数学必修 第一册1 对数的概念学案

§1　对数的概念

1．对数的概念是什么？

2．对数式中底数和真数分别有什么限制？

3．什么是常用对数和自然对数？

4．对数与指数有什么关系？

1．对数的概念

(1)一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．

(2)指数式与对数式的互化及有关概念：

(3)底数a的范围是a＞0，且a≠1.

2．常用对数与自然对数

3．对数的基本性质

(1)负数和零没有对数．

(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．

(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)．

(4)alogaN＝N.

为什么零和负数没有对数？

[提示]　由对数的定义：ax＝N(a＞0且a≠1)，则总有N＞0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．

1.若a2＝M(a>0，且a≠1)，则其对数式为_____________．

[答案]　logaM＝2

2.把对数式loga49＝2写成指数式为________．

[答案]　a2＝49

类型1　对数的概念

【例1】　已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，求实数a的取值范围．

[解]　由于对数log(1－a)(a＋2)有意义，则有，解得－2<a<0或0<a<1.

所以实数a的取值范围是(－2,0)∪(0,1)．

正确理解对数的概念

(1)底数大于0且不等于1，真数大于0.

(2)明确指数式和对数式的区别和联系，以及二者之间的相互转化．

1．若对数log3a(－2a＋1)有意义，则a的取值范围是________．

∪　[根据题意可得

解得0<a<，a≠.所以a的取值范围是∪.]

类型2　指数式与对数式的互化

【例2】　求下列各式中x的值：

(1)log16x＝－2；　(2)logx27＝.

[思路点拨]　利用对数的定义，把对数式化为指数式，即可解得x的值．

[解]　(1)由log16x＝－2，得x＝16－2＝2＝，

故x＝.

(2)由logx27＝，得 x＝27，即x＝33，∴x＝34＝81.

1．首先掌握指数式与对数式的关系，即ab＝N⇔b＝logaN.

2．对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式．

2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)2－7＝；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)32＝－5；(5)lg 0.001＝－3.

[解]　(1)log2＝－7；(2)log327＝3；(3)lg 0.1＝－1；(4)－5＝32；(5)10－3＝0.001.

类型3　对数的性质

【例3】　求下列各式中x的值．

(1)log2(log5x)＝0；

(2)log3(lg x)＝1；

(3)log3(log4(log5x))＝0.

[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，

∴log5x＝20＝1，

∴x＝51＝5.

(2)∵log3(lg x)＝1，

∴lg x＝31＝3，

∴x＝103＝1 000.

(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.

1．本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？

[解]　由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.

2．在本例(3)条件下，计算625logx3的值．

[解]　因为x＝625，则625logx3＝3.

3．本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3log3 (log4 (log5 x))＝1”，又如何求解x呢？

[解]　由3log3 (log4 (log5 x))＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.

利用对数性质求解的两类问题的解法

(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．

(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．

3．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x＝(　　)

A． B．

C． D．

C　[由条件，知log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所以x＝8＝＝＝.]

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)

(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)

(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2．log2的值为(　　)

A．－ B．

C．－ D．

D　[设log2＝x，则2x＝＝2，∴x＝.]

3．(多选)以下结论正确的是(　　)

A．lg (lg 10)＝0

B．若lg x＝10，则x＝10

C．若e＝ln x，则x＝e2

D．(eln e)－1＝

AD　[lg (lg 10)＝lg 1＝0，A正确；若lg x＝10，则x＝1010，B错误；若e＝ln x，则x＝ee，C错误；(eln e)－1＝，D正确．]

4．(一题两空)若blog23＝1，则3b＝________，b＝________.

2　log32　[∵blog23＝1，∴log23＝，

∴2＝3，∴3b＝2，∴b＝log32.]

5．已知log3＝0，则x＝________.

3　[＝30＝1，解得x＝3.]