北师版高中数学必修第一册第1章章末综合提升学案

类型1　集合及其数学思想

【例1】　(1)已知全集U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝

(　　)

A．{1,3,4} B．{3,4}

C．{3} D．{4}

(2)已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|2k－1＜x＜2k＋1}，且A∪B＝A，则实数k的取值范围是_______．

(3)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是_______．

(1)D　(2)－1≤k≤1　(3){m|m≤－1}　[(1)∵A∪B＝{1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．

(2)由A∪B＝A，得A⊇B，又B≠∅，则，解得－1≤k≤1.

(3)设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝.

若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，

则解得m≥，

∵在U中的补集为{m|m≤－1}．

∴实数m的取值范围是{m|m≤－1}．]

1．交集思想

许多数学问题是求同时满足若干个条件p1，p2，…，pn的解，如果把满足各条件的对象表示成集合A1，A2，…，An，则Q＝A1∩A2∩…∩An就是问题的解集．如列方程组或不等式组解应用题等，都是运用交集思想方法解题的具体体现．

2．并集思想

有些数学问题需要分若干种情况讨论，若将问题分为n类，每类问题的解集为A1，A2，…，An，则Q＝A1∪A2∪…∪An就是问题的解集．

3．补集思想

“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决困难时，我们可以从其反面入手解决．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.

1．(1)若全集U＝{1,2,3,4,5,6)，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于

(　　)

A．M∪N B．M∩N

C．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)

(2)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(　　)

A．{1,3} B．{3,7,9}

C．{3,5,9} D．{3,9}

(3)已知关于x的不等式>2的解集为A，且3∉A，则实数a的取值范围为________．

(1)D　(2)D　(3){a|a≤1}　[(1)因为M∪N＝{1,2,3,4}，所以(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5,6}，故选D.

(2)由Venn图可知A＝{3,9}．

(3)因为3∉A，所以3∈∁UA＝，

即当x＝3时，有≤2，故a≤1.]

类型2　充分条件与必要条件

【例2】　(1) 若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为_______．

(1)A　(2)－1　[(1)若a＞0且b2－4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0，反之，则不一定成立．如a＝0，b＝0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0.故选A.

(2)由题意知：{x|x＜a}⊆{x|x＜－1或x＞1}，所以a≤－1.]

1．充分条件、必要条件的判断方法

定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．

集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

2．判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．

3．利用充要条件可进行命题之间的等价转化．

2．(1)设集合A＝，B＝{x|2－a＜x＜2＋a}，则“a＝2”是“A∩B≠∅”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)若“x∈{3，a}”是不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

(1)A　(2)a≤－或a＞3　[(1)A＝＝{x|－1＜x＜1}，

当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，A∩B＝{x|0＜x＜1}≠∅；

由A∩B≠∅推不出a＝2，比如a＝3时，A∩B＝{x|－1＜x＜1}≠∅，故选A.

(2)由2x2－5x－3≥0，得x≤－或x≥3，

所以a≤－或a＞3.]

类型3　利用基本不等式求最值

【例3】　(1)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是__________．

(2)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

(1)　(2)D　[(1)∵4x2＋y2＋4xy－3xy＝1，

∴1＝(2x＋y)2－·2xy≥(2x＋y)2－·2＝(2x＋y)2，

∴2x＋y≤，

故2x＋y的最大值为.

(2)a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝ab＋＋a(a－b)＋≥2＋2＝4.

当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立．

如取a＝，b＝满足条件．]

利用基本不等式求最值，要注意以下两点：

(1)使用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等构造定值的方法，和对等号能否成立的验证；

(2)若等号取不到，则应利用函数单调性求最值．

3．(1)设x＞－1，则函数y＝的最小值为________．

(2)若x，y为实数，且x＋2y＝4，则xy的最大值为________．

(1)9　(2)2　[(1)y＝＝x＋1＋＋5，

由均值不等式可得：y≥2＋5＝9，等号成立条件为x＋1＝⇒x＝1，

所以最小值为9.

(2)xy＝·x·(2y)≤·2＝2(当且仅当x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1时取“＝”)．]

类型4　全称量词命题与存在量词命题

【例4】　(1)命题“至少有一个实数x，使x3＋1＝0”的否定是________；

(2)若对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，则实数a的取值范围是________．

(1)任意x∈R，x3＋1≠0　(2)a≤1　[(1)任意x∈R，x3＋1≠0

(2)对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，则a≤(x2)min＝1.]

1．不等式恒成立问题的求解方法：

若y≥a恒成立，则a≤ymin；若y≤a恒成立，则a≥ymax.

2．不等式有解问题的求解方法：

若y≥a有解，则a≤ymax；若y≤a有解，则a≥ymin.

4．(1)命题“存在x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是________；

(2)若存在x∈[1,2]，x2－a≥0，则实数a的取值范围是________．

(1)任意x∈R，x2＋2x＋2＞0　(2)a≤4　[(1)任意x∈R，x2＋2x＋2＞0；

(2)存在x∈[1,2]，x2－a≥0，则a≤(x2)max＝4.]

1．(2019·全国卷Ⅰ理)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝(　　)

A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}

C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}

C　[由题知N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，选C.]

2．(2018·全国卷Ⅱ理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)

A．9 B．8

C．5 D．4

A　[A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}共9个元素，选A.]

3．(2019·全国卷Ⅰ文)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝(　　)

A．{1,6} B．{1,7}

C．{6,7} D．{1,6,7}

C　[由题知∁UA＝{1,6,7}，则知B∩∁UA＝{6,7}，选C.]

4．(2019·天津高考文)设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

B　[由|x－1|<1得0<x<2，故0<x<5推不出0<x<2，而0<x<2能推出0<x<5，故为必要而不充分条件，选B.]

5．(2014·四川高考)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)

A．> B．<

C．> D．<

B　[由c<d<0，得－>－>0，又a>b>0，

由不等式的性质知，－>－>0，∴<，选B.]