浙江省宁波市南三县2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份浙江省宁波市南三县2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省宁波市南三县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
2．（3分）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝x+b的图象上，y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2
4．（3分）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）当b＞0时，一次函数y＝x+b的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．两直线平行，内错角相等
C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形
D．若x＝y，则x2＝y2
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，下列尺规作图，不能得到∠ADC＝2∠B的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（　　）

A．3 B．5 C． D．6
9．（3分）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．
例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2．则下列结论：
①[﹣2.1]+[﹣1]＝﹣3；②[x]+[﹣x]＝0；③若[x﹣1]＝1，则x的取值范围是2≤x＜3；
④当﹣1⩽x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0，1，2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＜∠A，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，MN为边AB的垂直平分线且分别交BC、AB于点M、M，若∠DCE＝∠B，AC＝2，则BM的长是（　　）

A．2 B． C．2 D．2
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）命题“如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0”的逆命题是　 　．
12．（4分）如图，若△ABD≌△ACE，且∠1＝45°，∠ADB＝95°，则∠B＝　 　°．

13．（4分）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为　 　．
14．（4分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≥ax+c的解集为 　 　．

15．（4分）如图，已知正比例函数经过A，B两点，A点坐标（1，2），B点的横坐标为﹣2，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为 　 　．

16．（4分）如图，边长为6的等边三角形中，若点M是高AD所在直线上一点，连结CM，以CM为边在直线CM的下方画等边三角形CMN，连结DN，则DN长度的最小值为 　 　．

三、解答题（8小题，共66分）
17．（8分）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．

18．（8分）如图，在6×6方格纸中（每个小正方形的边长均为1个单位长度），有直线MN和线段AB，其中点A，B，M，N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出线段AB关于直线MN的轴对称图形CD；
（2）若点B的坐标为（1，3），则点A的坐标为 　 　．

19．（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．

20．（8分）将一副三角板按如图方式叠放在一起，两直角顶点重合于点O．
（1）求∠AOD+∠BOC的度数；
（2）当AB的中点E恰好落在CD的中垂线上时，求∠AOC的度数．

21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）m＝　 　；
（2）若一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），求一次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，求△AOD的面积．

22．（8分）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
（2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
23．（9分）定义：在任意△ABC中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为90°，那么称此三角形为“倍角互余三角形．
【基础巩固】（1）若△ABC是“倍角互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　 　°；
【尝试应用】（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为线段BC上一点，若∠CAD与∠CAB互余．求证：△ABD是“倍角互余三角形”；
【拓展提高】（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，试问在边BC上是否存在点E，使得△ABE是“倍角互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．


24．（9分）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）填空：k＝　 　；b＝　 　；m＝　 　；
（2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒，是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：2？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年浙江省宁波市南三县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于6﹣2＝4，而小于6+2＝8，
故第三边的长度4＜x＜8，这个三角形的第三边长可以是5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
2．（3分）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝x+b的图象上，y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2
【分析】由k＝1＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合﹣2＜3，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣2，y1）和点B（3，y2）是一次函数y＝x+b图象上的两点，且﹣2＜3，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
4．（3分）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点得出a、b的符号，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，
∴﹣a＞0，b＞0，
∴a＜0，
∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（3分）当b＞0时，一次函数y＝x+b的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．
【解答】解：∵一次函数y＝x+b中k＝1＞0，b＞0，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限，
故选：B．
【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
6．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．两直线平行，内错角相等
C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形
D．若x＝y，则x2＝y2
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：A、逆命题为两角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、逆命题为若x2＝y2，则x＝y，错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，下列尺规作图，不能得到∠ADC＝2∠B的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质一一判断即可．
【解答】解：A、由作图可知，AD＝DC，
∴∠ADC＝∠C＝2∠B，本选项不符合题意；
B、由作图可知，∠DCB＝∠ACD，
∵∠ADC＝∠B+∠DCB，∠ACB＝2∠B，
∴∠ADC＝2∠B，本选项不符合题意；
C、由作图可知，点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DB＝DA，
∴∠B＝∠DAB，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2∠B，本选项不符合题意．
D、无法判断，∠ADC＝2∠B．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（　　）

A．3 B．5 C． D．6
【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接DE，如图所示，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3；
∴CE＝3；
∴BE＝8﹣3＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．
9．（3分）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．
例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2．则下列结论：
①[﹣2.1]+[﹣1]＝﹣3；②[x]+[﹣x]＝0；③若[x﹣1]＝1，则x的取值范围是2≤x＜3；
④当﹣1⩽x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0，1，2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，对各结论进行分析即可解答．
【解答】解：①[﹣2.1]+[1]＝﹣3+1＝﹣2，故①错误；
②例如：[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，2+（﹣3）≠0，故②错误；
③若[x﹣1]＝1，则x的取值范围是2≤x＜3，故③正确；
④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，0＜﹣x+1≤2，
∴[x+1]＝0或1，[﹣x+1]＝0或1或2，
当[x+1]＝0时，[﹣x+1]＝1或2；当[x+1]＝1时，[﹣x+1]＝1或0；
所以[x+1]+[﹣x+1]的值为1、2，故④错误．
则正确的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解决本题的关键是明确[x]表示不超过x的最大整数．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＜∠A，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，MN为边AB的垂直平分线且分别交BC、AB于点M、M，若∠DCE＝∠B，AC＝2，则BM的长是（　　）

A．2 B． C．2 D．2
【分析】连接AM，如图，先证明∠ACD＝∠DCE＝∠B，再利用CE是△ABC的角平分线得到2∠B＝45°，接着根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MB，则∠CMA＝2∠B＝45°，于是可判断△CAM为等腰直角三角形，所以AM＝CA＝BM．
【解答】解：连接AM，如图，

∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的高线，
∴∠CAB+∠B＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠DCE＝∠B，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠B，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝45°，即2∠B＝45°，
∵MN是边AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠B，
∴∠CMA＝∠MAB+∠B＝2∠B＝45°，
∴△CAM为等腰直角三角形，
∴AM＝CA＝2，
∴BM＝2，
故选：D．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）命题“如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0”的逆命题是　如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0　．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0”的逆命题是：如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0，
故答案为：如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．（4分）如图，若△ABD≌△ACE，且∠1＝45°，∠ADB＝95°，则∠B＝　50　°．

【分析】根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∠ADB＝95°，
∴∠AEC＝∠ADB＝95°，
∵∠AEC＝∠1+∠B，∠1＝45°，
∴∠B＝50°，
故答案为：50．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
13．（4分）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为　50°或80°　．
【分析】分∠A为顶角和底角两种情况，再结合三角形内角和定理可求得顶角．
【解答】解：
∵∠A的相邻外角是130°，
∴∠A＝50°，
当∠A为顶角时，则顶角为50°，
当∠A为底角时，则顶角为180°﹣2∠A＝80°，
故答案为：50°或80°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
14．（4分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≥ax+c的解集为 　x≥1　．

【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≥1时x+2≥ax+c，即可求解．
【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，
∴m＝1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≥ax+c的解集为x≥1；
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查一次函数的交点于一元一次不等式；将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．
15．（4分）如图，已知正比例函数经过A，B两点，A点坐标（1，2），B点的横坐标为﹣2，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为 　（4，﹣7）　．

【分析】根据反比例函数的对称性求得B的坐标，过点B作x轴的平行线l，过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点，则D（1，﹣4），利用“一线三垂直”易证得△ABD≌△BEC，即可求得BE＝AD＝6，CE＝BD＝3，从而求得C的坐标为（4，﹣7）．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx，
∵A点坐标（1，2），
∴k＝2，
∴直线AB为y＝2x，
把x＝﹣2代入得，y＝﹣4，
∴B（﹣2，﹣4）
过点B作x轴的平行线l过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点，则D（1，﹣4），
∵∠ABD+∠CBE＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD，
在△ABD与△BCE 中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BE＝AD＝6，CE＝BD＝3，
∴C（4，﹣7），
故答案为：（4，﹣7）．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，求得点的坐标是解题的关键．
16．（4分）如图，边长为6的等边三角形中，若点M是高AD所在直线上一点，连结CM，以CM为边在直线CM的下方画等边三角形CMN，连结DN，则DN长度的最小值为 　　．

【分析】连接BN，利用SAS证明△BCN≌△ACM，由全等三角形的性质得出∠CBN＝∠CAM，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【解答】解：连接BN，
∵△CMN是等边三角形，
∴CM＝CN，∠MCN＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB+∠BCM＝∠BCM+∠MCN，
∴∠BCN＝∠ACM，
∴△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
∵AM⊥CB，△ABC是等边三角形，
∴∠CAM＝30°，BD＝AB＝3，
∴∠CBN＝30°，
∴DN⊥BD时，DN最短为BD＝，
故答案为：．

【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明∠CBN＝30°是解题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
17．（8分）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．

【分析】解出每个不等式的解集，再取公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤，
解不等式②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤．
解集表示在数轴上如下：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）如图，在6×6方格纸中（每个小正方形的边长均为1个单位长度），有直线MN和线段AB，其中点A，B，M，N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出线段AB关于直线MN的轴对称图形CD；
（2）若点B的坐标为（1，3），则点A的坐标为 　（3，4）　．

【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）由B点到A点是向上平移1个单位长度向右平移了2个单位长度，所以A的坐标为（3，4）．
【解答】解：（1）如图；
（2）点B的坐标为（1，3），则点A的坐标为 （3，4）．

【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
19．（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．

【分析】（1）根据AD∥BE，可以得到∠A＝∠B，然后根据SAS即可证明结论成立；
（2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到DE的长，CF⊥DE，再根据三角形的面积计算公式即可计算出△DCE的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；
（2）解：由（1）知△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF，
∴CF垂直平分DE，
∵CF＝3，DF＝4．
∴DE＝2DF＝8，
∴S△DCE＝＝＝12，
即△DCE的面积是12．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出△ACD≌△BEC需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
20．（8分）将一副三角板按如图方式叠放在一起，两直角顶点重合于点O．
（1）求∠AOD+∠BOC的度数；
（2）当AB的中点E恰好落在CD的中垂线上时，求∠AOC的度数．

【分析】（1）再根据直角三角板的性质可直接得出结论；
（2）连接OE，根据OE是CD的中垂线可知∠COE＝45°，再由E是AB的中点可知OE＝AB＝AE，故可得出∠AOE＝∠A＝60°，再根据∠AOC＝∠AOE﹣∠COE即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+90°＝180°；

（2）连接OE，
∵OE是CD的中垂线，
∴∠COE＝45°．
又∵E是AB的中点，
∴OE＝AB＝AE，
∴∠AOE＝∠A＝60°，
∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝15°．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）m＝　1　；
（2）若一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），求一次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，求△AOD的面积．

【分析】（1）根据正比例函数解析式求得m的值，
（2）进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式；
（3）根据（2）中的解析式，令y＝0求得点D的坐标，从而求得三角形的面积．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2），
∴2m＝2，
m＝1．
故答案为：1；
（2）把（1，2）和（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，得
，
解，得
，
则一次函数解析式是y＝x+1；
（3）令y＝0，则x＝﹣1．
则△AOD的面积＝×1×2＝1．
【点评】此题综合考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法，关键是根据正比例函数解析式求得m的值．
22．（8分）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
（2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个B种品牌的足球，则购买（50﹣m）个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）设购买m个B种品牌的足球，则购买（50﹣m）个A种品牌的足球，
根据题意得：，
解得：23≤m≤25，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×27+80×0.8×23＝2714（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×26+80×0.8×24＝2732（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×25+80×0.8×25＝2750（元）．
∵2714＜2732＜2750，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（9分）定义：在任意△ABC中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为90°，那么称此三角形为“倍角互余三角形．
【基础巩固】（1）若△ABC是“倍角互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　15　°；
【尝试应用】（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为线段BC上一点，若∠CAD与∠CAB互余．求证：△ABD是“倍角互余三角形”；
【拓展提高】（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，试问在边BC上是否存在点E，使得△ABE是“倍角互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）由“倍角互余三角形”的定义得∠A+2∠B＝90°，即可求解；
（2）由锐角三角函数定义证出∠ABD＝∠CAD，再由直角三角形的性质得∠ABD+∠CAD+∠BAC＝2∠ABD+∠BAC＝90°，即可得出结论；
（3）①由（2）得∠CAE＝∠ABE，再由锐角三角函数定义求出CE＝，②当AE是∠CAB的平分线时，过点E作EF⊥AB于F，则CE＝FE，由HL证得Rt△ACE≌Rt△AFE，得出AC＝AF＝6，由勾股定理求出AB＝5，则BF＝2，在Rt△BEF中，由勾股定理得22+（4﹣BE）2＝BE2，解得BE＝，即可得出结果．
【解答】（1）解：∵△ABC是“倍角互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，
∴∠A+2∠B＝90°，
∴∠B＝（90°﹣60°）＝15°，
故答案为：15；
（2）证明：∵∠C＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∵∠CAD+∠CBA＝90°，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠DAB+∠CAD+∠B＝90°，
∴∠DAB+2∠B＝90°
∴△ADB是“倍角互余三角形”；
（3）解：存在点E，使得△ABE是“倍角互余三角形”，
①由（2）得：∠CAE＝∠ABE，如图2所示：
则tan∠CAE＝tan∠ABE＝＝，
∴tan∠CAE＝＝＝，
解得：CE＝，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣＝，
②当AE是∠CAB的平分线时，△ABE是“倍角互余三角形”，如图3所示：
过点E作EF⊥AB于F，
则CE＝FE，
∴FE＝BC﹣BE＝8﹣BE，
在Rt△ACE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），
∴AC＝AF＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣3＝2，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF2+FE2＝BE2，
即：22+（4﹣BE）2＝BE2，
解得：BE＝，
综上所述，存在点E，使得△ABE是“倍角互余三角形”，BE的长为或．


【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“倍角互余三角形”、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握新定义“倍角互余三角形”的判定与性质和锐角三角函数定义是解题的关键．
24．（9分）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）填空：k＝　　；b＝　4　；m＝　2　；
（2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒，是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：2？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．求出直线BC′的解析式，即可解决问题；
（3）分两种情况：①点P在线段DC上，②点P在线段DC的延长线上，由△ACP和△ADP的面积比为1：2，可得＝，根据比例的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），
∴5＝1+b，
∴b＝4，
∴直线l2：y＝﹣x+4，
∵直线l2：y＝﹣x+4经过点C（2，m），
∴m＝﹣2+4＝2，
∴C（2，2），
把C（2，2）代入y＝kx+1，得到k＝．
∴k＝，b＝4，m＝2．
故答案为：，4，2；

（2）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．

∵B（﹣1，5），C′（2，﹣2），
∴直线BC′的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，得到x＝，
∴E（，0），
∴存在一点E，使△BCE的周长最短，E（，0）；

（3）∵点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，直线l1：y＝x+1，
∴D（﹣2，0），
∵C（2，2），
∴CD＝＝2，
∵点P的运动时间为t秒．
∴DP＝t，
分两种情况：①点P在线段DC上，


∵△ACP和△ADP的面积比为1：2，
∴＝，
∴＝，
∴DP＝×2＝，
∴t＝；
②点P在线段DC的延长线上，

∵△ACP和△ADP的面积比为1：2，
∴＝，
∴＝3，
∴DP＝3×2＝6，
∴t＝6．
综上：存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：2，t的值为或6．



【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．