北师大版 (2019)必修 第一册4.1 样本的数字特征学案

§4　用样本估计总体的数字特征

4.1　样本的数字特征

1．平均数、中位数、众数的概念是什么？如何求解？有何意义？

2．极差、方差、标准差的概念是什么？如何求解？有何意义？

1．众数、中位数、平均数定义

(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．

(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数．

(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)称为这n个数的平均数．

2．极差：数据中最大值和最小值的差．

3．方差

(1)公式：s2＝.

(2)意义：方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度．

4．标准差

s＝＝.

　(1)众数、中位数和平均数各有什么优点和缺点？

(2)标准差、方差的意义是什么？

[提示]　(1)三种数字特征的优缺点比较：

(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

1.下列结论正确的是________(填序号)．

①平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．

②一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．

③一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．

[答案]　①②③

2.在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为(　　)

A．84,68 B．84,78

C．84,81 D．78,81

C　[将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81.]

3.某校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数分别为8,9,10,13,15，则该运动员在这五场比赛中得分的平均值为________，方差为________，标准差为________．

11　6.8　　[依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为＝11.

由方差公式得s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.

s＝＝.]

类型1　平均数、中位数和众数的计算

【例1】　已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,

18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)

A．a>b>c B．a>c>b

C．c>a>b D．c>b>a

D　[由题意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7.

将数据从小到大排列为11,13,15,15,16,16,17,18,18,18，则其中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c>b>a.]

1．求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行．

2．求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性．

1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)

A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分

C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分

C　[由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，平均数为＝87.]

2．已知样本数据x1，x2，…，xn的平均值＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均值为________．

11　[由条件知＝＝5，则所求平均值0＝＝＝2＋1＝2×5＋1＝11.]

类型2　根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数

【例2】　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．

(1)求这次测试数学成绩的众数；

(2)求这次测试数学成绩的中位数．

[解]　(1)由题干图知众数为＝75.

(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.

1．(变设问)若本例的条件不变，求数学成绩的平均分．

[解]　由题干图知这次数学成绩的平均分为：

×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.

2．(变设问)若本例条件不变，求80分以下的学生人数．

[解]　[40,80)分的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，

所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56.

众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系

(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标．

(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．

(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和．

3．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.

求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；

(2)高一参赛学生的平均成绩．

[解]　(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.

(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分．

类型3　极差、方差、标准差的计算及应用

【例3】　某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：

甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；

乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.

(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；

(2)哪一组的成绩较稳定？

[解]　(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，

平均分为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，

方差为s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，

标准差为s甲＝＝≈10.91(分)．

乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，

平均分为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，

方差为s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25.

标准差为s乙＝＝≈8.67(分)．

(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．

从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定．

计算标准差的5步骤

(1)求出样本数据的平均数.

(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1,2，…，n)．

(3)求出xi－(i＝1,2，…，n)的平方值．

(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差．

(5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差．

4．设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为，则其方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．若数据a1，a2，a3，a4的方差为3，则数据2a1＋1,2a2＋1,2a3＋1,2a4＋1的方差是(　　)

A．6 B．8

C．10 D．12

[答案]　D

5．已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是______．

　[这组数据的平均数为＝8，故方差为s2＝×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝.]

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的．(　　)

(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据．(　　)

(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．(　　)

[提示]　(1)错误．一个样本的平均数和中位数是唯一的．若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都叫众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能多个，也可能没有．

(2)错误．样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和．

(3)错误．若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)× 

2．下列说法不正确的是(　　)

A．方差是标准差的平方

B．标准差的大小不会超过极差

C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0

D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散

D　[标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中．]

3．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表：

则这15场得分的中位数和众数分别为(　　)

A．22,18 B．18,18

C．22,22 D．20,18

B　[根据表中数据可知，得分频率最高的为18，故众数为18，

将得分按从小到大顺序排序，得8,13,13,13,18,18,18,18,22,28,28,28,33,37,37，排在中间位置的为18，故中位数为18.]

4．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．

6　[＝6.]

5．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：吨/公顷)．

则甲、乙两种水稻产量的极差分别为________，________.

0.4　1.4　[甲种水稻产量的极差为10.2－9.8＝0.4，乙种水稻产量的极差为10.8－9.4＝1.4.]