利用导数研究函数的性质-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义
展开这是一份利用导数研究函数的性质-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义,共11页。试卷主要包含了已知函数极值点个数求参等内容,欢迎下载使用。
函数与导数—利用导数研究函数的性质
专题综述
导数是研究函数的便捷工具,利用导数研究函数的性质,如单调性、极值、最值,再利用函数性质求参数的取值范围、求零点个数、进行不等式的证明等应用.解决函数问题的第一步也是关键的一步是,如何利用导数研究函数的单调性,明确了函数的单调性就可进一步研究函数的其他性质.对于函数的极值问题,要明确的同时,的左右两侧是否单调性相反;函数的最值问题,可能取最值的点在区间端点处或极值点处(若区间上存在极值),需比较端点处或极值点处函数值的大小.本专题重点探究,利用导数求含参函数的单调性及其最值问题.
专题探究
探究1:求含参函数的单调性
对于不能用单调性的性质判断单调性的函数,用导数判断单调性,求导函数,对导函数的解析式化简变形,取符号不确定的因式,设为,解不等式.
答题方法:
第一种:不等式为含参的一元二次不等式:①若能变形为,讨论的正负及的大小关系;②若不能变形,则讨论的正负;
第二种: (或)恒成立:①求的最值,证明的不等式恒成立;②通过放缩证明(或)恒成立;
第三种:求的零点,解出不等式:①求,判断函数的单调性;②直接求出零点(如,1为函数的一个零点);若出现隐零点问题,则利用设而不求思想解决(专题1.3.9).
第四种: 若,则即为同号,转化为求两个函数零点,并比较零点大小,从而写出解集,若含参数,则需分类讨论(如当时解不等式,分为与讨论).
(2021江苏苏州模拟)已知函数在上可导其中是自然对数的底数
(1)讨论函数的单调性;
(2)当且时,证明:恒成立.
【审题视点】
(1)求导函数,化简变形,选择合适的方法讨论;(2)已知参数,不含参,证明不等式不需要讨论,不等式左右两侧都有项,可以将两侧合二为一,构造函数求最值证明不等式.
【思维引导】
对导函数的解析式化简变形: 讨论方程的根,由 可得,讨论的取值以0为分界若存在,与比较大小,写出解集.
【规范解析】
解:(1)由题意得
①当时,,
令,则,
在区间上单调递增,
在区间上单调递减
②当时,令得,
i) 当即时,
恒成立,
在上单调递增;
ii)当即时,
令,得或
在区间,上单调递增,
在区间上单调递减
iii)当即时,
令,得或,
在区间,上单调递增,
在上单调递减
综上所述:当时,在上单调递减,
在上单调递增;
当时,在上单调递增;
当时,在,上单调递增,
在上单调递减;
当时,在,上单调递增,
在上单调递减.
(2)当且时,
则
设,则
当时,恒成立
在区间上单调递增
当时,
即
当且时恒成立.
【探究总结】
解不等式的关键是对化简变形,去除符号确定的因式,简化不等式,根据不等式的结构,选择合适的方法.理清上述方法的思路,关键是分类讨论要确定讨论区间,做到不重不漏.
(2021广东汕头月考)已知函数
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,,求的取值范围.
探究2:已知函数的极值、最值求参
1.无论是求函数的极值、最值,还是已知函数的极值、最值求参,基本思路是一致的:先判断函数的单调性,明确极值点或最值点,求出极值或最值(有参数,则含参表示).
答题思路:
第一步: 解不等式,判断函数单调性;
第二步: 利用单调性判断极值点或最值点;
第三步: 求出含参的极值或最值与已知的极值最值相等,求出参数的值或取值范围.
强调:
(1)求函数的最值(闭区间)
①区间上单调:端点处取最值;
②区间上先增后减(先减后增):极值点处取最大值,比较左右端点处的函数值得出最小值(极值点处取最小值,比较左右端点处的函数值得出最大值);
③区间上增减增(或减增减):比较极值与端点处函数值,即可得最值;
2.已知函数极值点个数求参
已知函数极值点个数转化为导函数零点个数,转化已知函数零点个数求参的问题上去.
第一步: 令导函数,化简变形构造函数或分离参数使参数;
第二步: 判断函数的单调性,利用零点存在性定理,判断函数零点个数是否满足条件,求参;或转化为图象交点问题解决.
(2021安徽合肥月考)已知,
(1)当时,求证:不等式在上恒成立;
(2)若,是否存在实数,使得在的最小值是3,若存在,求的值,若不存在,请说明理由.
【审题视点】
(1)证明不等式即:①对不等式进行适当变形(不等式两边同除以或乘以某个因式),对不等式左边构造函数求最小值,若最小值大于零,则不等式成立;②若构造一个函数难以求最值,则不等式两侧分别构造函数,证明两个函数最值间的不等关系.(2)转化为已知函数的最小值为3,求参数的值.
【思维引导】
(1)证明不等式恒成立问题,本质上是求函数最值问题,总体思路是对不等式变形,若只够造一个函数,尽量使前不含,使导函数中不含,方便解不等式;或者变形为的形式,证明.(2)判断的单调性,求出的最小值含参表示,令求.
【规范解析】
解:(1)当时, ,
若,则
设,,
令,则
在区间上单调递增,
在区间上单调递减
设,,
令,则
在上单调递增,
,
当时,不等式在上恒成立;
(2)由题意得 ,
设存在实数,使得在的最小值是3,
又,
①当时,,
在上单调递减,
,解得(舍);
②当时,令,则
在上单调递减,在上单调递增,
,解得;
综上所述:存在实数
【探究总结】
不等式证明、恒成立求参问题、形如“”的命题都要转化为求函数最值问题解决,求导判断函数单调性,求出函数最值,利用最值比较大小证明不等式或求出参数的取值范围.而已知最值求参数的思路:含参讨论函数单调性,并带参表示最值,与已知最值相等,求出参数与给定范围比较,进行取舍.
(2021安徽蚌埠月考) 已知函数
(1)求证:当时,函数在内单调递减;
(2)若函数在区间内有且只有一个极值点,求的取值范围.
专题升华
导数研究函数的性质的落脚点是研究函数的单调性,已知函数在区间上连续,则当时,函数单调递增,当时,函数单调递减;反之当函数单调递增时,恒成立,当函数单调递减时,恒成立.通过解不等式,求出函数的单调区间,不等式解集需借助导函数的零点表示,故在解不等式的过程中:若不等式为一元二次不等式,或简单的指对不等式,可直接求出解集;若不等式较复杂,要转化为构造函数,研究函数的零点(利用零点存在性定理判断零点是否存在及个数,带特殊值验证函数值是否为0,求出零点,若出现“隐零点”,运用设而不求的思想表示零点),借助零点求出(或)的解集,判断原函数的单调性.解决导数问题难度较大,综合性强,关键是理清每一环节的思路,万变不离其宗.
【答案详解】
变式训练1
【解析】解:(1)当时,,,
,故单调递增,
又,
当时,单调递减,
当时,单调递增.
(2)由得,,,
①当时,不等式为:,成立;
②当时, ,
设,则,
令,
则,,
故单调递增,
,
故函数单调递增,,
由可得:恒成立,
故当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
,
综上所述:实数的取值范围是
变式训练2
【解析】证明:函数的定义域为,
当时,,
设,
则,
则当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减,
所以在内,函数的最大值为,
当时,,
由于,,所以时,,
所以函数在上单调递减.
解:,
设,
,
若函数在区间内有且只有一个极值点,
则函数在区间上有且只有一个零点,且在这个零点两侧异号,
令,
可得,则方程有两个不等实根,,且不为0,
则,是函数的两个零点,
则函数在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,
由于,是方程的两根,且,
则,,又,则,
若函数在区间上有且只有一个零点,
则,
解得,
当时,,即;时,,即;
故当时,函数在区间内有且只有一个极值点;
所以的取值范围是
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