2023年中考数学二轮复习《图形的旋转综合题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《图形的旋转综合题》强化练习(含答案)，共33页。试卷主要包含了我们定义，新定义，在正方形ABCD中，连接BD．等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习
《图形的旋转综合题》强化练习
1.如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图2.
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由.

















2.已知，如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围.


















3.如图，在等腰直角△ABC中，∠C是直角，点A在直线MN上，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F.
(1)如图1，当C，B两点均在直线MN的上方时，
①直接写出线段AE，BF与CE的数量关系.
②猜测线段AF，BF与CE的数量关系，不必写出证明过程.
(2)将等腰直角△ABC绕着点A顺时针旋转至图2位置时，线段AF，BF与CE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程.
(3)将等腰直角△ABC绕着点A继续旋转至图3位置时，BF与AC交于点G，若AF＝3，BF＝7，直接写出FG的长度.













4.我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α＋β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”.

(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝　 　BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为　 　.
(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明.















5.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF.
(1)线段BE与AF的位置关系是　 　，AF:BE＝　 　.
(2)如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时(0°＜a＜180°)，连结AF，BE，(1)中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
(3)如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时(0°＜a＜180°)，延长FC交AB于点D，如果AD＝6﹣2，求旋转角a的度数.[来源:学|科|网]


















6.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；
(2)如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值.





















7.新定义：如图1(图2，图3)，在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′，若∠BAC＋∠B′AC′＝180°，我们称△ABC是△AB′C′的“旋补三角形”，△AB'C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”
【特例感知】(1)①若△ABC是等边三角形(如图2)，BC＝4，则AD＝　 　；
②若∠BAC＝90°(如图3)，BC＝6，AD＝　 　；
【猜想论证】(2)在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】(3)如图4.点A，B，C，D都在半径为5的圆上，且AB与CD不平行，AD＝6，点P是四边形ABCD内一点，且△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，请确定点P的位置(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并求BC的长.















8.在正方形ABCD中，连接BD．
(1)如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．
(2)如图1，在(1)的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．
(3)如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．(不必写出完整推理过程)


















9.如图1，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，D为OB边上一点，过D点作DC⊥AB交AB于C，连接AD，E为AD的中点，连接OE、CE.

观察猜想
(1)①OE与CE的数量关系是　   　；②∠OEC与∠OAB的数量关系是　   　；
类比探究
(2)将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
拓展迁移
(3)将△BCD绕点B旋转任意角度，若BD=，OB=3，请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长.
















10.我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'.当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.
特例感知：
(1)在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=　   　BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为　   　.
猜想论证：
(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.

















11.如图①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点．
小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．
请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
(1)当点E在直线AD上时，如图②所示．
①∠BEP=　   　°；
②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是　   　．
(2)请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．
(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．














12.如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转．
（1）求证：BD=CE；
（2）若∠ADB=90°，DE的延长线交BC于点F，交AB于点G．
①如图2，求证：点F是BC中点．
②如图3，若DA=DB，BF=2，直接写出AG的长为6-2√3．






















13.如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°.

(1)如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；
(2)如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC=6，AD=3，求△PDE的面积.






14.如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.
(1)如图1，猜想∠QEP＝　 　°；
(2)如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
(3)如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长.

参考答案
1.解：(1)如图1，延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA＝OD，OA⊥OD，
∵OG＝OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO＝∠DEO，
∵∠AGO＋∠GAO＝90°，[来源:Zxxk.Com]
∴∠GAO＋∠DEO＝90°，
∴∠AHE＝90°，
即DE⊥AG；
(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时，
∵OA＝OD＝OG＝OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝，
∴∠AG′O＝30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°；
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时，
同理可求∠BOG′＝30°，
∴α＝180°﹣30°＝150°.
综上所述，当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°.

②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝，
∵OG＝2OD，
∴OG′＝OG＝，
∴OF′＝2，
∴AF′＝AO＋OF′＝＋2，
∵∠COE′＝45°，
∴此时α＝315°.

2.解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF.理由：如图1中，

∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC.
（2）结论不变.
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM.EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O.

∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，FD⊥FC.
（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3.

如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝.

综上所述，≤BF≤3.
3. (1)证明：①如图1，过点C做CD⊥BF，交FB的延长线于点D，
∵CE⊥MN，CD⊥BF，
∴∠CEA＝∠D＝90°，
∵CE⊥MN，CD⊥BF，BF⊥MN，
∴四边形CEFD为矩形，
∴∠ECD＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB﹣∠ECB＝∠ECD﹣∠ECB，即∠ACE＝∠BCD，
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD(AAS)，
∴AE＝BD，CE＝CD，
又∵四边形CEFD为矩形，
∴四边形CEFD为正方形，
∴CE＝EF＝DF＝CD，
∴AE＋BF＝DB＋BF＝DF＝EC.
②由①可知：AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝BD＋EF＋BF＝DF＋EF＝2CE，

(2)AF﹣BF＝2CE,图2中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，
∵AC＝BC
可得∠AEC＝∠CGB，
∠ACE＝∠BCG，
在△CBG和△CAE中，
，
∴△CBG≌△CAE(AAS)，
∴AE＝BG，
∵AF＝AE＋EF，
∴AF＝BG＋CE＝BF＋FG＋CE＝2CE＋BF，
∴AF﹣BF＝2CE；
(3)如图3，过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，
∵AC＝BC
可得∠AEC＝∠CDB，
∠ACE＝∠BCD，
在△CBD和△CAE中，
，
∴△CBD≌△CAE(AAS)，
∴AE＝BD，
∵AF＝AE﹣EF，
∴AF＝BD﹣CE＝BF﹣FD﹣CE＝BF﹣2CE，
∴BF﹣AF＝2CE.
∵AF＝3，BF＝7，
∴CE＝EF＝2，AE＝AF＋EF＝5，
∵FG∥EC，
∴＝，∴＝，
∴FG＝.
4.解：(1)①如图2中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，
∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD＝AB′＝BC，故答案为.
②如图3中，

∵∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC＝B′C′，
∵B′D＝DC′，
∴AD＝B′C′＝BC＝4，故答案为4.
(2)结论：AD＝BC.
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M

∵B′D＝DC′，AD＝DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′＝B′M＝AC，
∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∠B′AC′＋∠AB′M＝180°，
∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，
∴△BAC≌△AB′M，
∴BC＝AM，
∴AD＝BC.
5.解：(1)如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；
∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，
∴AC＝2，
∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，
∴＝；
故答案为：互相垂直；；
(2)(1)中结论仍然成立.
证明：如图2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，
∴EC＝BC，FC＝AC，
∴＝＝，
∵∠BCE＝∠ACF＝α，
∴△BEC∽△AFC，
∴＝＝＝，
∴∠1＝∠2，
延长BE交AC于点O，交AF于点M
∵∠BOC＝∠AOM，∠1＝∠2
∴∠BCO＝∠AMO＝90°
∴BE⊥AF；

(3)如图3，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°
∴AB＝4，∠B＝60°
过点D作DH⊥BC于H
∴DB＝4﹣(6﹣2)＝2﹣2，
∴BH＝﹣1，DH＝3﹣，
又∵CH＝2﹣(﹣1)＝3﹣，
∴CH＝DH，
∴∠HCD＝45°，
∴∠DCA＝45°，
∴α＝180°﹣45°＝135°.

6.解：(1)∵AB＝AC，∠A＝α，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠ABC＝∠ACB＝(180°﹣∠A)＝90°﹣α，
∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°，
即∠ABD＝30°﹣α；
(2)△ABE是等边三角形，
证明：连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC＝BD，∠DBC＝60°，
∵∠ABE＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，
在△ABD与△ACD中

∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，
∵∠BCE＝150°，
∴∠BEC＝180°﹣(30°﹣α)﹣150°＝α＝∠BAD，
在△ABD和△EBC中

∴△ABD≌△EBC(AAS)，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形；

(3)解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，
∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，
∵∠DEC＝45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC＝CE＝BC，
∵∠BCE＝150°，
∴∠EBC＝(180°﹣150°)＝15°，
∵∠EBC＝30°﹣α＝15°，
∴α＝30°.
7.解：(1)①∵△ABC是等边三角形，BC＝4，
∴AB＝AC＝4，∠BAC＝60，
∴AB′＝AC′＝4，∠B′AC′＝120°.
∵AD为等腰△AB′C′的中线，
∴AD⊥B′C′，∠C′＝30°，[来源:学科网ZXXK]
∴∠ADC′＝90°.
在Rt△ADC′中，∠ADC′＝90°，AC′＝4，∠C′＝30°，
∴AD＝AC′＝2.
②∵∠BAC＝90°，
∴∠B′AC′＝90°.
在△ABC和△AB′C′中，
，
∴△ABC≌△AB′C′(SAS)，
∴B′C′＝BC＝6，
∴AD＝B′C′＝3.
故答案为：①2；②3.
(2)AD＝BC.
证明：在图1中，过点B′作B′E∥AC′，且B′E＝AC′，连接C′E、DE，则四边形ACC′B′为平行四边形.
∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∠B′AC′＋∠AB′E＝180°，
∴∠BAC＝∠AB′E.
在△BAC和△AB′E中，
，
∴△BAC≌△AB′E(SAS)，
∴BC＝AE.
∵AD＝AE，
∴AD＝BC.
(3)在图4中，作AB、CD的垂直平分线，交于点P，则点P为四边形ABCD的外接圆圆心，过点P作PF⊥BC于点F.
∵PB＝PC，PF⊥BC，
∴PF为△PBC的中位线，
∴PF＝AD＝3.
在Rt△BPF中，∠BFP＝90°，PB＝5，PF＝3，
∴BF＝4，
∴BC＝2BF＝8.

8.解：(1)∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
(2)①依题意补全图形，如图1所示，

②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2＋MD2＝MN2，
将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，
∴∠ADB＝∠FBA，∠BAF＝∠DAN，DN＝BF，AF＝AN，
∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠FBM＝∠FBA＋∠ABD＝∠ADB＋∠ABD＝90°，
在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2＋BM2＝FM2，
∵旋转△ANE得到AB1E1，
∴∠E1AB1＝45°，
∴∠BAB1＋∠DAN＝90°﹣45°＝45°，
∵∠BAF＝DAN，
∴∠BAB1＋∠BAF＝45°，
∴∠FAM＝45°，
∴∠FAM＝∠E1AB1，
∵AM＝AM，AF＝AN，
∴△AFM≌△ANM，
∴FM＝MN，
∵FB2＋BM2＝FM2，
∴DN2＋BM2＝MN2，
(3)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，

∴DF＝GB，
∵正方形ABCD的周长为4AB，△CEF周长为EF＋EC＋CF，
∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，
∴4AB＝2(EF＋EC＋CF)，
∴2AB＝EF＋EC＋CF
∵EC＝AB﹣BE，CF＝AB﹣DF，
∴2AB＝EF＋AB﹣BE＋AB﹣DF，
∴EF＝DF＋BE，
∵DF＝GB，
∴EF＝GB＋BE＝GE，由旋转得到AD＝AG＝AB，
∵AM＝AM，
∴△AEG≌△AEF，∠EAG＝∠EAF＝45°，
和(2)的②一样，得到DN2＋BM2＝MN2．
9.解：(1)①如图1中，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°，
∵∠AOD=90°，AE=DE，
∴OE=AD，EC=AD，
∴OE=EC.
②∵EO=EA，EC=EA，
∴∠EAO=∠EOA，∠EAC=∠ECA，
∵∠OED=∠EAO+∠EOA=2∠EAO，∠DEC=∠EAC+∠ECA=2∠EAC，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠OEC=2(∠OAE+∠EAC)=90°，
∴∠OEC=2∠OAB，
故答案为OE=EC，∠OEC=2∠OAB.
(2)结论成立.
理由：如图2中，延长OE到H，使得EH=OE，连接DH，CH，OC.
由题意△AOB，△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABO=∠DBC=∠CDB=45°，
∵AE=ED，∠AEO=∠DEH，OE=EH，
∴△AEO≌△DEH(SAS)，
∴AO=DH，∠A=∠EDH=45°，
∴∠CDH=∠OBC=90°，
∵OA=OB，BC=CD，
∴DH=OB，
∴△HDC≌△OBC(SAS)，
∴CH=OC，∠HCD=∠OCB，
∴∠HCO=∠DCB=90°，
∴∠COE=∠CHE=45°，
∵OE=EH，
∴CE⊥OE，
∴∠OEC=90°，
∴∠OEC=2∠OAB，OE=EC.
(3)①如图3﹣1中，当点C落在OB上时，连接EC.

由(1)(2)可知△OEC是等腰直角三角形，
∵BC=BD=1，OB=3，∴OC=OB﹣BC=3﹣1=2，∴OE=OC=.
②如图3﹣2中，当点C落在OB的延长线上时，连接EC.
同法可得OE=OC=(3+1)=2，
综上所述，OE的长为或2.
10.解：(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为2AD=BC；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=AB′=AC′，
∵DB′=DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=120°，
∴∠B′=∠C′=30°，
∴AD=AB′=BC，
故答案为0.5.
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为4.
理由：∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，
∵AB=AB′，AC=AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC=B′C′，
∵B′D=DC′，
∴AD=B′C′=BC=4，
故答案为4.
(2)猜想.
证明：如图，延长AD至点Q，则△DQB'≌△DAC'，

∴QB'=AC'，QB'∥AC'，
∴∠QB'A+∠B'AC'=180°，
∵∠BAC+∠B'AC'=180°，
∴∠QB'A=∠BAC，
又由题意得到QB'=AC'=AC，AB'=AB，
∴△AQB'≌△BCA，
∴AQ=BC=2AD，
即BC=2AD.
11.解：(1)①如图②中，

∵∠BPE=80°，PB=PE，∴∠PEB=∠PBE=50°，
②结论：AB∥EC．
理由：∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE=90°，∴∠EBD=90°﹣50°=40°，
∵AE垂直平分线段BC，∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC=40°，
∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ABC=∠ECB，∴AB∥EC．
故答案为50，AB∥EC．
(2)如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．

∵AD垂直平分线段BC，∴PB=PC，∴∠BCE=∠BPE=40°，
∵∠ABC=40°，∴AB∥EC．
(3)如图④中，作AH⊥CE于H，

∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，
∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=AB=3．
12.解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
AD=AE，∠DAB=∠EAC，AB=AC
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE，
（2）①如图2，
同（1）的方法得出，△ADB≌△AEC，
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BDF=30°=∠CEH，
延长DF，在DF的延长线上取一点H，使CH=CF，
∴∠H=∠CFH，
∵∠CFH=∠BFD，
∴∠BFD=∠H，
在△BDF和△CEH中，
∠BFD=∠H，∠BDF=∠CEH，BD=CE，
∴△BDF≌△CEH，
∴BF=CH，
∵CH=CF，
∴BF=CF，
∴点F是BC中点．
②如图3，
∵∠ADB=90°，DA=DB，
∴∠ABD=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
由①知，∠BDF=30°，
根据三角形的内角和，得，∠BFD=45°，
过点E作EM⊥BF，
设BM=x，在Rt△BGM中，∠ABF=60°，
∴BG=2BM=2x，EM=√3BM=√3x，
在Rt△EMF中，∠BFD=45°，
∴FM=EM=√3x，
∵BF=2，
∴BM+FM=2，
∴x+√3x=2，∴x=√3-1，
∴BG=2x=2（√33-1），
由①知，BF=CF，
∴BC=2BF=4，
∴AB=4，
∴AG=AB-BE=4-2（√3-1）=6-2√3．
故答案为：6-2√3．

13.解：(1)∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°.
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC﹣∠EAF=∠EAD﹣∠EAF，即∠BAE=∠DAC，
在△ABE与△ADC中，
，∴△ABE≌△ADC(SAS)，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠ABE+∠AFB=∠ABE+∠CFP=90°，
∴∠CPF=90°，
∴BP⊥CD；
(2)在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵∠PDB=∠ADC，∴∠BPD=∠CAB=90°，∴∠EPD=90°，
∵BC=6，AD=3，∴DE=3，AB=6，
∴BD=6﹣3=3，CD==3，
∵△BDP∽△CDA，∴==，∴==，
∴PD=，PB=∴PE=3﹣=，
∴△PDE的面积=××=.


14.解：(1)∠QEP＝60°；
证明：如图1，
∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，
则△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA(SAS)，
∴∠CQB＝∠CPA，
又因为△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，
∴∠QEP＝∠QCP＝60°.
故答案为：60；
(2)∠QEP＝60°.以∠DAC是锐角为例.
证明：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，
∴∠ACB＋∠BCP＝∠BCP＋∠PCQ，
即∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴∠APC＝∠Q，
∵∠1＝∠2，
∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；
(3)作CH⊥AD于H，如图3，
与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP＝BQ，
∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，
∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH＝CH＝AC＝×4＝2，
在Rt△PHC中，PH＝CH＝2，
∴PA＝PH﹣AH＝2﹣2，
∴BQ＝2﹣2.