专题16 相似三角形（精讲精练）-中考数学复习核心考点精讲与分层训练（附思维导图，全国通用版）

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通过实例认识图形的相似。
了解比例的基本性质，成比例的线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
了解相似多边形和相似比。
掌握平行线分线段成比例。
了解相似三角形判定定理。
了解相似三角形性质定理。
了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
会利用图形的相似解决一些简单实际问题。
利用相似的直角三角形，探究并认识锐角三角函数，知道30°、45°、60°角的三角函数值。
会使用计算器由锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求对应锐角。
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25274" 第16讲 相似三角形（精讲） PAGEREF _Tc25274 \h 1
\l "_Tc27940" 考点1：平行线分线段成比例 PAGEREF _Tc27940 \h 3
\l "_Tc26364" 考点2：相似三角形的判定 PAGEREF _Tc26364 \h 15
\l "_Tc6943" 考点3：相似三角形的性质 PAGEREF _Tc6943 \h 23
\l "_Tc4833" 考点4：与相似三角形有关的证明与计算 PAGEREF _Tc4833 \h 28
\l "_Tc17293" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc17293 \h 54
\l "_Tc11365" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc11365 \h 55
考点1：平行线分线段成比例
①比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
②比例的基本性质：(1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔＝k.（b、d、···、n≠0）
①平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.

｛新定义-黄金分割★★｝（2021•巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是
A．B．C．D．以上都不对
｛比例性质★★｝若，，则的值为 ．
｛比例性质★★｝把浓度为和的两种盐水按的比例混合在一起，得到的盐水浓度为 ．
｛平行线分线段成比例★★｝如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ．
｛平行线分线段成比例★★｝如图，在中，、分别是边、上的点，与相交于点，若为的中点，，则的值是 ．
｛平行线分线段成比例★★｝如图，在中，若，，，则 ．
｛平行线分线段成比例★★★｝如图，在中，，，是的中点，且，则的长为 ．
｛比例性质★★｝若，则 ．
｛新定义-黄金分割★★｝（2021•德阳）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 ．
｛平行线分线段成比例★★｝如图，在中，点，分别在边，上，且，，射线和的延长线交于点，则的值为 ．
｛平行线分线段成比例★★｝如图，中，为上一点，且，点为的中点，的延长线交于，则为 ．
（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为
A．B．C．D．
｛平行线分线段成比例★★｝如图，三边的中点分别为，，．连接交于点，交于点，则 ．
｛平行线分线段成比例★★｝如图，直线，等腰的三个顶点、、分别在直线、、上，，交于点．若与的距离为1，与的距离为4，则的值是 ．
（2019•雅安）若，且，则的值是
A．4B．2C．20D．14
（2021•阿坝州）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，则的长是
A．4B．6C．7D．12
（2021•连云港）如图，是的中线，点在上，延长交于点．若，则 ．
考点2：相似三角形的判定
相似三角形的判定：

｛相似的判定★★｝如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A．B．C．D．
｛相似的判定★★｝在下列条件中，不能判断与相似的是
A．，B．且
C．D．且
｛相似的判定★★｝下列说法正确的是
A．两个直角三角形相似 B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为的两个等腰三角形相似 D．有一个角为的两个等腰三角形相似
｛相似的判定★★｝依据下列条件不能判断和的相似是
A．，，，
B．，，，，
C．，，，，
D．，，，，，
｛相似的判定★★｝如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是
A．B．C．D．
｛相似的判定★★｝如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是
A．B．C．D．
｛相似的判定★★｝如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是
A．B．C．D．
｛相似的判定★★｝如图，在矩形中，为上一点，交的延长线于点．求证：．
｛相似的判定★★｝如图，，且，求证：．
｛相似的判定★★｝如图，，是的高，连接．求证：．
（2021•湘潭）如图，在中，点，分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
考点3：相似三角形的性质
相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
｛相似的性质★★｝如果两个相似多边形的周长比是，那么它们的面积比为
A．B．C．D．
｛相似的性质★★｝下列结论正确的是
A．所有的矩形都相似B．所有的菱形都相似
C．所有的正方形都相似D．所有的正多边形都相似
｛相似的性质★★｝如图，矩形矩形，且，则的值是
A．B．C．D．
｛相似的性质★★｝如图，△，和分别是和△的高，若，，则与△的面积的比为
A．B．C．D．
｛相似的性质★★｝如图，已知在中，点、点是边上的两点，联结、，且，如果，那么下列等式错误的是
A．B．C．D．
｛相似的性质★★｝如图，，，，则的度数是
A．B．C．D．
｛相似的性质★★｝如果两个相似三角形周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为 ．
（2020•铜仁市）已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长为
A．3B．2C．4D．5
（2019•沈阳）已知△，和是它们的对应中线，若，，则与△的周长比是
A．B．C．D．
考点4：与相似三角形有关的证明与计算
基础知识归纳：相似三角形与几何图形的综合．
基本方法归纳：理清题意，合理推断，准确运算是关键．
注意问题归纳：审题不清、条件利用不全是常见错误．

｛相似的运用★★｝如图，在中，，高，正方形的四个顶点均在的边上，则正方形的边长为 ．
A．2B．2.5C．3D．4
｛相似的运用★★｝如图，是半圆的直径，按以下步骤作图：
（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；
（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；
（3）连接，，，与交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①平分；②；③；④；所有正确结论的序号是
A．①②B．①④C．②③D．①②④
｛相似的运用★★｝著名画家达•芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中∠ACB＝∠EJD＝90°，CB＝EJ，连结HF，CJ，得到4个全等的四边形HFGI，四边形HFBA，四边形CJEA，四边形JCBD．CJ分别交AB，ED于点M，N，若MN：CJ＝5：9，且AB＝5，则HF的长为（ ）
A．B．C．D．
｛相似的运用★★｝如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形和是直角），连接，交于点，与边交于点，对于下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
｛相似的运用★★｝如图，正方形，点，分别在边，上，，，与交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．①②④D．②③④
｛相似的运用★★｝如图，小明同学想测量操场上路灯的高度，于是他站立在点处测得其影长为1米，小明同学继续沿着方向行走5米到达点处，此时测得其影长为3米，已知小明身高1.5米，则路灯的长为 米．
｛相似的运用★★｝如图，线段是的角平分线，点、点分别在线段、的延长线上，联结、，且．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
｛相似的运用★★｝如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：．
｛相似的运用★★｝如图，在矩形中，是边的中点，于点，于，连接，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
｛相似的运用★★｝如图，在正方形中，是的中点，点在的延长线上，，交于点，，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
｛相似的运用★★｝公共自行车车桩的截面示意图如图所示，，，点、在上，，，，，，．
（1）点到的距离为 ．
（2）点到地面的距离为 ．
｛相似的运用★★｝如图，在平行四边形中，，过点作于，连结，，为上一点，且．
（1）求证：．
（2）的长为 ．
（2021•锦州）如图，内接于，为的直径，为上一点（位于下方），交于点，若，，，则的长为
A．B．C．D．
（2021•巴中）如图，中，点、分别在、上，且，下列结论正确的是
A．B．与的面积比为
C．与的周长比为D．
（2021•贵港）如图，在正方形中，，是对角线上的两点，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，则
A．B．C．1D．
（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为
A．B．C．D．
如图，路灯点距地面，身高的小明从距路灯底部点的点沿所在的直线行走了到达点时，则小明的身影
A．增长了3米B．缩短了3米C．缩短了3.5米D．增长了3.5米
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．（2022秋•和平区校级期末）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是
A．B．
C．D．
2．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是
A．B．C．D．
3．（2022秋•桃江县期末）如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是
A．与相似B．与相似
C．D．
4．（2022秋•丹东期末）如图，下列选项中不能判定的是
A．B．C．D．
5．（2022秋•德惠市期末）若，则的值为
A．B．C．D．
6．（2022秋•山西期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是
A．B．C．D．
7．（2022秋•裕华区校级期末）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为
A．2B．3C．4D．5
8．（2022秋•伊川县期末）下列各组的四条线段，，，是成比例线段的是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
9．（2022秋•定远县校级期末）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是
A．B．C．D．
10．（2022秋•益阳期末）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是
A．B．C．D．
11．（2022秋•莲池区校级期末）已知线段、、、的长度满足等式，则下列比例式中，错误的是
A．B．C．D．
12．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点为的边一点，下列条件不一定能保证的是
A．B．C．D．
13．（2022秋•驿城区期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是
A．B．
C．D．
14．（2022秋•中原区期末）如图，是边的延长线上一点，交于，则图中的相似三角形共有
A．对B．2对C．3对D．4对
15．（2022秋•蒙城县期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是
A．B．C．D．
1．（2022秋•南岸区期末）任意给定一个正三角形甲，以下说法正确的是
A．存在正三角形乙，乙的周长和面积分别是甲的周长和面积的一半
B．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的倍
C．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的3倍
D．存在正三角形乙，乙的周长是甲周长的2倍，乙的面积是甲面积的4倍
2．（2022秋•安岳县期末）如图，在四边形中，，与相交于点，若，则的值为
A．B．C．D．
3．（2022秋•离石区期末）如图，在中，平分，交于点，过作的平行线交于，若，，则
A．B．C．D．
4．（2022秋•包头期末）如图，在“黄金三角形” 中，，，平分交于点，若，则的长为 ．（顶角为，两底角分别为的等腰三角形就是黄金三角形）
5．（2022秋•双流区期末）如图，在和中，，，为的中点，，．将绕点旋转，直线，交于点，连接，则的最小值是 ．
6．（2022秋•黄浦区期末）已知：如图，点、分别在等边三角形的边的延长线与反向延长线上，且满足．
求证：（1）；
（2）．
7．（2022秋•和平区校级期末）如图，小明晚上由路灯下的处直接走向路灯下的处，已知小明身高1.8米，路灯的高度为12米，当他行到处时发现，恰好他在路灯下的影子长为2米，接着他又走到处，恰好他在路灯下的影子长为1.5米于点，于点，于点，于点．
（1）求，两点间的距离；
（2）请直接写出路灯的高度为 ．
8．（2022秋•静安区期末）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且．
（1）求证：；
（2）点在底边上，，，联结，如果与的面积相等，求的长．
9．（2022秋•平昌县期末）如图，矩形中，为上一点，交的延长线于点．
①求证：．
②若，，求的值．
1．（2022•吴中区模拟）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，为的内心；④若点在上以一定的速度，从往运动，则点与点的运动速度相等．其中正确的结论的个数为
A．1B．2C．3D．4
2．（2022•武进区一模）如图，正方形的边长是3，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：①；②；③；其中正确结论的个数
A．1B．3C．2D．0
3．（2022•东平县一模）如图，在矩形中，、分别在、上运动（不与端点重合），连接、，交于点，且满足．连接，若，，则的最小值为
A．B．C．5D．3
4．（2021秋•颍州区校级期中）如图，在中，，，点是线段上的一点，连接，过点作，分别交、于点、，与过点且垂直于的直线相交于点，连接，给出以下四个结论：
①；
②若点是的中点，则；
③当、、、四点在同一个圆上时，；
④若，则，其中正确的结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
5．（2021秋•开福区校级期末）如图，正方形中，为的中点，于，延长交于点，延长交于点，交于下列结论：
①；②；③；④；⑤；
其中正确结论的个数有
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2022•江汉区模拟）如图，已知为等腰的腰上一点，绕点逆时针旋转至，连接，，为的中点．则当时， ．
7．（2022•越秀区一模）如图，点为矩形的边上一点（点与点不重合），，．将沿对折，得到．连接、，给出下列四个结论：
①与互补；
②若点到边，的距离相等，则；
③若点到边，的距离相等，则；
④的面积的最小值为6．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
8．（2022•长清区一模）如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有 ．
9．（2021秋•召陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，直线与轴，轴分别交于，两点，点是该函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为，．当时，存在点使得，点的坐标 ．
10．（2022•甘井子区校级模拟）如图，在中，，点在上，且，，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿射线、射线运动．过点作的垂线段，使，连接，当点到达点时，点、同时停止运动、设，与重叠部分的面积为，当时，点恰好在边上．
（1）填空：点恰好经过边时，的值为 ；
（2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
11．（2022•将乐县模拟）如图，将正方形的对角线绕点逆时针旋转得到，连接．点满足，且，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求．
12．（2022•庐阳区校级三模）如图，在中，，，为边上一点，连接，作于点，过点作交延长线于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，连接．
①求证：；
②若点为中点，、交于点，求的值．
13．（2022•汉阳区校级模拟）如图，在矩形中，点为上一点，过点作于点，连接交于点，点恰好为的中点．
（1）求证：；
（2）如图1，若，求的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，点、分别为、上的动点，若，请直接写出的最小值．
14．（2022•合肥一模）在四边形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直于，垂足为，
且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，点、、分别为线段、、的中点，连接、、．
①求证：；
②若，求的面积．