高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数2 函数2.2 函数的表示法导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数2 函数2.2 函数的表示法导学案，共13页。

2.2　函数的表示法
学 习 目 标
核 心 素 养
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(重点、难点)
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(重点、易错点)
1．通过学习图象法表示函数，培养直观想象素养．
2．通过求函数解析式，培养数学运算素养.


1．函数的表示方法有哪几种？
2．函数的表示方法各有什么优缺点？如何选择函数的表示方法表示具体问题？
3．什么是分段函数？
4．分段函数是多个函数吗？
5．如何画分段函数的图象？
知识点1　函数的表示法

　函数的三种表示法各有什么优缺点？
[提示]　

1.函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________，值域是________．

[答案]　[－1,0)∪(0,2]　[－1,1)
2.若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________．
[答案]　f(x)＝－
知识点2　分段函数
(1)分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
(2)分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
函数y＝是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？
[提示]　函数y＝是分段函数，它是一个函数．
3.已知f(x)＝则f(－2)＝________.
[答案]　2
4.函数y＝的定义域为________，值域为________．
[答案]　(－∞，0)∪(0，＋∞)　{－2}∪(0，＋∞)
5.下列图形是函数y＝x|x|的图象的是______(填序号)．

　 ①　　　　②　　　　③　　　　④
[答案]　④

类型1　函数的表示法
【例1】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解]　(1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000






x/台
6
7
8
9
10
y/元
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图象法：

(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．

1．解析法、列表法、图象法是从三个不同角度表示函数的对应关系，同一个函数可用不同的方法表示．
2．在用三种方法表示函数时，要注意：
(1)解析法要注明函数的定义域；
(2)列表法选取的自变量的取值要具有代表性，应能反映定义域的特征；
(3)图象法要注意是否连线．


1．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1

x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f ( g(1))的值为________；当g ( f (x))＝2时，x＝________.
1　1　[由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，
∴f ( g(1))＝f (3)＝1.
由于g (2)＝2，∴f (x)＝2，
∴x＝1.]
类型2　函数图象的作法及应用
【例2】　作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
(4)y＝
[解]　(1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．

(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．

(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．

由图可得函数的值域是[－1,8]．
(4)函数对应图象如图所示：

由图可得其值域为(－6,6]．

画函数图象的两种常见方法
(1)描点法
一般步骤：
①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．


2．作出下列函数的图象：
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
(3)y＝
[解]　(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
当x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．

　　　　 　①　　　　　　　②
(3)

类型3　函数解析式的求法
　用待定系数法求函数解析式
【例3】　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．
[解]　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴∴
∴f(x)＝x2－2x－1.

待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．

　利用换元法(配凑法)求函数解析式
【例4】　求下列函数的解析式：
(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．
[解]　(1)法一：(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴f(x)＝2x－1.

已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的两种方法
(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围．
(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．

　用方程组法求函数解析式
【例5】　已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
[解]　因为f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，联立，得
将①②两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，所以f(x)＝x2－2x.

已知关于f(x)与f 或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．


3．(1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)；
(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)．
[解]　(1)法一：(换元法)　令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，
∴f(x)＝3x－1.
法二：(配凑法)　f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f(x)＝3x－1.
(2)∵f ＝x2＋＝2＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≠0)．
(3)∵f(x)＋2f ＝x，
用代替x得f ＋2f(x)＝，
消去f 得f(x)＝－(x≠0)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝－(x≠0)．
类型4　分段函数求值问题
【例6】　已知函数f(x)＝
(1)求f 的值；
(2)若f(a)＝，求a的值．
[解]　(1)因为f ＝－2＝－，
所以f ＝f ＝＝.
(2)f(a)＝，若|a|≤1，则|a－1|－2＝，
得a＝或a＝－.
因为|a|≤1，所以a的值不存在；
若|a|>1，则＝，得a＝±，符合|a|>1.
所以若f(a)＝，a的值为±.

分段函数求值问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验．
(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．


4．f(x)＝则f(5)的值是(　　)
A．24 B．21
C．18 D．16
A　[f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.]
5．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
－　[当1－a<1，即a>0时，a＋1>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；当1－a>1，即a<0时，a＋1<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，解得a＝－，符合题意．综上所述，a＝－.]
6．已知函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是_____．
(－3,1)∪(3，＋∞)　[画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3，所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．
]

函数图象的变换(探究型)
1．函数图象的平移变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(x＋a)及y＝f(x)＋a(a≠0)的图象有怎样的关系呢？我们先来看一个例子：
作出函数y＝x2，y＝(x＋1)2，y＝x2－1的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中，它们的图象如图所示．
观察图象可知，y＝(x＋1)2的图象可由y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到；y＝x2－1的图象可由y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到．
由此得到如下规律：
(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“左加右减”；
(2)函数y＝f(x)＋a的图象是由函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“上加下减”．
2．函数图象的对称变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)，y＝－f(x)及y＝－f(－x)的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子：
作出函数y＝，y＝，y＝，y＝－的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中作出①y＝，②y＝，③y＝与④y＝的图象的一部分，如图所示．
观察图象可知，y＝的图象可由y＝的图象作关于y轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于x轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于原点的对称变换得到．
由此可得如下规律：
函数图象的对称变换包括以下内容：
(1)y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于y轴的对称变换得到；
(2)y＝－f(x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于x轴的对称变换得到；
(3)y＝－f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于原点的对称变换得到．
3．函数图象的翻折变换
函数图象的翻折变换是指函数y＝f(x)与y＝|f(x)|，y＝f(|x|)的图象间的关系．
函数y＝f(x)的图象与y＝|f(x)|及y＝f(|x|)的图象又有怎样的关系呢？我们再来看一个例子：
作出函数y＝|x2－2x－3|及y＝x2－2|x|－3的图象，观察它们与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系．
事实上，y＝|x2－2x－3|＝
y＝x2－2|x|－3＝
在不同的平面直角坐标系中，分别作出y＝|x2－2x－3|与y＝x2－2|x|－3的图象，如图(1)(2)所示．

(1)　　　　　　　　　(2)
通过观察两个图象可知，y＝|x2－2x－3|的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y＝|x2－2x－3|的图象．y＝x2－2|x|－3的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在y轴上及其右侧的部分不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象，则这两部分就构成了y＝x2－2|x|－3的图象．
由此可得如下规律：
(1)要作y＝|f(x)|的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将x轴上及其上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可．
(2)要作y＝f(|x|)的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将y轴上及其右侧的图象不动，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可.

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何一个函数都可以用函数的三种表示方法表示．(　　)
(2)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(　　)
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　　)
x
1≤x<2
2
2 f(x)
1
2
3
A．1 B．2
C．3 D．不存在
[答案]　C
3．函数y＝|x＋1|的图象是(　　)

　　　 　A　　　　B　　　 C　　　　D
A　[y＝|x＋1|＝
由解析式可知，A项符合题意．]
4．如果一次函数f(x)的图象过点(1,0)及点(0,1)，则f(3)＝________.
－2　[设一次函数的解析式为f(x)＝kx＋b，因为其图象过点(1,0)，(0,1)，所以
解得k＝－1，b＝1，所以f(x)＝－x＋1，
所以f(3)＝－3＋1＝－2.]
5．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．
f(x)＝　[由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1.∴f(x)＝]