高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 不等式性质导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 不等式性质导学案，共8页。


1．如何比较两个实数的大小？
2．等式的基本性质有哪些？
3．不等式的基本性质有哪些？
知识点1 实数大小比较的基本事实
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a2．符号表示
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
(2)p⇔q的含义是什么？
[提示] (1)是．
(2)p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．
1.当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
[提示] ∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.
[答案] m3>m2－m＋1
知识点2 不等式的性质
性质1：如果a>b，且b>c，那么a>c.
性质2：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质3：(1)如果a>b，c>0，那么ac>bc；
(2)如果a>b，c<0，那么ac性质4：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质5：(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；
(2)如果a>b>0，c性质6：当a>b>0时，eq \r(n,a)>eq \r(n,b)，其中n∈N＋，n≥2.
(1)若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
(2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
[提示] (1)a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立．
(2)不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立．
2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
[答案] C
3.下列命题正确的是( )
A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2 B．aC．a>b且cb＋d D．a>b⇒a2>b2
[答案] A
4.若a>b>0，n>0，则eq \f(1,an)________eq \f(1,bn).(填“>”“<”或“＝”)
[答案] <
类型1 数式的大小比较
【例1】 (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与eq \f(1,a)的大小．
[解] (1)(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))).
∵x<1，
∴x－1<0.
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
∴(x－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))<0.
即x3－1<2x2－2x.
(2)∵a－eq \f(1,a)＝eq \f(a2－1,a)＝eq \f(a－1a＋1,a)，
又∵a>0，
∴当a>1时，eq \f(a－1a＋1,a)>0，
有a>eq \f(1,a)；
当a＝1时，eq \f(a－1a＋1,a)＝0，有a＝eq \f(1,a)；
当0综上，当a>1时，a>eq \f(1,a)；
当a＝1时，a＝eq \f(1,a)；
当01．利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)作出结论．
注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
2．作商法比较大小
如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法图示如下：
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1D．x2＋y2≤2xy－1
A [因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A.]
2．已知x>y>0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小．
[解] 由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)·(x＋2y)，
∵x>y>0，∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，
∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，
即x3－2y3>xy2－2x2y.
类型2 不等式的性质
【例2】 (1)已知b<2a,3dA．2a－c>b－3dB．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3dD．2a＋3d>b＋c
(2)若c>a>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
(1)C [(1)由于b<2a,3d(2)证明：因为a>b>0⇒－a<－b⇒c－a因为c>a，所以c－a>0.
所以0上式两边同乘eq \f(1,c－ac－b)，
得eq \f(1,c－a)>eq \f(1,c－b)>0.
又因为a>b>0，所以eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).]
1．利用不等式的性质判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bcB．ac>bc
C．ab>acD．a|b|>|b|c
C [因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.]
4．若a>b>0，ceq \f(e,b－d2).
[证明] ∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，两边同乘eq \f(1,a－c2b－d2)，
得0又e<0，
∴eq \f(e,a－c2)>eq \f(e,b－d2).
类型3 不等式的性质的应用
【例3】 已知12＜a＜60,15＜b＜36，求a－b，eq \f(a,b)的取值范围．
[解] ∵15＜b＜36，
∴－36＜－b＜－15.
又12＜a＜60，
∴12－36＜a－b＜60－15.
∴－24＜a－b＜45.
又eq \f(1,36)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,15)，
∴eq \f(12,36)＜eq \f(a,b)＜eq \f(60,15).
∴eq \f(1,3)＜eq \f(a,b)＜4.
1．在例3的条件下，求eq \f(1,2)a－eq \f(1,3)b的取值范围．
[解] ∵12＜a＜60,15＜b＜36，
∴6∴－62．若将本例中的条件改为“2≤a－b≤4,1≤a＋b≤2”，求2a－b的取值范围．
[解] 设2a－b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即2a－b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝2,n－m＝－1)) ，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,2),n＝\f(1,2)))
∴2a－b＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b)).
又∵2≤a－b≤4,1≤a＋b≤2，
∴eq \f(7,2)≤eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))≤7.
即eq \f(7,2)≤2a－b≤7.
求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用“若等式恒成立，则等式两边对应项系数相等”求出待定系数的取值，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
5．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
[解] 设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
解得λ1＝eq \f(5,3)，λ2＝－eq \f(2,3).
又－eq \f(5,3)≤eq \f(5,3)(a＋b)≤eq \f(5,3)，－2≤－eq \f(2,3)(a－2b)≤－eq \f(2,3)，
所以－eq \f(11,3)≤a＋3b≤1.
故a＋3b的取值范围为－eq \f(11,3)≤a＋3b≤1.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式 x≥2 的含义是指x不小于2.( )
(2) 若 a>b，则ac>bc.( )
(3)当n∈N*时，若a>b，则an>bn.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．设P＝3x2－x＋1，Q＝2x2＋x则( )
A．P≥QB．P≤Q
C．P>QD．PA [因为P－Q＝x2－2x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))2≥0，所以P≥Q.]
3．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则( )
A．b<0，c<0B．b>0，c>0
C．b>0，c<0D．0D [由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，
又∵b>c，∴04．已知A＝a2＋b2－4a＋2b＋5，则A与0的大小关系是________．
A≥0 [A＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋1))2≥0.]
5．若x＜y＜0，则(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小关系是________．
> [(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．]
学 习 目 标
核 心 素 养
1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．(重点)
2．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点)
1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养．
2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养.
依据
a>0，b>0
eq \f(a,b)>1⇔a>b；
eq \f(a,b)＝1⇔a＝b；
eq \f(a,b)<1⇔aa<0，b<0
eq \f(a,b)>1⇔aeq \f(a,b)＝1⇔a＝b；
eq \f(a,b)<1⇔a>b
应用范围
同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小
步骤
(1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论