北师大版 (2019)必修 第一册3 数学建模活动的主要过程学案

§3　数学建模活动的主要过程

【例1】　关于外卖垃圾问题的分析与解决

[选题]　餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展．为了满足当今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生．“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售．目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐．外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活．本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论．

[开题]　从具体的处理方式考虑．通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式．而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染．因此，我们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染，而填埋数量与填埋场的体积有关．目前，填埋场的深度基本已达最大．因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形．在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半径的，并假设填埋场形状可以为任意形状．在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择．因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染．

[做题]　改变填埋场形状以降低污染

1．问题分析

填埋作为重要的处理方式，可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染．我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可．我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展．因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地．因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展．假设垃圾填埋场为规则的立体图形．因此要保证同体积的情况下，深度一样，则表面积一样．所以我们的目的便是使在相同的表面积下，什么图形所构成的表面会对土地污染数量最小．

2．模型建立

我们通过网上的信息了解到，目前的填埋场形状大多为长方形，如图：设长为a，宽为b，对四周土地进行污染的半径为c，总污染面积为S.那么，S＝ab＋2ac＋2bc＋πc2＝ab＋2c(a＋b)＋πc2

(周围为污染区)

在表面积固定的情况下：ab为定值，c、π均为定值，因此使(a＋b)最小即可．由均值不等式可得：a＋b≥2，且当a＝b时取等号．因此若使S最小，即a＝b，因此我们得出结论：垃圾填埋场呈正方形比呈长方形要好．

之后，我们再比较其他形状的垃圾填埋场和传统垃圾填埋场谁更好．为了方便计算和更好的解决问题，以下模型均与正方形所造成的土地污染进行对比，若更好，则模型优化成立．

(1)圆形

在这里为方便，把正方形的图与圆形的图放在一起做对比．

设正方形边长为d，对四周土地进行污染的半径为c，圆的半径为r.

d2＝πr2，r＝，

正方形总污染为S正方形＝πc2＋4dc＋d2，

圆形总污染为S圆形＝2π＝·π＝d2＋2dc＋c2π，

作差得

S圆形－S正方形＝c2π＋2dc＋d2－πc2－4dc－d2

＝2dc－4dc＝2dc(－2)，

又因为－2<0，因此S圆形<S正方形，所以圆形更好．因此在之后的比较中用圆形即可．

(2)正三角形

设正三角形边长为e，则S三角形＝e2，

因为我们要使圆形与三角形的表面积相同，则

e2＝πr2，r＝，

因此通过计算可得

S三角形污染面积＝e2＋πc2＋3ce，S圆形污染面积＝2·π＝·π＝e2＋ec＋c2·π，S圆形污染面积－S三角形污染面积＝e2＋ec＋c2·π－e2－πc2－3ce＝ec(－3)<0，

因此S圆形污染面积<S三角形污染面积，所以圆形更好．

综上所述，目前的填埋场形状为长方形，而我们通过计算得出，圆形实则为更好的一种方案．因此我们可以通过把长方形的填埋场改建为圆形的填埋场，这样可以有效的减少土地污染体积．模型优化成立．

[结题]　1.模型优点：

A．该模型可以有效的减少土地污染体积；

B．该模型不需要耗费大量的人力、物力．

2．模型缺点：

A．该模型没有考虑渗滤液处理区等方面的限制条件；

B．该模型只能用于填埋场形状为圆形的填埋场．

3．我们了解到填埋是我国目前最重要的垃圾处理方式．而填埋造成的环境污染主要体现在对周围土地的污染．因此我们想在不影响填埋数量的情况下，通过改变填埋场形状来减少对土地的污染．在此模型中，我们采用了枚举法，通过比较不同的形状带来的污染，最后得出结论：在一定的条件下，圆形较好．最后，我们通过调查问卷和数据抓取的方式，得到订外卖的主体为服务业的年轻人．

大量的外卖垃圾正威胁着我们的环境，但并非无解决方法．但是，最重要的还是我们自身需建立起环境保护意识，自觉保护环境，维护生态平衡．只有这样，我们才能继续绿色、健康的生存和发展下去．

【例2】　牙膏价格与重量关系的数学建模

[选题]　在超市购物时，我们注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如某品牌牙膏50 g装的每支1.50元，120 g装的每支3.00元．我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函数来分析大包装便宜还是小包装便宜．

[开题]　1.问题分析

商品价格是由成本决定的，成本可分为生产成本、包装成本和其他成本．生产成本与重量W成正比，包装成本与表面积成正比，其他成本与W无关．单位重量商品价格c＝.牙膏可以近似为圆柱体来思考．

2．模型假设

设如下变量：

商品价格为C，商品重量为W，单位重量价格为c，商品包装面积为S，生产成本为C1，包装成本为C2，其它成本为C3.

3．研究的大体思路、方法与步骤

(1)分析商品价格C与商品重量W的关系．价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素．

(2)求单位重量价格c与W的关系，可以用简图分析．最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议．

4．研究此问题的意义

实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等．在选择购买时，可依据下面的数学模型做选择．

[做题]　1.模型建立与求解

商品价格由成本决定，商品成本＝生产成本＋包装成本＋其他成本，故C＝C1＋C2＋C3，生产成本与重量W成正比，设C1＝k1W(k1为大于0的常数)，包装成本与表面积S成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，设牙膏盒包装面积S2，牙膏可以近似为无底的圆柱体，设牙膏包装面积S1，即圆柱体侧面积．

设此圆柱体的半径为R，高为L，

S1＝2πRL，  ①

由题意，我们需要将包装面积与商品重量联系在一起，故我们将牙膏体积V近似为圆柱体积的一半，

则V＝πR2L，  ②

设牙膏密度为ρ，则V＝，  ③

一般地，为了美观，牙膏的半径与长度有一定比例关系，在这里：

设R＝k2L(k2为大于0的常数)，  ④

根据②③④，可以得出：

半径R＝，  ⑤

由①④⑤得出

S1＝，

我们可以把牙膏盒看成一个长为L，宽高都为2R的长方体，故牙膏盒包装面积S2＝8R2＋8RL，

再根据④⑤求得S2＝8，

则包装成本C2＝k3＋k48·，k3，k4为大于0的常数，是包装价格与包装面积的比值．

其他成本C3为固定常数，与W，S无关．

即C＝C1＋C2＋C3

＝k1W＋k3＋k48＋C3.

由于k1，k2，k3，k4，ρ都是大于零的常数，所以商品价格关于商品重量的函数是单调增函数，所以商品重量增大，商品价格增大．

对于单位重量价格c与商品重量W的关系，我们已知c＝，由于k1，k2，k3，k4，ρ都是大于零的常数，我们发现包装成本与商品重量成正比，可以简化为C2＝k5×W，

所以c＝＝k1＋k5×＋C3.

2．模型解释

c­W的简图如图所示：

由函数解析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着W的增加，c的减少幅度减少，当W很大时，则c不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商品．

[结题]　对于商家，一般来说，小包装商品的利润较高，但成本也相应的增多，所以应该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；

对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的包装，可以节省包装的费用，但是也不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况．