数列中的奇偶项问题-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

数列—数列中的奇偶项问题

专题综述

数列的奇偶项是指数列中的奇数项与偶数项, 按奇偶项分类求和是数列求和的一种重要的方法.数列中的奇偶项问题考查的方向大致有：①等差、等比数列中的奇偶项和的问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇、偶项有不同表达式问题；⑤已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题.上述问题中都有“暗示”，出现奇偶、、等，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项、偶数项之间的关系，求出通项公式或求和，再进行下一步的求解.本专题针对常见的题型进行探究，提供一般的解题思路.

专题探究

探究1：或型

递推公式为或的形式，这与使用累加法或累乘法求通项公式的形式类似，即与，通常考查求通项公式或数列求和.

答题思路：

1.求通项公式：

构造隔项等差数列：两式相减得；

构造隔项等比数列：两式相除得

2.求前项和：求出通项公式，再求和；或者为，可直接并项求和.

(2021山东省烟台市模拟)已知数列的前项和为
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足，且不等式对任意的都成立，求的取值范围.

【审题视点】

是的形式，两式相减，寻找间隔两项之间的关系.                              

【思维引导】

第（1）问由求；第（2）问，由，寻找间隔两项之间的关系，分奇偶项求的通项公式，转化为函数的恒成立问题，分离参数构造函数求最值.

【规范解析】

解：（1）由题意得

①当时，，

②当时，

当时，

（2）由（1）知，①，
所以：当时，；
当时，②，

①-②得 ，

数列是以为首项，公差为2的等差数列，
 

数列是以为首项，公差为2的等差数列．
 

当为偶数时，；
 

当为奇数时，，
 

又对任意的都有成立，
i）当为奇数时，恒成立，
即对为奇数时恒成立，
当时，

，即；

ii）当为偶数时，恒成立，

即对为偶数时恒成立，

当时，

综上所述，的取值范围是

【探究总结】

分奇偶求通项公式，将原有的数列分为2个数列，要分清原数列中的项在新数列中为第几项，或将转化为或表示，求出通项公式.数列是一种特殊的函数，数列问题中经常出现恒成立问题，解题思路与函数的恒成立问题一致，但要注意的取值.

(2021山东省泰安市一模)在数列中，已知，记为的前项和，．

（1）判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；

（2）求数列的通项公式；

（3）求．

探究2：型

形如的结构，可分为两种情况：一种是邻项等差、等比数列，如已知；另一种是数列与其他数列的关系，如.

答题思路：

1.邻项等差、邻项等比数列形

将用或替代：当时，；当时，构造出以为首项、2为公比的等比数列，求出的通项公式，在求出.

2.数列与其他数列的关系：求出其他数列的通项公式，再求出的通项公式.

(2021福建省福州市模拟)已知数列，

（1）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.　

【审题视点】

由递推公式得出与的关系，转化为研究偶数项组成的新数列；求和时要分奇偶.

【思维引导】

第（1）问，研究数列，要导出与的递推关系，求通项公式；第（2）问，利用的通项公式，求出的通项公式，讨论奇偶求和.

【规范解析】

解：（1）由题意得

故

又，

存在，即当时，

数列是以为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）知，

①当时，

②当时，

与在时均单调递减，

与在时均单调递减，

又

满足的所有正整数为1和2.

【探究总结】

对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用及，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把看做一项，求出，再求.

（2021天津市高三期中）已知数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2），求数列的前项和；

探究3：含有型

数列的递推公式和通项公式中会含有，都需要讨论的奇偶，使转化为1或-1.

答题思路：

1.递推公式中有：寻找间隔两项之间的关系

如为奇数时，；为偶数时，得到相邻两个奇数项或偶数项的关系；

若求数列前项的和，本质上是考查分组求和.

2.通项公式中含有：

①等差数列的通项公式乘以，用并项求和法求数列前项的和；

如，前20项的和

②等比数列的通项公式中含有，其前项和可写成分段的形式，可求最值

如等比数列的通项公式为，则其前项和，求的取值范围：分奇偶，讨论求的最值.

③裂项相消法求和

如，求和时通过实现正负交替.

(2021湖北省武汉市模拟) 已知数列的各项为正，且，是公比为的等比数列.再从：①数列的前项和满足；②数列是公差不为0的等差数列，且，，，成等比数列．

这两个条件中任选一个，解答下列问题.

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，设的前项和为若对恒成立，求实数的取值范围.

【审题视点】

数列的通项公式，中有，求前项和要讨论奇偶；且分别为等差、等比数列，求和时需利用分组求和.

【思维引导】

分别求出表示出，恒成立不等式中含有，分奇偶讨论求最值.

【规范解析】

解：（1）若选①，

当时，，，

当时，，，两式相减得：

，

舍或，

即数列是首项为2，公差为2的等差数列，

若选②，设等差数列的公差为

则，得或舍去，

，，

，，

又的公比为，

（2）由（1）得

①当为偶数时，

②当为奇数时，

，

对恒成立，

①当为偶数时， 恒成立，

当时，，；

②当为奇数时， 恒成立，

当时， ，

综上所述：实数的取值范围为

【探究总结】

含有的数列求和时，要综合利用好分组求和、并项求和、裂项相消法求和等方法，求出的前项和要分奇偶表示.求参数时，要分奇偶，构造关于的函数，注意取最值时，的值.

（2021江苏省南京市模拟）设为数列的前项和，，则数列的前7项和为________.

专题升华

有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等，涉及求通项公式，求和、求最值、求参数的取值范围等.常见的方法有：

1.对于通项公式分奇、偶不同的数列求时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以把看作一项,求出,再求；

2.此类问题多涉及到求和,为了避免讨论,可以用替换作为偶数的,用替换作为奇数的,可大大减轻思维及运算的难度；
3.此类问题本质上都是数列分组求和.

【答案详解】

变式训练1

【解答】解：（1），

，，即

数列是以为首项，为公比的等比数列，

（2）由（1）可知，且，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

数列是以1为首项，为公比的等比数列，

当为奇数时，；当为偶数时，

（3）①当时，

②当时，

变式训练2

【解答】解：由题意得 当时，，即

当时，由得

数列是以为首项，为公比的等比数列，即

（2）由（1）知

①当为偶数时，

②当为奇数时，

.

变式训练3

【解析】解：∵，

∴①当时，，即，，

②当时，，

i）当为偶数时，，，此时为奇数，

∴为奇数时，；

ii）当为奇数时，，，

即，此时为偶数，

∴为偶数，，

∴，

故当为奇数时，，

当为偶数时，，

∴数列的前7项和为

故答案为：．