三角恒等变换及综合应用-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

三角函数与解三角形-三角恒等变换及其综合应用

专题综述

三角恒等变换及其综合应用问题高考中以公式的基本运用、计算为主，题型以选择和填空为主，算是比较基础的题型是我们必须拿下的一部分.但由于三角函数诱导公式众多，解题时如果没有正确的方向，则容易陷入繁杂的化简过程，造成解题障碍.同学们只要在解题中注意发现条件角与结论角、条件式与结论式之间的联系，并认真研究三角函数诱导公式的一些结构特征，从整体上把握公式，就能做到灵活运用，达到解题突破.

专题探究

探究1：变换角

三角恒等变换中，要注意观察条件角与结论角之间的特征，寻找它们之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角和差公式等求解.在进行角的变换时，还可以将条件角、结论角与特殊角如、、等建立联系，然后把“结论角”用“条件角”或特殊角表示出来.

(2021.山东模拟)设为锐角，若，则的值为_______.

【审题视点】

把结论角用条件角和特殊角表示，采用换元变角法。                     

【思维引导】

观察条件角与结论角的关系，当不能直接看出的时候，可转化为方程求解。

【规范解析】

设，，可得，

由，可得.

因为，，可得，

所以，，

故.

【探究总结】

当“条件角”有一个时，我们应着眼于“结论角”与“条件角”的和或差的关系，来进行变换.当“条件角”有两个时，“结论角”一般可以表示为两个“条件角”的和或差的形式. 

(2021·山东省期末考试)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题.

已知，，，____，求.

探究2：变换函数名

有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需要变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦等等，以达到统一函数名称的目的。在变换函数名称的过程中，常用到公式有诱导公式、、,同角三角函数基本关系，、辅助角公式、二倍角公式等.

（2021.新高考全国Ⅰ卷）若，则（     ）

A.       B.      C.        D.

【审题视点】

将结论式用条件式表示即可。

【思维引导】

利用作为桥梁，运用完全平方公式，化异角为同角.

注意到是关于的二次齐次式，可改变结构，化为关于的齐次式求解.

【规范解析】

 原式  

故选：．  

【探究总结】

利用同角三角函数关系、二倍角公式将其化简为后，添加分母1，转化为齐次式，再分子分母同除即可,解题时要注意“1”的代换，

如：，，及的情况的讨论.

(2021.湖北模拟)若，则的值是_______.

专题升华

求解三角恒等变换问题的基本思路是一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”，首先就是观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心，其次是看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，再次观察代数式的结构特征.从而迅速找到解决问题的办法.

【答案详解】

变式训练1【答案】

【解析】解：选择条件①，．得，
因为，所以，可得； 所以；
由于，，所以，

所以；
所以.选择条件②：，，
所以；
由于，，所以，
所以；；
所以
选择条件③：因为，所以；
由，可得，解得，；
由于，，所以，

所以；
所以.

变式训练2【答案】                                           

【解析】