数学必修 第一册3.1 对数函数的概念第1课时学案

§3　对数函数

1．对数函数的定义是什么？

2．什么是常用对数函数？什么是自然对数函数？

3．反函数的定义是什么？

4．对数函数的图象是什么形状？有哪些性质？

知识点1　对数函数的概念

函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的底数，x是自变量．

知识点2　特殊的对数函数

对数函数的解析式有何特征？

[提示]　在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)对数函数的定义域为R.(　　)

(2)函数y＝log2(2x)是对数函数．(　　)

(3)函数y＝log(x2＋2)x是对数函数．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2.下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝log2x B．y＝ln(x＋1)

C．y＝logxe D．y＝logxx

[答案]　A

知识点3　对数函数的图象和性质

(1)底数a的取值与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象有什么关系？

(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与y＝x(a>0且a≠1)有什么关系？

[提示]　(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．

(2)在同一坐标系内，y＝logax(a>0且a≠1)的图象与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称．

3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝log0.3x是减函数．(　　)

(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　)

(3)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

4.函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是________．

[答案]　(1，＋∞)

第1课时　对数函数的概念、图象和性质

类型1　对数函数的概念

【例1】　对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为(　　)

A．y＝log4x B．y＝x

C．y＝x D．y＝log2x

D　[由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.]

判断一个函数是对数函数的方法

1．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝log3x2 B．y＝log3x

C．y＝logx5 D．y＝log2x＋1

[答案]　B

类型2　对数函数的图象

　对数型函数图象的判断

【例2】　函数y＝ln(1－x)的图象大致为(　　)

　　             A　　　　　B　　　  C　 　　D

C　[由1－x>0，知x<1，排除选项A、B；

设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t为增函数，

所以y＝ln(1－x)为减函数．

故选C.]

　作对数型函数的图象

【例3】　已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．

[解]　因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，

故f(x)＝log5|x|＝

所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．

　对数函数底数对图象的影响

【例4】　如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)

A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1

C．a＞b＞1 D．b＞a＞1

B　[作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.]

有关对数型函数图象问题的求解技巧

(1)求函数y＝logaf(x)＋m(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).

(2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得底数的大小．

2．(1)函数f(x)＝log2x的图象的大致形状是(　　)

A　　　 B　　　　 　C　　 　　D

(2)若lga＋lgb＝0 (a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝logax与g(x)＝logbx的图象(　　)

A．关于直线y＝x对称 B．关于x轴对称　

C．关于y轴对称 D．关于原点对称

(1)D　(2)B　[(1)由于f(x)＝log2x＝log2，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x>0时，f(x)＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，又函数是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，故选D.

(2)由 lg a＋lg b＝0，得b＝，

所以g(x)＝logbx＝x＝－logax，

所以函数f(x)与g(x)的图象关于x轴对称．]

类型3　对数型函数的定义域

【例5】　求下列函数的定义域：

(1)y＝log5(1－x)；

(2)y＝；

(3)y＝.

[解]　(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域为(－∞，1)．

(2)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．

(3)要使函数有意义，需满足即解得－1<x<0，因此函数y＝的定义域为(－1,0)．

求对数型函数定义域的原则

(1)分母不能为0.

(2)根指数为偶数时，被开方数非负．

(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

3．函数f(x)＝＋lg(10－x)的定义域为________．

(1,10)　[由题意可得解得1<x<10，故定义域为(1,10)．]

类型4　对数函数的性质

【例6】　根据函数f(x)＝log2x的图象和性质求解以下问题：

(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；

(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值．

[思路点拨]　可先作出y＝log2x的图象，利用图象中的单调性解决问题．

[解]　 函数y＝log2x的图象如图．

(1)f(a)>f(2)，即log2a>log22，又因为y＝log2x是增函数，则a>2.

所以a的取值范围为(2，＋∞)．

(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，

∴log23≤log2(2x－1)≤log227.

∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.

对数型函数求解方法

1．求解对数型不等式时应考虑底数与1的大小．

2．对数型函数值域求解采用复合函数法．

4．(1)比较log2与log2的大小；

(2)若log2(2－x)>0，求x的取值范围．

[解]　(1)函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，

又∵>，∴log2>log2.

(2)log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21，

∵函数y＝log2x为增函数，∴2－x>1，即x<1.

∴x的取值范围为(－∞，1).

1．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝ln B．y＝ln

C．y＝logx2 D．y＝log2x

[答案]　D

2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　)

A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)

C．(－∞，1) D． (－∞，1]

B　[由x－1>0，得x>1.]

3．函数y＝log2x的图象大致是(　　)

　　              A　　　　B　　　　C　　  　D

C　[结合各选项可知，C正确．]

4．函数y＝lg x的反函数是________．

[答案]　y＝10x

5．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．

(1,2)　[若f(x)，g(x)均为增函数，则即1＜a＜2，

若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．]