高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式导学案及答案

3.2　基本不等式

1．基本不等式的内容是什么？

2．算术平均值和几何平均值的概念是什么？

3．基本不等式成立的条件是什么？

4．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？

知识点1　重要不等式与基本不等式

1．重要不等式

对任意实数x和y有≥xy，当且仅当x＝y时，等号成立．

2．基本不等式

设a≥0，b≥0，有≥，当且仅当a＝b时，等号成立．

其中，称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值．

基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．

(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？

(2)基本不等式成立的条件“a≥0，b≥0”能省略吗？请举例说明．

[提示]　(1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．

(2)不能，如≥是不成立的．

1.(多选)下列结论正确的是(　　)

A．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立

B．若a，b同号，则＋≥2

C．若a>0，b<0，则ab≤恒成立

D．若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2

[答案]　BD

2.不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________．

x>2y　[因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y.]

知识点2　基本不等式与最值

当x，y均为正数时，下面的命题均成立：

(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值；

(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2.

x＋的最小值是2吗？

[提示]　当x>0时，x＋的最小值是2.

当x<0时，x＋没有最小值．

3.如果a>0，那么a＋＋2的最小值是________．

4　[因为a>0，所以a＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时，等号成立．]

4.已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________.

　　[因为0<x<1，

所以1－x>0，

所以x(1－x)≤2＝2＝，

当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.]

类型1　利用基本不等式证明不等式

【例1】　已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.

[证明]　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，

所以－1＝＝≥，

同理－1≥，－1≥.

上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘，

得≥··＝8.

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

(变设问)在本例条件下，求证：＋＋≥9.

[证明]　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，

所以＋＋

＝＋＋

＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

(2)注意事项：

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；

②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；

③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用．

1．已知a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥3.

[证明]　∵a，b，c均为正实数，

∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，

＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，

＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)，

将上述三式相加得＋＋≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，

∴＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，

即＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．

类型2　利用基本不等式求最值

【例2】　(1)已知x>2，则x＋的最小值为________．

(2)若0<x<，则x(1－2x)的最大值是________．

(3)若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________．

(1)6　(2)　(3)9　[(1)因为x>2，

所以x－2>0，

所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，

当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6.

(2)因为0<x<，

所以1－2x>0，

所以x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤2＝×＝，

当且仅当2x＝1－2x，

即当x＝时，等号成立，所以x(1－2x)的最大值为.

(3)因为x>0，y>0，x＋4y＝1，

所以＋＝＋＝5＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，

所以＋的最小值为9.]

利用基本不等式求最值的方法

利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．

(1)拆——裂项拆项

对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．

(2)并——分组并项

目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值．

(3)配——配式配系数

有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．

2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A．16 B．25

C．9 D．36

B　[因为x>0，y>0，且x＋y＝8，所以(1＋x)·(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，当且仅当x＝y＝4时等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25.]

类型3　利用基本不等式解应用题

【例3】　某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．

(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；

(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？

[解]　(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，

则y＝0.5x2·＋800·

＝150(0<x≤50)．

(2)由(1)得y＝150≥300＝12 000，

当且仅当x＝，即x＝40时取等号．

故当货轮的航行速度为40海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少．

利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：

(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；

(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；

(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．

3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

5　8　[每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．]

基本不等式的拓广应用

阅读下列材料．

二元基本不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立．

证明：因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以(a＋b)2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立．

三元基本不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．

证明：设d为正数，由二元基本不等式，

得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立．

令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，

由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立．

[问题探究]

当满足什么条件时，可以利用三元基本不等式求的最小值？

[提示]　当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元基本不等式求的最小值.

1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)

A．a＝±1 B．a＝1

C．a＝－1 D．a＝0

B　[由a2＋1＝2a，得a＝1，即a＝1时，等号成立．]

2．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　)

A．ab≤2 B．ab≤

C．≥ D．≤2

D　[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由 ≥得，ab≤2∴≥2，故选D.]

3．下列各不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1，其中正确的个数是(　　)

A．3 B．2

C．1 D．0

B　[仅②④正确．]

4．已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是________．

　[因为a＋2b≥2.所以2≤2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝1时取等号．]

5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．

x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为

A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．

∴1＋x＝≤＝1＋，

∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]