北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性导学案

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数

4.1　函数的奇偶性

1．奇函数与偶函数的定义是什么？

2．奇、偶函数的定义域有什么特点？

3．奇、偶函数的图象有什么特征？

4．函数的奇偶性与单调性有什么关系？

1．奇函数

(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数．

(2)图象特征：图象关于原点对称，反之亦然．

2．偶函数

(1)定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数．

(2)图象特征：图象关于y轴对称，所之亦然．

3．奇偶性

当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．

(1)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？

(2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？

[提示]　(1)不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立．

(2)奇、偶函数的定义域关于原点对称．

1.下列函数是偶函数的是________(填序号)．

①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0,1]．

[答案]　②

2.(一题两空)下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________(填序号)．

　①　　　　②　　 　③　　　　④

②④　①③　[①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．]

3.下列说法正确的是________(填序号)．

①偶函数的图象一定与y轴相交；

②奇函数的图象一定通过原点；

③函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数；

④若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.

[答案]　④

类型1　判断函数的奇偶性

【例1】　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝2－|x|；

(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝；

(4)f(x)＝

[解]　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，

∴f(x)是非奇非偶函数．

(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，

f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；

当x<0时，－x>0，

f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．

综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：

根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：

①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．

②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．

③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；

若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；

若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．

(2)图象法：

①若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数．

②若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数．

③若f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．

④若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(3)性质法：

①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；

②奇函数的和、差仍为奇函数；

③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；

④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．

1．已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且它们都恒不为0，则f(x)·g(x)(　　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数

D．奇偶性不能确定

A　[令F(x)＝f(x)·g(x)，则F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数，即f(x)·g(x)是奇函数．故选A.]

2．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x2(x2＋2)；

(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；

(3)f(x)＝.

[解]　(1)∵x∈R，关于原点对称，

又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(2)∵x∈R，关于原点对称，

又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|

＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，

又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数．

类型2　利用函数的奇偶性求参数

【例2】　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；

(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝__________.

(1)　0　(2)0　[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.

又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.

(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.]

利用奇偶性求参数的常见类型

(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．

(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．

3．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.

－1　[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即＝－.

显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.]

4．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.

1　[因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.]

类型3　利用函数的奇偶性求解析式

【例3】　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．

[解]　当x＝0时，f(0)＝0.当x<0时，－x>0，

f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，

由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，

所以f(x)＝－x2－2x－3.

即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.

故f(x)＝

1．(变设问)本例条件不变，求f(－2)的值．

[解]　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2＋3)＝－3.

2．(变条件)若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，f(x)的解析式．

[解]　当x<0时，－x>0，

f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，

由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，

即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.

利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；

(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

5．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式．

[解]　因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①

用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，

所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②

(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.

(①－②)÷2，得g(x)＝2x.

类型4　函数单调性与奇偶性的综合

【例4】　(1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围；

(2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．

[解]　(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，

得f(1－a2)<－f(1－a)．

∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，

∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)<f(a－1)．

又∵f(x)在[－1,1]上单调递减，

∴解得

∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0,1)．

(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．

∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．

∴原不等式等价于

解得－1≤m<.

∴实数m的取值范围是.

函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路

(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．

(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．

6．已知偶函数f在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．

(－1,3)　[∵f为偶函数，∴f(x－1)＝f(|x－1|)，

又f(2)＝0，∴f(x－1)>0，即f(|x－1|)>f(2)，

∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，且f在[0，＋∞)上单调递减．

∴|x－1|<2，即－2<x－1<2，

∴x的取值范围为(－1,3)．]

1．设f是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f＝2x2－x，则f等于

(　　)

A．－3 B．－1

C．1 D．3

A　[∵f是奇函数，当x≤0时，f＝2x2－x，

∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.]

2．下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是(　　)

　　　           　A　　　　B　　　　C　　　 D

B　[作平行于y轴的直线，图象中y的取值是唯一的，故排除A、D；由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的对象关于y轴对称，故排除C.]

3．定义在R上的偶函数f在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得(　　)

A．a<b B．a>b

C．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0

[答案]　C

4．已知一个奇函数的定义域为，则a＋b等于________．

－1　[根据奇函数的定义域关于原点对称，知a与b有一个等于1，一个等于－2，

所以a＋b＝1＋(－2)＝－1.]

5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上是减函数，则f(－5)________f(3)．(填“＞”或“＜”)

＜　[∵f(x)为偶函数，

∴f(－5)＝f(5)，而函数f(x)在[2,6]为减函数，

∴f(5)＜f(3)．

∴f(－5)＜f(3)．]