ ．
A
B
C
A
D
E
B
C
P
北
ED
西东
（第 16 题图）
（第 17 题图）
C
（第 18 题图）
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
3
 
 8 
19．（本题满分 10 分）
12
计算：
 
1
11   1 3  cs30 ．
20．（本题共 2 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，满分 10 分）
如图，已知△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB 和 AC 上，DE∥BC，且 DE 经过△ABC
–––→→–––→→
D
E
的重心，设 AB  a ， AC  b ．A
–––→→→
DE  ▲（用向量 a ， b
表示）；
→1 →
求作： a b ．
3
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
BC
（第 20 题图）
21．（本题共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分）
已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  x2  2x  3 与 y 轴交于点 A，其顶点坐标为 B．
求直线 AB 的表达式；
将抛物​线 y  x2  2x  3 沿 x 轴正方向平移 m (m  0) 个单位后得到的新抛物
线的顶点 C 恰好落在反比例函数 y  16 的图像上，求∠ACB 的余切值．
x
22．（本题满分 10 分）
2022 年 11 月 12 日 10 时 03 分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约 13.6 吨，长度 BD=10.6 米，货物仓的直径可达 3.35 米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面 A 处测得飞船底部 D 处的仰角 45°，顶部 B 处的仰角为 53°，求此时观测点 A 到发射塔 CD 的水平距离（结果精确到 0.1 米）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
B D
AC
（第 22 题图）
23．（本题共 2 小题，每第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分，满分 12 分）
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别是边 AC、AB 的中点，DF⊥AC，
E
D
F
G
DF 与 CE 相交于点 F，AF 的延长线与 BD 相交于点 G．
求证：∠ABD=∠ACE；
求证： CD 2 = DG • BD ．
A
BC
（第 23 题图）
24．（本题共 3 小题，每小题 4 分，满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线线 y  ax2  bx 经过 A（-1，3）、B（2，0），点 C
是该抛物线上的一个动点，联结 AC，与 y 轴的正半轴交于点 D．设点 C 的横坐标为 m．
求该抛​物线的表达式；
当 DC​  3 时，求点 C 到 x 轴的距离；
AD2
如果过​点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 E，联结 DE，当2  m  3 时，在△CDE中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
y
1
-1
O
-1
1
x
25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 6 分）
如图 1，点 D 为△ABC 内一点，联结 BD， CBD  BAC ，以 BD、BC 为邻边作平行四边形 DBCE，DE 与边 AC 交于点 F， ADE  90 ．
求证：△ABC ∽△CEF；
延长 BD，交边 AC 于点 G，如果 CE=FE，且△ABC 的面积与平行四边形 DBCE
面积相等，求 AG 的值；
GF
如图 2，联结 AE，若 DE 平分AEC ， AB  5 ， CE  2 ，求线段 AE 的长．
A
D
F
E
BC
（第 25 题图 1）
A
D
F
C
E
B
（第 25 题图 2）
2022学年九年级第一学期期末试卷
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．D； 2．C； 3．A； 4．B； 5．C； 6．D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．4； 8．； 9．3； 10．下降； 11．4∶9； 12．； 13．； 14．∠ADE=∠B；（∠ADE=∠B，DE∥BC等） 15．1∶； 16．7； 17．； 18．．
三、解答题（本大题共8题，满分78分）
19.（本题满分10分）
解：原式…………………………………………………（8分）
．………………………………………………………………（2分）
20.（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分，满分10分）
解：（1）；…………………………………………………………（5分）
（2）画图正确………………………………………………………（4分）
写结论．………………………………………………………（1分）
（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）
解：（1）∵抛物线与y轴交于点A．
∴A（0，3）．…………………………………………………………（1分）
由，得．……………………………（1分）
∴B（1，4）．……………………………（1分）
设直线AB的表达式为．
∴……………………………（1分）
∴， b=3…………………………………………………………（1分）
∴直线AB的表达式为………………………………………（1分）
（2）由B（1，4）沿x轴正方向平移m个单位，得C（m+1，4）．……（1分）
又∵顶点C恰好落在反比例函数的图像上，
∴．
∴，即C（4，4）…………………………………………………（1分）
延长CB交y轴的正半轴于点D，得BD=4，AD=1，……………………（1分）
在Rt△ADC中，∠ADC = 90°，∴．………………（1分）
（本题满分10分）
解：设此时观测点A到发射塔CD的水平距离为x米．………………………（1分）
由题意，得 BD= 10.6，∠DAC = 45°，∠BAC =53°，∠C = 90°，AC= x．…（2分）
在Rt△ACD中，由∠C= 90° ,
∵；
∴CD=AC ×tan∠DAC=xtan45°=x………………………………………………（2分）
在Rt△ACB中，由∠C= 90°，
∵
∴BC=AC ×tan∠BAC=xtan53°=1.33x……………………………………………（2分）
∵BD= 10.6
∴ 即 ；
（米）．……………………………………………………………………（2分）
答：此时观测点A到发射塔CD的水平距离为米．……………………… （1分）
23.（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题7分，满分12分）
（1）证明：∵ 点D 、E 分别是边 AC、AB 的中点；
∴ ，．…………………………………（1分）
∵ AB=AC；
∴ AD =AE． …………………………………（1分）
∵ AD =AE，∠DAB=∠EAC，AB =AC；
∴ △BAD≌△CAE；……………………………………………（2分）
∴ ∠ABD=∠ACE．………………………………………………（1分）
（2）证明：∵ 点D是边AC的中点，DF⊥AC；
∴ FA =FC， AD =CD；………………………………………（2分）
∴ ∠FAD=∠ACE． …………………………………………（1分）
∵ ∠ABD=∠ACE；
∴ ∠ABD=∠FAD．
∵ ∠ADB=∠GDA；
∴ △BAD ∽ △AGD；…………………………………………（2分）
∴ ；
∴ ．……………………………………………（1分）
∵ AD =CD；
∴ ．……………………………………………（1分）
24.（本题共3小题，每小题4分，满分12分）
解：（1）∵抛物线经过A（-1，3）和B（2，0）．
∴……………………………………………………………（2分）
∴， …………………………………………………………（1分）
∴该抛物线的表达式为………………………………………（1分）
（2）过点C作y轴的垂线，垂足为点H，过点A作CH的垂线，垂足为点G，
由题设得GH=1．
∵AG//y轴，，得，……………………………（1分）
∴CH=，即点C的横坐标为…………………………………………（1分）
令x=， 由得，，…………………………………（1分）
即点C到x的距离为．…………………………………………………（1分）
（3）方法一：
存在，∠DEC = 45°．………………………………………………………（1分）
过点C作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作CP的垂线，垂足为点Q，
由题设得PQ=1，点C的坐标为（m，-2m）
∵AQ//y轴，得，
∴，
∴， …………………………………………………（1分）
由DO=DP+PO，，得，……………………（1分）
由，得，
在Rt△DOE中，∠DOE = 90°，，
∴∠EDO = 45°…………………………………………………………（1分）
由CE//y轴，得∠DEC =∠EDO = 45°．
方法二：
存在，∠DEC = 45°．……………………………………………………（1分）
由A（-1，3）、（m，-2m）
设直线AC的表达式为，
∴
∴， ，
∴直线AC的表达式为………………………………（1分）
∴点D的坐标为（0，m），即．………………………………（1分）
由，得，
在Rt△DOE中，∠DOE = 90°，，
∴∠EDO = 45°………………………………………………………………（1分）
由CE//y轴，得∠DEC =∠EDO = 45°．
25.（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）
解：（1）在平行四边形ABCD中，BC // DE，∠CBD=∠E．
又∵∠CBD =∠BAC，
∴∠BAC =∠E．………………………………………………………（1分）
∵BC // DE，∴∠BCA =∠EFC，……………………………………（1分）
∴△ABC∽△CEF．…………………………………………………（1分）
（2）延长AD交BC于点H，过点A作AQ// BC，交射线BG于点Q，
∵△ABC∽△CEF，∴．…………………………………（1分）
又∵CE =FE，∴AB =AC， ……………………………………………（1分）
由BC // DE，得∠ADE =∠AHC=90°，即AH⊥BC．
由△ABC的面积与平行四边形的面积相等，
得：，即，
∴．………………………………………………………（1分）
∵AB =AC，AH⊥BC．
∴BH=CH．
由AQ// BC，得，
由DE// BC，得，
设BH=2x，则HC=2x，进一步得AQ=2x，DF=x．………………（1分）
由AQ// BC， DE// BC，得DE// AQ，
∴．……………………………………………………（1分）
（3）延长BD，交AC于点M，交边AE于点P．
由△ABC∽△CEF，∴．
设，，得，．
由BD // CE，得∠PDE =∠DEC．
又∠AED =∠DEC，∴∠PDE =∠AED，∴PD =PE．
在Rt△ADE中，∠ADP+∠PDE = 90°，∠DAE+∠AED= 90°，
∴∠DAE =∠ADP，∴PD =PA，∴PE =PA，．…………（1分）
由BD//CE，得，
由CE=2，PM=1．……………………………………………………………（1分）
由， ，
∴．……………………………………………（1分）
∴，……………………………………………………………（1分）
∴，………………………………………………………（1分）
由 ，得．………………………………（1分）