三角函数中的范围与最值问题-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

三角函数与解三角形-三角函数中的范围与最值问题

专题综述

三角函数中的范围与最值问题是高考中的一个难点，题型千变万化，解法灵活多样.求解三角函数的最值范围时一定要注意自变量的取值范围，要把这两个最值点弄清楚.

专题探究

探究1：有界性

正弦函数与余弦函数具有相同的值域，这两个函数的有界性是求解三角函数最值或参数取值范围的最基本方法之一.

答题模板：

第一步：参变分离，转化为关于正余弦的函数

第二步：利用正余弦函数的有界性求解参数范围或最值

(2021河北单元测试)已知且，则的取值范围是     ．

【审题视点】

利用整体思想，的范围求解后，即可得到范围。                              

【思维引导】

利用余弦函数的有界性进行求解。

【规范解析】

∵的值域为，可得，求得，

故答案为．

【探究总结】

解答此类问题的关键是将式子转化为关于正弦或余弦的函数，继而利用有界性求参数的取值范围或最值问题，体现了函数思想在这类问题中的应用。

(2021山东单元测试)已知函数的最大值为，最小值为，求函数的最值.

探究2：辅助角法

当三角函数式比较复杂时，我们可以利用公式进行化简，先化成的形式，并引进辅助角，最终化成的形式;再通过求这个函数的值域来求最值或取值范围.

答题模板：

第一步：化一；

第二步：利用函数性质求解.

       (2021河北模拟)函数的最大值_____.

【审题视点】

化一，转化为正（余）弦型函数

【思维引导】

利用两角和与差的余弦公式及辅助角公式,化简,再利用正弦函数的性质求解最大值即可．

【规范解析】

因为

∴函数的最大值为

故答案为：．

【探究总结】

求解范围或最值问题的关键在于将三角函数进行正确的“化一”及“化一后角的范围的确定，因此要准确运用三角公式，并借助三角函数的图像与性质去确定函数的最值或范围.

           (2020广东单元测试)若函数,,则的值域是(   )

A.               B.            C.           D.

探究3：换元法

当题目的已知条件中与同时出现时，我们通常巧妙的利用关系式来换元，把原问题转化为二次函数或其他函数的最值问题，注意新函数的定义域.

答题模板：

第一步：设新元

第二步：转化为二次、反比例等常见函数

第三步：利用函数性质求解

(2021浙江省单元测试)已知函数的最小值为，函数

（1）求;

（2）已知时，恒成立，求实数的取值范围.

【审题视点】

观察已知函数形式，考虑换元

【思维引导】

（1）利用换元法将函数转化为二次函数，然后根据对称轴与的关系进行分类讨论，即可得到答案;

（2）将不等式恒成立转化为恒成立，

然后利用换元法构造对任意的恒成立，

构造函数,，

将问题转化为，利用函数的单调性和基本不等式求解即可．

【规范解析】

解：（1）令，则，
因为函数，的最小值为，
当，即时，，不合题意；

当，即时，

,

解得或(舍去),

当，即时，，解得(舍去),

所以；

（2）当时，恒成立，

又由，即

令，，

则，则，所以，

即对任意的恒成立，

记，，

则,

因为在上单调递增，所以，

又因为，当且仅当时取等号，

所以，综上所述，的取值范围为.

【探究总结】

本题两问均通过换元将复杂函数转化为二次函数，继而求解，注意换元后新变量的取值范围.

           (2021安徽单元测试)设关于的函数的最小值为.

(1)试用写出的表达式；

(2)试确定时的值，并对此时的，求的最大值.

探究4：图像法

图像是函数的另一种表示形式，当三角函数图像容易画出时，图像法能够使最值或取值范围一目了然，是一种最简洁而又快捷的好方法.

答题模板：

第一步：化一

第二步：画图

第三步：求解

(2020河北省石家庄市模拟)若关于的方程在上有两个不等实根，则的取值范围是（   ）

A.         B. C.  D.

【审题视点】

  方程有根但又无法求解转化为图像有交点问题

【思维引导】

把方程化为，画出函数在上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时的取值范围．

【规范解析】

方程可化为，

当时，，

画出函数在上的图象如图所示；

根据方程在 上有两个不等实根，

即函数在 上的图象与有两个交点，

观察图象得，即，∴的取值范围是．

故选C．

【探究总结】

图像法能够使最值或取值范围一目了然，是一种最简洁而又快捷的好方法.

(2021河北省邯郸市模拟)已知函数，若对任意的，关于的方程总有两个不同的实数根，则的取值范围为(   )

A.             B.            C.        D.

探究5：导数法

导数是求解函数最值问题的“神器”.当三角函数表达式中的函数名与角无法“统一”时，导数法最有效.

答题模板：

第一步：求导

第二步：参变分离转化为最值问题

(2021山东省青岛市模拟)已知函数．若在上为增函数，求实数的取值范围.

【审题视点】

  无法转化为常见函数，考虑导数

【思维引导】

求得，转化为当时，不等式恒成立，设，利用导数求得的单调性与最大值，即可求解.

【规范解析】

由题意，函数，可得，

因为 为上的增函数，

可得当时,恒成立,即恒成立,

设，可得，

所以为减函数，可得，所以，

即实数的取值范围是．

【探究总结】

求导，转化为常见函数，继而利用性质求解

(2022山东省青岛市模拟)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(   )

A.       B.        C.         D.  

专题升华

纵观以上几种解法，求解三角函数与解三角形中的范围（最值）问题的基本思路，就是抓住三角函数的图像与性质，并辅以最值问题的基本方法，如换元法，基本不等式法，导数法等代数方法，这类问题便可迎刃而解.

【答案详解】

变式训练1

，函数的最大值与最小值为、或、
由题意得

，或，

∴, .

变式训练2【答案】C                                           

【解析】

其中，因为，所以的值域为.

故选C．

变式训练3                                     

【解析】．
，令，，
，对称轴，
当，即时，时，
当，即时，时，
当，即时，时，，
当时，，从而无解；
当时，由，得，
解之得或舍去；
当时，由得舍去，
综上所述，此时有，
当，即时，有最大值为．

变式训练4【答案】 B                                  

【解析】由得到，
又总有两个不同的实数根，即与有两个交点，
函数的图像如下：

结合图像可知，要使总有两个不同的实数根，
即，即，
故选B．

变式训练5【答案】 A                                  

【解析】解：， 

若函数在上单调增，

则在上恒成立，

令

,

当时，的最小值是，则,

故选A.