专题15 电磁感应中的动量和能量问题 -高考物理计算题专项突破

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专题15 电磁感应中的动量和能量问题 ①磁通量公式：；②磁通量的变化量：；磁通量的变化率：；③法拉第电磁感应定律公式：；（为线圈匝数）④感应电流与感应电动势的关系：；⑤与线框有关的公式：；；；⑥恒流电路：。1.电磁感应现象中出现的电能，一定是由其他形式的能转化而来的，具体问题中会涉及多种形式能之间的转化，如机械能和电能的相互转化、内能和电能的相互转化。分析时应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功就可以知道有哪些形式的能量参与了相互转化，如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功就可能有机械能参与转化；安培力做负功就是将其他形式的能转化为电能，做正功就是将电能转化为其他形式的能，然后利用能量守恒列出方程求解。　电能求解的主要思路：（1）利用克服安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功。（2）利用能量守恒求解：机械能的减少量等于产生的电能。（3）利用电路特征求解：通过电路中所产生的电流来计算。2.电磁感应中的能量转化问题解决此类问题的步骤
（1）用法拉第电磁感应定律和楞次定律（包括右手定则）确定感应电动势的大小和方向。
（2）画出等效电路图，写出回路中电阻消耗的电功率的表达式。
（3）分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程，联立求解。两种常考的电磁感应中的动力学、动量和能量问题：1.在安培力作用下穿越磁场（如图）【动力学分析】以进入磁场的过程为例，设运动过程中某时刻的速度为，加速度大小为，则，与方向相反，导线框做减速运动，，即导线框做加速度减小的减速运动。【能量分析】部分（或全部）动能转化为焦耳热，。2.在恒力（包括重力）和安培力作用下穿越磁场（如图）【动力学分析】以进入磁场的过程为例，设运动过程中某时刻导线框的速度为，加速度为。(1)若进入磁场时，则导线框匀速运动；(2)若进入磁场时，则导线框做加速度减小的加速运动；(3)若进入磁场时，则导线框做加速度减小的减速运动。【能量分析】力做的功等于导线框的动能变化量与回路中产生的焦耳热之和，。3.以上两种情况的动量分析动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横截面的电荷量和变力作用的时间。(1)求电荷量或速度：，。(2)求位移：，即。(3)求时间：①，即，已知电荷量，为恒力，可求出变加速运动的时间；②，即，若已知位移，为恒力，也可求出变加速运动的时间。典例1：（2022·湖北·高考真题）如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L = 0.2m、回路电阻R = 1.6 × 10 - 3Ω、质量m = 0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成θ = 45°角、大小为的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g = 10m/s2，求：（1）ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；（3）磁场区域的水平宽度。【答案】（1）ax = 20m/s2，ay = 10m/s2；（2）B = 0.2T，Q = 0.4J；（3）X = 1.1m【规范答题】（1）ab边进入磁场前，对线框进行受力分析，在水平方向有max = Fcosθ代入数据有ax = 20m/s2在竖直方向有may = Fsinθ - mg代入数据有ay = 10m/s2（2）ab边进入磁场开始，ab边在竖直方向切割磁感线；ad边和bc边的上部分也开始进入磁场，且在水平方向切割磁感线。但ad和bc边的上部分产生的感应电动势相互抵消，则整个回路的电源为ab，根据右手定则可知回路的电流为adcba，则ab边进入磁场开始，ab边受到的安培力竖直向下，ad边的上部分受到的安培力水平向右，bc边的上部分受到的安培力水平向左，则ad边和bc边的上部分受到的安培力相互抵消，故线框abcd受到的安培力的合力为ab边受到的竖直向下的安培力。由题知，线框从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动，有Fsinθ - mg - BIL = 0E = BLvyvy2 = 2ayL联立有B = 0.2T由题知，从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。则线框进入磁场的整个过程中，线框受到的安培力为恒力，则有Q = W安 = BILyy = LFsinθ - mg = BIL联立解得Q = 0.4J（3）线框从开始运动到进入磁场的整个过程中所用的时间为vy = ayt1L = vyt2t = t1 + t2联立解得t = 0.3s由（2）分析可知线框在水平方向一直做匀加速直线运动，则在水平方向有则磁场区域的水平宽度X = x + L = 1.1m典例2：（2020·江苏·高考真题）如图所示，电阻为的正方形单匝线圈的边长为，边与匀强磁场边缘重合。磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小为。在水平拉力作用下，线圈以的速度向右穿过磁场区域。求线圈在上述过程中：(1)感应电动势的大小E；(2)所受拉力的大小F；(3)感应电流产生的热量Q。【答案】(1)0.8V；(2)0.8N；(3)0.32J【规范答题】(1)由题意可知当线框切割磁感线是产生的电动势为(2)因为线框匀速运动故所受拉力等于安培力，有根据闭合电路欧姆定律有结合(1)联立各式代入数据可得F=0.8N；(3)线框穿过磁场所用的时间为故线框穿越过程产生的热量为典例3：（2020·浙江·高考真题）如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以O为原点、水平向右为正方向建立x轴，在区域内存在方向竖直向上的匀强磁场。桌面上有一边长、电阻的正方形线框，当平行于磁场边界的边进入磁场时，在沿x方向的外力F作用下以的速度做匀速运动，直到边进入磁场时撤去外力。若以边进入磁场时作为计时起点，在内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图2所示，在内线框始终做匀速运动。(1)求外力F的大小；(2)在内存在连续变化的磁场，求磁感应强度B的大小与时间t的关系；(3)求在内流过导线横截面的电荷量q。【答案】(1)；(2)；(3)【规范答题】(1)由图2可知，则回路电流安培力所以外力(2)匀速出磁场，电流为0，磁通量不变，时，，磁通量，则t时刻，磁通量解得(3)电荷量电荷量总电荷量1．（2022·辽宁·模拟预测）如图，POQ是折成60°角的固定于竖直平面内的光滑金属导轨，导轨关于竖直轴线对称，，整个装置处在垂直导轨平面向里的足够大的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化规律为B=1－8t（T），一质量为1kg、长为L、电阻为1Ω、粗细均匀的导体棒锁定于OP、OQ的中点a、b位置。当磁感应强度变为B1=0.5T后保持不变，同时将导体棒解除锁定，导体棒向下运动，离开导轨时的速度为v=3.6m/s，导体棒与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，重力加速度为g=10m/s2，求导体棒：（1）解除锁定前回路中电流的大小及方向；（2）滑到导轨末端时的加速度大小；（3）运动过程中产生的焦耳热。【答案】（1），顺时针；（2）7.3m/s2；（3）1.02J【规范答题】（1）解除锁定前，导体棒与两金属导轨所围闭合回路的面积为回路中的感应电动势为此时导体棒接入回路的电阻为回路中的电流大小为磁通量垂直纸面向里减小，根据楞次定律可知，回路中电流方向为顺时针。（2）导体棒滑到导轨末端时，回路中的感应电动势为通过导体棒的电流大小为导体棒所受安培力大小为设此时导体棒的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有解得（3）导体棒从解除锁定到滑到导轨末端的过程中，下落的高度为设该过程导体棒产生的焦耳热为Q，根据功能关系有解得2．（2022·江苏省昆山中学模拟预测）2021年7月20日，世界首套时速600公里高速磁浮交通系统在青岛亮相，这是当前速度最快的地面交通工具，如图甲所示。超导磁悬浮列车是通过周期性变换磁极方向而获得推进动力。其原理如下：固定在列车下端的矩形金属框随车平移，金属框与轨道平行的一边长为d、轨道区域内存在垂直于金属框平面磁场，如图乙所示磁感应强度随到MN边界的距离大小而按图丙所呈现的正弦规律变化，其最大值为B0。磁场以速度v1、列车以速度v2沿相同的方向匀速行驶，且v1> v2，从而产生感应电流，金属线框受到的安培力即为列车行驶的驱动力。设金属框电阻为R，轨道宽为l，求：（1）如图丙所示，时刻线框左右两边恰好和磁场I两边界重合，写出线框中感应电流随时间变化的表达式；（2）从时刻起列车匀速行驶s（s足够大）距离的过程中，矩形金属线框产生的焦耳热。【答案】（1）；（2）【规范答题】（1）由题意得又得当线框切割磁感线的边到达磁感应强度最大位置处时有电流的最大值为电流的顺时值为（2）由（1）问可知，该电流为正弦式交变电流，其有效值为列车匀速行驶距离经历时间为故矩形金属线框产生的焦耳热为得3．（2022·上海市崇明中学模拟预测）水平虚线之间是高度为h有界匀强磁场，磁感强度为B。磁场上方的竖直平面有一个梯子形导线框abcd，框宽度ad=L、总高ab=4h。两竖直边导体ab和cd电阻不计，5根等距离分布的水平导体棒电阻都为R。让导线框离磁场上边缘h高处自由下落，当bc刚进入磁场开始，线框恰好做匀速直线运动，设重力加速度为g。(1)当第一条水平边bc进入磁场时bc中的电流大小和方向？(2)导线框的质量m为多少？(3)当第三条边开始进入磁场时bc棒上的电流大小和方向？(4)导线框穿过磁场过程中，bc边上产生的电热Q多少？【答案】(1)，b指向c；(2)；(3)，方向由c到b；(4) 【规范答题】(1)线框整体做自由落体运动，由动能定理进入磁场时的速度由法拉第电磁感应由闭合电路欧姆定律由并联电路特点解得方向：b指向c（向右）(2)线框受力平衡，磁场力等于重力解得(3)由于水平导体间距与磁场宽度相等，当一根导体出磁场时，另一根导体恰好进入磁场，且等效电路结构未变，故总电流也不变，线框受力情况也不变，因此整个线框一直做匀速直线运动，直到最后一根导体ab出磁场。所以，此时导体棒速度还是此时流过第三根导线的电流和(1)问相同，此时bc为外电阻，流过电流为总电流的方向由c到b（向左）。(4)根据能量守恒定律，线框匀速通过磁场过程中，动能没有变，在磁场中下降高度为5h，所以减少机械能为5mgh转化为线框电阻发热。5根导体在下落过程中所处地位一样，故bc发热占4．（2022·上海松江·二模）如图，斜面、水平面和半径为L的半圆柱面分别在、处平滑连接，水平面上和之间有宽度为L、竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将边长为L、质量为m、电阻为R的匀质正方形线框abcd自斜面上静止释放，穿过磁场区域后，上升到半圆柱面上最大高度时线框平面恰好在竖直面内。线框与各接触面间摩擦不计，重力加速度为g。求：（1）第一次离开磁场时线框的速度；（2）第一次即将离开磁场时，线框cd边中电流的大小、方向及cd两端的电压；（3）若线框在穿过磁场过程中其速度随位移变化满足，为线框进入有界磁场的初速度，为线框在磁场中位移为时的速度。请分析说明线框会不会停下来。若不能停下，说明最终的稳定状态；若能停下，求出线框停下时cd边所在的位置。【答案】（1），方向水平向右；（2），c→d，；（3）能，DD′【规范答题】（1）设线框第一次离开磁场时线框的速度大小为v1，由题意，根据几何关系可知线框上升到半圆柱面上最大高度时，其重心上升高度为L，根据机械能守恒定律有解得方向水平向右。（2）线框第一次即将离开磁场时，产生的感应电动势大小为线框cd边中电流的大小为根据右手定则可知电流方向为c→d，所以d点电势高于c点电势，根据闭合电路欧姆定律可知cd两端的电压为（3）由题意可知，线框每次完全通过磁场区域，速度的减小量为线框在磁场区域之外运动过程中，机械能始终守恒，所以线框在第一次穿过磁场后，还能恰好两次完全通过磁场区域，所以线框停下时cd边位于DD′。5．（2022·上海奉贤·二模）如图所示，是用于摩天大楼的磁动力电梯示意图。在竖直平面上有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面交替排列着方向相反的匀强磁场B1和B2，，两磁场始终竖直向上作匀速运动。电梯轿厢固定在图示的金属框abcd内（电梯轿厢在图中未画出），并且两者绝缘。已知电梯载人时的总质量，所受阻力恒定为，金属框cd边长为，两磁场的宽度均与金属框ad边长相同，金属框整个回路的电阻，g取10m/s2。假如设计要求电梯匀速上升阶段的速度为。问：（1）金属框在图示位置时感应电流的方向；（2）电梯匀速上升时，金属框中感应电流的大小；（3）磁场向上运动速度的大小；（4）电梯由静止开始向上运动时的加速度大小。【答案】（1）沿逆时针方向，或adcba；（2）1.2×104A；（3）12.7m/s；（4）37.4 m/s2【规范答题】（1）由楞次定律可知，图示时刻回路中感应电流沿逆时针方向，或adcba （2）因金属框匀速运动，所以金属框受到的安培力等于重力与阻力之和，由平衡条件得设当电梯向上匀速运动时，金属框中感应电流大小为I，所受的安培力为由以上可得金属框中感应电流（3）金属框中感应电动势金属框中感应电流大小代入数据得（4）电梯静止开始运动，初速度为零，相对于磁场向下运动，所以切割产生的电动势为联立解得6．（2022·湖北·恩施市第一中学模拟预测）如图所示，粗细均匀的正方形导线框abcd放在倾角为的绝缘光滑斜面上，通过轻质细线绕过光滑的定滑轮与木块相连，细线和线框共面、与斜面平行。距线框cd边为的MNQP区域存在着垂直于斜面、大小相等、方向相反的两个匀强磁场，EF为两个磁场的分界线，。现将木块由静止释放后，木块下降，线框沿斜面上滑，恰好匀速进入和离开匀强磁场。已知线框边长为、质量为、电阻大小为R，木块质量也为，重力加速度为g，试求：（1）匀强磁场的磁感应强度B；（2）导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热Q。【答案】（1）；（2）【规范答题】（1）导线框匀速进入磁场时，受力平衡，受力情况如图所示根据平衡条件有其中导线框与木块通过光滑细线相连，线框匀速进入磁场时，木块匀速下降，根据平衡条件有对导线框和木块构成的系统，进入磁场前二者一起做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有根据运动学方程可得进入磁场时速度以上各式联立求解可得（2）线框恰好匀速进入和离开匀强磁场，导线框通过匀强磁场过程中，线框和木块组成系统减少重力势能转化为电路中产生焦耳热，根据能量守恒定律得所以导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热7．（2022·江苏南京·模拟预测）如图甲所示，利用粗糙绝缘的水平传送带输送一正方形单匝金属线圈abcd，传送带以恒定速度v0运动。传送带的某正方形区域内有一竖直向上的匀强磁场，该磁场相对地面静止，且磁感应强度大小为B，当金属线圈的bc边进入磁场时开始计时，直到bc边离开磁场，其速度与时间的关系如图乙所示，且在传送带上始终保持ad、bc边平行于磁场边界。已知金属线圈质量为m，电阻为R，边长为L，线圈与传送带间的动摩擦因数为μ，且ad边刚进入磁场时线框的速度大小为v1，重力加速度为g。求：（1）正方形磁场区的边长d；（2）线圈完全进入磁场的时间t；【答案】（1）；（2）【规范答题】线框从完全进入磁场至bc边到达磁场右边缘的过程中，由动能定理得解得由法拉第电磁感应定律得①由欧姆定律得②电流的定义式得③联立①②③得④线圈完全进入磁场的时间为t，由动量定理得⑤联立④⑤得8．（2022·山东·莱州市第一中学模拟预测）如图所示，为某研究小组设计的磁悬浮电梯的简化模型，在竖直平面上相距为的两根很长的平行滑轨，竖直安置，沿轨道安装的线路通上励磁电流，便会产生沿轨道移动的周期性磁场。组成周期性磁场的每小块磁场沿滑轨方向宽度相等，相间排列。相间的匀强磁场B1和B2垂直轨道平面，B1和B2方向相反，大小相等，即B1=B2=B，每个磁场的宽度都是。采用轻巧碳纤维材料打造的一电梯轿厢里固定着绕有N匝金属导线的闭合正方形线框ABCD（轿厢未画出且与线框绝缘），边长为，总电阻为R。利用移动磁场与金属线框的相互作用，使轿厢获得牵引力，从而驱动电梯上升。已知磁场以速度v0向上匀速运动，电梯轿厢的总质量为M、运动中所受的摩擦阻力恒为，重力加速度为g。（1）电梯轿厢向上运动的最大速度；（2）不考虑其它能量损耗，为了维持轿厢匀速上升，外界在单位时间内需提供的总能量；（3）假设磁场由静止开始向上做匀加速运动来启动电梯轿厢，当两磁场运动的时间为t时，电梯轿厢也在向上做匀加速直线运动，此时轿厢的运动速度为v，求由磁场开始运动到电梯轿厢刚开始运动所需要的时间。【答案】（1）；（2）；（3）【规范答题】（1）电梯轿厢向上运动最大速率为时，线框相对磁场的速率为，线框中上、下两边都切割磁感线，产生感应电动势为则此时线框所受的安培力大小根据闭合电路欧姆定律由平衡条件可得解得（2）依题意，不考虑其它能量损耗，为了维持轿厢匀速上升，则外界在单位时间内需提供的总能量等于安培力的功率，为即（3）根据题意可知，两磁场做匀加速直线运动的加速度应与电梯轿厢做匀加速直线运动的加速度大小相等，设加速度为a，t时刻线框相对磁场的速率为线框产生感应电动势为据牛顿第二定律整理得解得设磁场开始运动到电梯轿厢开始运动所需要的时间为t0，t0时刻线框中感应电动势为安培力此时刻解得9．（2022·广东·蛇口育才中学模拟预测）如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以O为原点、水平向右为正方向建立x轴，在区域内存在方向竖直向上的匀强磁场。桌面上有一边长L=0.5m、电阻R=0.25Ω的正方形线框abcd，当平行于磁场边界的cd边进入磁场时，在沿x方向的外力F作用下以v=1.0m/s的速度做匀速运动，直到ab边进入磁场时撤去外力。若以cd边进入磁场时作为计时起点，在内磁感应强度B的大小与时间t的关系如图2所示，由图2可知，0.5s时ab边刚好进入磁场，1.0s时cd边开始出磁场，1.5s时线框刚好全部出磁场。已知在内线框始终做匀速运动。（1）求外力F的大小；（2）在内存在连续变化的磁场从而保证线框能匀速出磁场，求在这段时间内磁感应强度B的大小与时间t的关系；（3）求在内流过导线横截面的电荷量q。【答案】（1）0.0625N；（2）；（3）0.5C【规范答题】（1）由图可知，在时，磁感强度为大小为，回路电流线框所受安培力由于线框匀速运动解得外力（2）线框匀速离开磁场，线框中的感应电流为0，磁通量不变时，即在时，磁感强度大小为，此时的磁通量为因此在t时刻，磁通量解得（3）根据而因此在时间内，电荷量在时间内，电荷量在时间，线框无感应电流，所以总电荷量10．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）如图所示，ABCD是N匝（N=20）的矩形闭合金属线框放置于水平面上，其质量m=1kg、阻值R=2Ω、长度d=0.4m、宽度为L=0.2m，水平面上依次间隔分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B=0.5T、宽度也为L、长度及磁场间的距离均为d，线框在轨道上运动过程中受到的摩擦阻力f大小恒为4N。现线框的AB边与左边第一个磁场的左边界重合，给线框施加一水平向右的力使线框从静止开始向右运动，问：（1）若让小车以恒定加速度a=2m/s2运动，求力F与随时间t变化的关系式；（2）若给线框施加的力的功率恒为P1=16W，该力作用作用一段时间t1=6s后，线框已达最大速度，且此时线框刚好穿出第13个磁场（即线框的CD边刚好与第13个磁场的右边界重合），求线框在这段时间内产生的焦耳热；（3）若给线框施加的力恒为F0=12N，且F0作用t0=4s时间线框已达到最大速度，求t0时间内线框产生的焦耳热。【答案】（1）；（2）Q1=52.4J；（3）Q0=104J【规范答题】（1）当线框匀加速时，依题意有根据牛顿第二定律得（2）当线框达到最大速度v1时，有代入数据得当线框刚好穿出第十三个磁场时，线框的位移得根据动能定理线框的焦耳热（3）当线框达到最大速度v0时，有代入数据得根据动量定理得根据动能定理线框的焦耳热