高中北师大版 (2019)1.3 随机事件学案及答案

1.3　随机事件

1.4　随机事件的运算

1．事件可分为哪几类？

2．事件的并(和)、事件的交(积)各是什么？

3．事件的互斥与对立是如何定义的？它们之间有什么关系？

1．三种事件的定义

2．随机事件的运算

3．互斥事件与对立事件

(1)一颗骰子投掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？

(2)命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？(指充分性与必要性)

[提示]　(1)A＝C∩D.

(2)根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件.

类型1　事件类型的判断

【例1】　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．

(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；

(2)三角形的内角和为180°；

(3)没有空气和水，人类可以生存下去；

(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；

(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；

(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．

[解]　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．

(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．

(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．

(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．

(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．

(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．

判断一个事件是哪类事件要看两点：

一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；

二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．

1．下列事件不是随机事件的是(　　)

A．东边日出西边雨

B．下雪不冷化雪冷

C．清明时节雨纷纷     

 D．梅子黄时日日晴

B　[B是必然事件，其余都是随机事件．]

类型2　事件关系的判断

【例2】　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．

(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．

[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．

(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两个事件都不发生，所以它们不是对立事件．

(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．

(3)“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

判断事件间关系的方法

(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．

(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．

2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每个事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．

(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；

(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；

(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．

[解]　依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．

类型3　事件的运算

【例3】　在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．

(1)说明以上4个事件的关系；

(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.

[思路点拨]　(1)→

(2)→

[解]　在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.

(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；

事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．

(2)A∩B＝∅， A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，

A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}．

B∩D＝A4＝{出现点数4}．

B∪C＝ A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．

1．在例3的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C.

[解]　A∩C＝A＝{出现1点}，A∪C＝C＝{出现点数1,3或5}，B∩C＝A3＝{出现点数3}．

2．用事件Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)表示下列事件：

(1)B∪D；(2)C∪D.

[解]　(1)B∪D＝{出现点数2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.

(2)C∪D＝{出现点数1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.

进行事件运算应注意的问题

(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．

(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．

3．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．则以下结论正确的是(　　)

A．A∪B＝C B．D∪B是必然事件

C．A∩B＝C D．A∩D＝C

AB　[事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以A正确；事件D∪B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；事件A∩B＝∅，C不正确；事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以D不正确．]

事件关系的判断与集合形式表示

2019年4月23日，作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省市，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆23日相继发布了本省份高考综合改革实施方案，明确从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施．

根据公布的实施方案，8个省市将采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．

[问题探究]

1．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，请写出试验的样本空间，并说出样本点的个数．

[提示]　试验的样本点可用(x，y，z)表示，其中从物理、历史中选择1门，结果用x表示；从思想政治、地理、化学、生物中选择2门，结果用y，z表示．

该试验的样本空间Ω＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，化学)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，样本点的个数为12.

2．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，若记事件A为“小李物理必选”；事件B为“小李生物必选”，用集合表示这两个事件，并判断事件A与事件B是不是互斥事件，是不是对立事件；

[提示]　A＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)}，

B＝{(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，

则事件A，B中含有相同的样本点(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，

所以事件A与事件B不是互斥事件，也不是对立事件．

3．在第2小题的条件下，用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明事件A∪B和事件∩的关系．

[提示]　由第2问可知，事件A∪B＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，

事件∩＝{(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，地理，化学)}，

所以事件A∪B和事件∩既是互斥事件，也是对立事件.

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)  若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(　　)

(2)  若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．(　　)

(3)  事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．(　　)

[提示]　(1)错误．对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．

(2)正确．因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件．

(3)错误．反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是对立事件．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

2．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为(　　)

A．“都是红球”与“至少一个红球”

B．“恰有两个红球”与“至少一个白球”

C．“至少一个白球”与“至多一个红球”

D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”

D　[A，B，C中两个事件都可以同时发生，只有D项，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．]

3．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．

在上述事件中，为对立事件的是(　　)

A．① B．②④

C．③ D．①③

C　[从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]

4．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：

①在这200件产品中任意选9件，全部是一级品；

②在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品；

③在这200件产品中任意选9件，不全是一级品．

其中_______是随机事件；_______是不可能事件．(填序号)

①③　②　[因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．]

5．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．

①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．

⑥　④　①②③⑤　[从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是：“三个全是正品”“二个正品一个次品”“一个正品二个次品”．]