北师版高中数学必修第一册第1章§1 1-3第1课时交集与并集学案

1.3　集合的基本运算

第1课时　交集与并集

1．两个集合的并集与交集的含义是什么？

2．如何用Venn图表示集合的并集与交集？

3．并集与交集有哪些性质？

知识点1　交集

(1)当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？

(2)若A∩B＝A，则A与B有什么关系？

[提示]　(1)有，交集为空集．

(2)若A∩B＝A，则A⊆B.

1.已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，则A∩B＝________.

[答案]　{－1,0}

2.若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}；C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________.

[答案]　{x|2<x<4}　∅

知识点2　并集

(1)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？

(2)在什么条件下，集合A∪B的元素个数等于集合A与B的元素个数之和？

[提示]　(1)不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．

(2)A∩B＝∅.

3.设集合M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，则M∪N＝________.

[答案]　{3,4,5,6,7,8}

4.已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________.

[答案]　{x|x>0}

类型1　交集运算

【例1】　(1)∩{x|x是等边三角形}＝________.

(2)∩＝(　　)

A. B．

C. D．

(3)已知集合A＝，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B元素的个数为(　　)

A．5 B．4

C．3 D．2

(1){x|x是等边三角形}　(2)A　(3)D　[(1)因为⊆{x|x是等腰三角形}，

所以∩＝{x|x是等边三角形}．

(2)如图，

所以{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝.

(3)因为8＝3×2＋2；14＝3×4＋2，

所以A∩B＝.]

1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍．

2．恰当地运用交集的交换律与结合律，可简化运算过程．

1．(1)已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　)

A. B．

C. D．

(2)设集合A＝，B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　)

A．－1<a≤2 B．a>2

C．a≥－1 D．a>－1

(1)A　(2)D　[(1)由交集的定义可知，A∩B＝.

(2)在数轴上表示两集合，

由上图可知，当a>－1时，A∩B≠∅.]

类型2　并集运算

【例2】　(1)设集合A＝，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∪B＝

(　　)

A. B．

C. D．

(2)已知集合M＝，N＝，则M∪N＝(　　)

A. B．

C. D．

(3)已知集合A＝，B＝，且A∪B＝{1,4，x2}，则满足条件的实数x的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3  D．4

(1)D　(2)A　(3)A　[(1)因为A＝，B＝{0,2}，所以A∪B＝{－2,0,2}．

(2)如图，在数轴上表示两集合，

所以M∪N＝.

(3)由A∪B＝，得x＝x2，又x≠1，所以x＝0.]

在进行集合的并集运算时

(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．

(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．

2．(1)已知集合A＝，B＝，则A∪B＝(　　)

A. B．

C. D．

(2)设集合A＝，B＝，则A∪B＝________.

[答案]　(1)A　(2)

类型3　由集合的并集、交集求参数

【例3】　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．

[解]　①当B＝∅时，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.

②当B≠∅时，要使A∪B＝A，

只需解得2≤k≤.

综合①②可知k≤.

1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．

[解]　由A∩B＝A可知A⊆B.

所以

即

所以k∈∅.

所以k的取值范围为∅.

2．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．

[解]　由题意可知解得k＝3.

所以k的值为3.

利用集合交集、并集的性质解题的方法

(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．

(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．

3．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，则实数a的值为________．

4　[因为M∩N＝{3}，所以a2－3a－1＝3，

解得a＝－1或a＝4.

又N＝{－1，a,3}，所以a≠－1，所以a＝4.]

1.∩＝(　　)

A. B．

C. D．

[答案]　D

2．已知集合A＝{x|－3≤x<4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∪B＝(　　)

A．{x|－3≤x≤5} B．{x|－2≤x<4}

C．{x|－2≤x≤5} D．{x|－3≤x<4}

A　[因为集合A＝{x|－3≤x<4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－3≤x≤5}．]

3．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于(　　)

A．{1,2,3} B．{1,2,4}

C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}

D　[因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，

所以A∩B＝{1,2}．又C＝{2,3,4}，

所以(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．]

4．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝(　　)

A．{x|－1<x<1} B．{x|1<x<2}

C．{x|x>－1} D．{x|x>1}

C　[由题可知A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝{x|x>－1}．]

5．设集合A＝，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则集合A∩B＝________.

　[A∩B＝＝{(1，－1)}．]