北师版高中数学必修第一册第3章章末综合提升学案

类型1　指数的运算

【例1】　化简：(1)；

[解]　(1)原式＝

＝2－1×103×10＝2－1×10＝.

 (2)原式＝＝a2·a2＝a4.

指数运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的．

1．0.25－2×[(－2)3]＋(－1)－1－2＝________.

－　[原式＝－(－2)2×(－2)4＋－

＝－4×16＋(＋1)－

＝－.]

类型2　函数图象及其应用

　由解析式判断函数图象

【例2】　定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　)

　　           　A　　　　B　　　　 C　　　　D

A　[∵当x≥0时，2x≥1，当x<0时，2x<1，

∴f(x)＝1⊕2x＝故选A.]

2．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D

A　[对于函数y＝2x－x2，当x＝2或4时，2x－x2＝0，所以排除B，C；

当x＝－2时，2x－x2＝－4＜0，排除D.

故选A.]

　应用函数图象研究函数性质

【例3】　设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点坐标为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

B　[在同一坐标系中画出y＝x3与y＝x－2的图象，如图，由图知当x<x0时，x－2>x3，当x>x0时，x－2<x3.

代入x＝2，x－2＝1<23，

∴2>x0.再代入1，得x－2＝2>13，

∴x0>1.]

3．已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)

A．2a＋2c＜2

B．2－a＜2c

C．a＜0，b≥0，c＞0

D．a＜0，b＜0，c＜0

A　[作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．

对于A，∵a＜c，且f(a)＞f(c)，结合函数图象，如果a，c位于函数的减区间(－∞，0)，此时a＜b＜c<0，可得f(a)＞f(b)＞f(c)，与题设矛盾；如果a，c不位于函数的减区间(－∞，0)，那么必有a＜0＜c，则f(a)＝|2a－1|＝1－2a ，f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，即2a＋2c＜2.故A正确．对于B，C，D选项，取a＝－2，b＝－，c＝， 满足a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，但是B，C，D选项均不成立．]

指数函数图象是研究指数函数性质的工具，所以要能熟练画出指数函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．

类型3　指数函数的性质及应用

　比较大小

【例4】　(1)比较数的大小：(1)27,82；

(2)比较1.5，23.1,2的大小关系是(　　)

A．23.1<2<1.5 B．1.5<23.1<2

C．1.5<2<23.1 D．2<1.5<23.1

(1)[解]　∵82＝(23)2＝26，

由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27.

(2)C　[∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，1.5<2，

∴1.5<2.又∵指数函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数，

<3.1，

∴2<23.1，

∴1.5<2<23.1.]

数的大小比较常用方法：

(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂时，可将其看成某个指数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．

4．比较下列数的大小：

a1.2，a1.3.

[解]　∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数，当底数0<a<1时在R上是减函数，

而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2<a1.3；

当0<a<1时，有a1.2>a1.3.

　函数性质综合应用

【例5】　已知f(x)＝a＋(a∈R)．

(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；

(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；

(3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．

[解]　(1)若函数f(x)为奇函数，

∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，

验证当a＝－1时，f(x)＝－1＋＝为奇函数，

∴a＝－1.

(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝，

由x1<x2，得2x1＜2x2，

∴2x2－2x1>0，又2x1 ＋1>0,2x2 ＋1>0，

故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

(3)当x∈[－1,5]时，∵f(x)为减函数，

∴f(x)max＝f(－1)＝＋a，

若f(x)≤0恒成立，则满足f(x)max＝＋a≤0，

得a≤－，∴a的取值范围为.

函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧

(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．

5．已知函数f(x)＝9x－3x＋1＋c(其中c是常数)．

(1)若当x∈[0,1]时，恒有f(x)＜0成立，求实数c的取值范围；

(2)若存在x0∈[0,1]，使f(x0)＜0成立，求实数c的取值范围．

[解]　f(x)＝9x－3x＋1＋c＝(3x)2－3·3x＋c，

令3x＝t，则g(t)＝t2－3t＋c.

(1)当x∈[0,1]时，t∈[1,3]，g(t)＝t2－3t＋c<0恒成立．

∵二次函数g(t)＝t2－3t＋c图象的对称轴方程为t＝，

∴根据二次函数的性质可知g(t)在[1,3]上的最大值为g(3)，

∴g(3)＝32－3×3＋c<0，解得c<0.故c的取值范围为{c|c<0}．

(2)存在x0∈[0,1]，使f(x0)<0，等价于存在t∈[1,3]，使g(t)＝t2－3t＋c<0，

于是只需g(t)在[1,3]上的最小值小于0即可．

∵二次函数g(t)＝t2－3t＋c图象的对称轴方程为t＝，

∴根据二次函数的性质可知g(t)在[1,3]上的最小值为g＝2－3×＋c<0，解得c<，故c的取值范围为.

1．(2015·山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是

(　　)

A．a<b<c B．a<c<b

C．b<a<c D．b<c<a

C　[由函数y＝0.6x为R上的减函数，得1>0.60.6>0.61.5>0，而1.50.6>1，所以b<a<c.故选C.]

2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f >1的x的取值范围是________．

　[法一：当x>0时，f(x)＝2x>1，则不等式f(x)＋f >1，恒成立

当x≤0时，f(x)＋f ＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，解得x>－，

综上知，x的取值范围为.

法二：设F(x)＝f(x)＋f ，∵f(x)在R上是增函数，∴F(x)为R上的增函数，原不等式即为F(x)>1，∵F＝1，∴原不等式等价于F(x)>F，即知x的取值范围为.]

3．(2015·江苏卷)不等式2x2－x<4的解集为________．

{x|－1<x<2}　[不等式可化为2x2－x<22，∵函数y＝2x为R上的增函数，

所以不等式等价于x2－x<2，即x2－x－2<0，解得－1<x<2.则知不等式的解集为{x|－1<x<2}．]

4．(2015·山东卷)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)

A．(－∞，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1，＋∞)

C　[f(x)＝，f(－x)＝，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴a＝1.

∴f(x)＝，∴f(x)>3，即>3，故不等式可化为<0，即1<2x<2，解得0<x<1，∴x的取值范围为(0,1)．]