北师版高中数学必修第一册第1章§1 1-3第2课时全集与补集学案

第2课时　全集与补集

1．全集的含义是什么？

2．补集的含义是什么？

3．如何理解“∁UA”的含义？

4．如何用Venn图表示∁UA?

1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合．

在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？

[提示]　全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．

2．补集：(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA.

(2)符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

(3)Venn图

(4)补集的性质

①A∪(∁UA)＝U.

②A∩(∁UA)＝∅.

③∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A.

④(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)．

⑤(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．

∁UA，A，U三者之间有什么关系？

[提示]　A⊆U，∁UA⊆U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅.

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)数集问题的全集一定是R.(　　)

(2)集合∁BC与∁AC相等．(　　)

(3)A∩∁UA＝∅.(　　)

(4)一个集合的补集中一定含有元素．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2.设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁UM＝________.

{2,4,6}　[因为全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以∁UM＝{2,4,6}．]

类型1　补集运算

【例1】　已知全集U，A＝{x|2<x≤3}，∁UA＝{x|x>3}，B＝{x|4≤x＜6}，求∁UB.

[解]　因为A＝{x|2<x≤3}，∁UA＝{x|x>3}，如数轴：

所以U＝A∪(∁UA)＝{x|x>2}，

所以∁UB＝{x|2<x<4或x≥6}．

求集合补集的2种方法

(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；

(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．

1．(1)已知集合A＝{x|x＜1}，则∁RA＝(　　)

A．{x|x＞1} B．x≥1

C．{x|x≥1} D．∅

(2)设集合A＝，B＝，则∁AB＝(　　)

A. B．

C. D．

(1)C　(2)C　[(1)结合补集的定义，借助数轴知∁RA＝{x|x≥1}．

(2)因为A＝，所以∁AB＝.]

类型2　交、并、补的综合运算

【例2】　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.

[解]　把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：

由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，

∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，

∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}，

∴(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．

解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．

2．(1)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则∁U(A∪B)＝

(　　)

A．{6,8} B．{5,7}

C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}

(2)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝，则A∩(∁RB)＝(　　)

A．(1,4) B．(3,4)

C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)

(1)A　(2)B　[(1)∵A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，∴∁U(A∪B)＝{6,8}．

(2)∵∁RB＝∪，∴A∩(∁RB)＝(3,4)．]

类型3　补集及补集思想的应用

【例3】　设全集U＝R，A＝，B＝{x|－2<x<4}，若∩B＝∅，求实数m的取值范围．

[解]　法一：∁UA＝＝，

∵∩B＝∅，

∴－m≤－2，∴m≥2.

法二：A＝，由∩B＝∅，得A⊇B，

∴－m≤－2，∴m≥2.

1．若将本例中的“∩B＝∅”改为“∩B＝B”，求实数m的值．

[解]　 由已知得∁UA＝，∁UA⊇B，所以－m≥4，解得m≤－4.

2．若将本例中的“∩B＝∅”改为“∪A＝R”，求实数m的值．

[解]　 由已知得，A＝，A⊇B，所以－m≤－2，解得m≥2.

3．若将本例中的“∩B＝∅”改为“∩B≠∅”，求实数m的值．

[解]　 由例3知，当∩B＝∅时，m≥2，所以当∩B≠∅时，m<2.

1．要注意下面五个关系式A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩＝∅、∪B＝U都与A⊆B等价．

2．对于一些难于从正面入手的问题，在解题时，可以从问题的反面入手，往往能化难为易，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略．该策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，则可先求∁UA，再由∁U＝A求A.

1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM＝(　　)

A．U B．{1,3,5}

C．{3,5,6} D．{2,4,6}

C　[∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴∁UM＝{3,5,6}．]

2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是(　　)

A．{3,4,5} B．{1,3,4}

C．{1,2,5} D．{3,4}

D　[由图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)．

∵M∪N＝{1,2,5}，

又U＝{1,2,3,4,5}，

∴∁U(M∪N)＝{3,4}．]

3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)等于(　　)

A．{2,3} B．{1,4,5}

C．{4,5} D．{1,5}

B　[∵A∩B＝{2,3}，∴∁U(A∩B)＝{1,4,5}．]

4．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.

{x|x<1，或x≥2}　[∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，

∴N＝{x|x≤0，或x≥2}，

∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0，或x≥2}＝{x|x<1，或x≥2}．]

5．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若∁UA＝{x|x<3，或x>4}，则a＋b________.

7　[由题意知a＝3，b＝4，则a＋b＝7.]