北师版高中数学必修第一册章末综合测评2函数含答案

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章末综合测评(二)　函数
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于(　　)
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
A．1 B．2
C．3 D．4
A　[∵f(3)＝4，∴f(f(3))＝f(4)＝1.]
2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝x－1
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝x2－2，g(t)＝t2－2
D．f(x)＝·，g(x)＝
C　[对于A，f(x)＝，g(x)＝x－1的定义域不同，化简后对应关系相同，不是相同函数；
对于B，f(x)＝，g(x)＝()2的定义域不同，对应关系不同，不是相同函数；
对于C，f(x)＝x2－2，g(t)＝t2－2的定义域相同，对应关系相同，是相同函数；
对于D，f(x)＝·，g(x)＝的定义域不同，化简后对应关系相同，不是相同函数．故选C.]
3．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．R
C　[要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.故选C.]
4．已知函数f(x)＝则f(2)的值等于(　　)
A．4 B．3
C．2 D．无意义
C　[∵f(x)＝
∴f(2)＝f(5)＝＝2.故选C.]
5．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
B　[∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
又∵g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．
∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2. ①
∵f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4. ②
由①②，得g(1)＝3.]
6．已知f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1) B．(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1) D．[－1,0)∪(0,1]
B　[f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，
其单调减区间为[a，＋∞)，f(x)在区间[1,2]上是减函数，则a≤1.
又g(x)＝在区间[1,2]上是减函数，则a>0.
综上可得，0 7．已知定义域为R的函数f(x)在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(　　)
A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5)
C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6)
D　[∵y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)．令x＝2，得f(2)＝f(－2＋4)＝f(2＋4)＝f(6)，
同理，f(3)＝f(5)．又知f(x)在(4，＋∞)上为减函数，
∵5<6，∴f(5)>f(6)，∴f(2)f(6)．故选D.]
8．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则(　　)
A．F(x)的最大值为3，最小值为1
B．F(x)的最大值为2－，无最小值
C．F(x)的最大值为7－2，无最小值
D．F(x)的最大值为3，最小值为－1
C　[由F(x)＝知当3－2|x|≥x2－2x，即2－≤x≤时，F(x)＝x2－2x；当x2－2x>3－2|x|，即x<2－或x>时，F(x)＝3－2|x|，因此F(x)＝
＝
作出其图象如图所示，观察图象可以发现，F(x)max＝F(2－)＝7－2，无最小值，故选C.]
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．若f(x)为R上的奇函数，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＋f(－x)＝0
B．f(x)－f(－x)＝2f(x)
C．f(x)·f(－x)<0
D．＝－1
AB　[∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故A正确．
f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故B正确．
当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故C不正确．
当x＝0时，分母为0，无意义，故D不正确．]
10．下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的值域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3,1]
B．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个
C．若A∪B＝B，则A∩B＝A
D．函数f(x)的定义域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的定义域为[－3,1]
BCD　[由f(x)与f(x＋1)的值域相同知，A错误；设f(x)＝0，且x∈D，D是关于原点对称的区间，则f(x)既是奇函数又是偶函数，由于D有无数个，故f(x)有无数个，B正确；由A∪B＝B得，A⊆B，从而A∩B＝A，C正确；由－2≤x＋1≤2得－3≤x≤1，D正确．故选B、C、D.]
11．有下列几个命题，其中正确的是(　　)
A．函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数
B．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数
C．函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)
D．已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3
AD　[由y＝2x2＋x＋1＝22＋在上递增知，函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A正确；y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数，如－2<0，但<，故B错误；y＝在[－2，－1)上无意义，从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C错误；设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3，因为g(x)为奇函数，所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正确．故选AD.]
12．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式正确的是(　　)
A．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
B．f(b)－f(－a) C．f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)
D．f(a)－f(－b) AC　[∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴－f(－a)＝f(a)，g(－b)＝g(b)．∵a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，g(a)>g(b)>g(0)＝0，且f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)>g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，∴A正确，B不正确．又g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)<0，而f(a)－f(－b)＝f(a)＋f(b)>0，∴C正确，D不正确．故选AC.]
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13．函数f(x)＝在[－5，－4]上的值域是________．
　[∵f(x)在[－5，－4]上为减函数，
f(－5)＝＝－1，f(－4)＝＝－.
∴f(x)∈.]
14．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为________．
－3或　[f(x)的对称轴为直线x＝－1.
当a>0时，f(x)max＝f(2)＝4，解得a＝；
当a<0时，f(x)max＝f(－1)＝4，解得a＝－3.
综上，得a＝或a＝－3.]
15．已知函数f(x)＝，则该函数的单调增区间为________．
[3，＋∞)　[设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上为减函数，在[3，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)的单调增区间为[3，＋∞)．]
16．已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.
(1)若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为________；
(2)若函数f(x)在[－1,1]上与x轴有交点，则实数a的取值范围为________．
(1)(1，＋∞)　(2)[－8,0]　[(1)∵f(x)的图象与x轴无交点，
∴Δ＝16－4(a＋3)<0，∴a>1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)．
(2)∵函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝2，且开口向上，
∴f(x)在[－1,1]上为减函数，
∴要使f(x)在[－1,1]上与x轴有交点，
需满足即
∴－8≤a≤0，即实数a的取值范围为[－8,0]．]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
[解]　(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，又
∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，∴此函数是奇函数．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
[解]　(1)由已知g(x)＝f(x)－a，得g(x)＝1－a－，
因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
即1－a－＝－，
解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
证明如下：
任取0 ＝1－－＝.
因为00，
从而<0，即f(x1) 所以函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
19．(本小题满分12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式；
(2)若f(x)＝，求实数x的值．
[解]　(1)根据图象可知f(4)＝0，则f(f(4))＝f(0)＝1.
设直线段对应的方程为y＝kx＋b.
将点(0,1)和点(－1,0)代入可得b＝1，k＝1，
即y＝x＋1.
当x>0时，设y＝ax2＋bx＋c.
因为图象过点(0,0)，(4,0)，(2，－1)，
代入可得y＝x2－x.
所以f(x)＝
(2)当x＋1＝时，x＝－，符合题意；
当x2－x＝时，解得x＝2＋或x＝2－(舍去)．
故x的值为－或2＋.
20．(本小题满分12分)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的单调增区间．
[解]　(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.
又因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1.
当x＝0时，由f(0)＝－f(0)，得f(0)＝0，
所以f(x)＝
(2)作出函数图象，如图所示．

由函数图象易得函数f(x)的单调增区间为，.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a≠1)．
(1)若a>0，求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即函数f(x)的定义域是.
(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1 当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，且3－a×1≥0，此时a<0.
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．
22．(本小题满分12分)已知函数y＝x＋有如下性质：若常数t>0，则该函数在(0，]上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
[解]　(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8.设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则1≤u≤3，故y＝u＋－8，u∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)为减函数，所以f(x)的递减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)为增函数，所以f(x)的递增区间为.
由f(0)＝－3，f ＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)因为g(x)＝－x－2a，在[0,1]上为减函数，
所以g(x)∈[－1－2a，－2a]．
由题意，得f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以解得a＝.