2022年广西玉林市中考数学真题 （教师版）

这是一份2022年广西玉林市中考数学真题 （教师版），共26页。

2022年玉林市初中学业水平考试
数学
（全卷共三大题，共4页，满分120分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
注意事项：
1．将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
2．选择题年小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑。
3、非选择题，考生用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答。
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1. 5的倒数是( )
A. B. C. 5 D.
【答案】A
【详解】
【分析】根据倒数的意义可直接进行求解．
【详解】解：5的倒数是；
故选A．
【解题思路】本题主要考查倒数，熟练掌握求一个数的倒数是解题的关键．
2. 下列各数中为无理数的是( )
A. B. 1.5 C. 0 D.
【答案】A
【详解】
【分析】根据无理数是无限不循环小数可直接进行排除选项．
【详解】解：A选项是无理数，而B、C、D选项是有理数，
故选A．
【解题思路】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
3. 今年我市高中计划招生52300人，将数据52300用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
【分析】根据科学记数法进行改写即可．
【详解】，
故选：C．
【解题思路】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，n为整数，正确确定a的值是解题的关键．
4. 如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
【分析】根据俯角的定义可直接得出结果．
【详解】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，
∴∠DAC为对应的俯角，
故选D．
【解题思路】题目主要考查对俯角定义的理解，深刻理解俯角的定义是解题关键．
5. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是( )

A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
【分析】根据几何体的三视图可进行求解．
【详解】解：由题意可知该几何体的主视图为；
故选B．
【解题思路】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
6. 请你量一量如图中边上高的长度，下列最接近的是( )


A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AO⊥BC，


用刻度尺直接量得AO更接近2cm，
故选：D．
【解题思路】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键．
7. 垃圾分类利国利民，某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：
①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率
②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表
③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比
正确统计步骤的顺序应该是( )
A. ②→③→① B. ②→①→③ C. ③→①→② D. ③→②→①
【答案】A
【详解】
【分析】根据统计数据收集处理的步骤即可得出结果．
【详解】解：按照统计步骤，先②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表，然后③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比，最后得出①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率，
∴正确的步骤为：②→③→①，
故选：A．
【解题思路】题目主要考查统计数据收集处理的步骤，理解题意是解题关键．
8. 若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )

A. ① B. ② C. ③ D. ①或②
【答案】B
【详解】
【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．
【详解】解：
=
=
=
=1；
故选B．
【解题思路】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
9. 龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是( )

A. 兔子和乌龟比赛路程500米 B. 中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C. 兔子比乌龟多走了50米 D. 比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
【答案】C
【详解】
【分析】依据函数图象进行分析即可求解．
【详解】由函数图象可知：兔子和乌龟比赛的路程为500米，兔子休息的时间为50-10=40分钟，乌龟休息的时间为35-30=5分钟，即兔子比乌龟多休息40-5=35分钟，比赛中兔子用时55分钟，乌龟用时60分钟，兔子比乌龟早到终点5分钟，
据此可知C项表述错误，
故选：C．
【解题思路】本题考查了根据函数图象获取信息的知识，读懂函数图象的信息是解答本题的关键．
10. 若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定是( )
A. 互相平分 B. 互相垂直 C. 互相平分且相等 D. 互相垂直且相等
【答案】D
【详解】
【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．
【详解】解：如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AD、DC、BC、AB的中点，


∴，
∴四边形EFGH平行四边形，
对于A选项：对角线互相平分，四边形EFGH仍是平行四边形，故不符合题意；
对于B选项：对角线互相垂直，则有，可推出四边形EFGH是矩形，故不符合题意；
对于C选项：对角线互相平分且相等，则有，可推出四边形EFGH是菱形，故不符合题意；
对于D选项：对角线互相垂直且相等，则有，，可推出四边形EFGH是正方形，故符合题意；
故选D．
【解题思路】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键．
11. 小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【详解】
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
【解题思路】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
12. 如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )


A. 4 B. C. 2 D. 0
【答案】B
【详解】
【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，
∴，
∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处，
连接AE，过点F作FG⊥AE于点G，如图所示：


在正六边形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【解题思路】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡中的横线上．
13. 计算：_____________．
【答案】-1
【详解】
【分析】根据有理数的除法运算可进行求解．
【详解】解：原式=；
故答案为-1．
【解题思路】本题主要考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键．
14. 计算：_____________．
【答案】2a
【详解】
【分析】按照合并同类项法则合并即可．
【详解】3a-a=2a，
故答案为：2a．
【解题思路】本题考查了合并同类项，解题关键是熟练运用合并同类项法则进行计算．
15. 已知∠α=60°，则∠α的余角等于____度．
【答案】30
【详解】
【详解】∵互余两角的和等于90°，
∴α的余角为：90°-60°=30°.
故答案为：30
16. 数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．

【答案】1
【详解】
【分析】根据题意结合图象得出AB=AD=1，，利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即可．
【详解】解：根据图象可得：AB=AD=1，
，
∴，
故答案为：1．
【解题思路】题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及面积公式是解题关键．
17. 如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．

【答案】△ADC、△BDC、△ABD
【详解】
【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解．
【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：，
则外接圆半径，
图中D点到O点距离为：，
图中E点到O点距离为：，
则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
故答案为：△ADC、△ADB、△BDC．
【解题思路】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键．
18. 如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论：
① ②当时，
③ ④
则所有正确结论的序号是_____________．

【答案】②③
【详解】
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理即可求出，即可判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征即可求出，当时，即可求出k的值，即可判断②正确；将点代入直线，即可求出m的值，即可判断③正确；再根据底乘高即可计算，继而判断④错误．
【详解】直线，
当时，，
，
，
四边形是菱形，
，
A与B关于x轴对称，设AB交x轴于点D，


在中，，
，故①错误；
在双曲线上，
，
，
当时，，故②正确；
，
，
点B在直线上，
，
，
，故③正确；
，故④错误；
综上，正确结论的序号是②③，
故答案为：②③．
【解题思路】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、反比例函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分，解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字说明）．将解答写在答题卡上．
19. 计算：．
【答案】3
【详解】
【分析】先化简每项，再加减计算，即可求解．
【详解】原式

【解题思路】本题考查零次幂，二次根式，绝对值，三角函数；注意先每项正确化简，再加减计算即可求解．
20. 解方程：．
【答案】
【详解】
【分析】两边同时乘以公分母，先去分母化为整式方程，计算出x，然后检验分母不为0，即可求解．
【详解】，
，
解得，
经检验是原方程的解，
故原方程的解为：
【解题思路】本题考查解分式方程，注意分式方程要检验．
21. 问题情境：
在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：① ② ③若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究与全等．

问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，与全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求的概率．
【答案】（1）全等，理由见详解
（2）
【详解】
【分析】（1）利用SSS即可作答；
（2）先找到可以证明△ABD≌△ACD的条件组合，再利用列表法列举即可求解．
【小问1详解】
全等，
理由：∵AB=AC，DB=DC，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)；
【小问2详解】
根据全等的判定方法可知①、②组合(SSS)或者①、③组合(SAS)可证明△ABD≌△ACD，
根据题意列表如下：

由表可知总的可能情况有6种，其中能判定△ABD≌△ACD的组合有4种，
能判定△ABD≌△ACD的概率为：4÷6=，
故所求概率为．
【解题思路】本题考查了全等三角形判定、用列表法或树状图法求解概率的知识，掌握全等的判定方法是解答本题的关键．
22. 为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：
87 99 86 89 91 91 95 96 87 97
91 97 96 86 96 89 100 91 99 97
整理数据：
成绩（分）
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数（人）
2
2
2
a
1
3
b
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
c
d
解决问题：
（1）直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
【答案】（1）a=4；b=3；c=91；d=93；
（2）“优秀”等级所占的百分率为50%；
（3）估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为750人．
【详解】
【分析】（1）直接根据学生成绩的数据得出a、b的值；由众数的定义确定c的值；根据中位数的计算方法确定d的值即可；
（2）先求出优秀的总人数，然后求所占百分比即可；
（3）用总人数乘以（2）中结论即可．
【小问1详解】
解：根据学生的成绩得出：得91分的学生人数为4人，
∴a=4；
得97分的学生人数为4人，
∴b=3；
得91分的学生人数最多，出现4次，
∴众数为91，
∴c=91；
共有20名学生，所以中位数为第10、11位学生成绩的平均数，
∵2+2+2+4=10，2+2+2+4+1=11，
∴第10、11位学生成绩分别为91，95，
∴d=；
【小问2详解】
解：95分及以上的人数为：1+3+3+2+1=10，
∴，
“优秀”等级所占的百分率为；
【小问3详解】
解：1500×50%=750，
估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为750人．
【解题思路】题目主要考查对数据的分析，包括求众数、中位数、优秀人数所占的百分比，估计总人数等，理解题意，综合运用这些知识的是解题关键．
23. 如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见详解 （2）
【详解】
【分析】(1)连接OD，由题意可证，由，可得，即可证得EF是⊙O的切线；
(2) 连接BC，过点C作于点M，过点D作于点N，首先根据勾股定理可求得BC，根据面积可求得CM，再根据勾股定理可求得AM，再根据圆周角定理可证得，即可求得DN、ON的长，据此即可解答．
【小问1详解】
证明：如图：连接OD，

，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
是⊙O的半径，
EF是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：如图：连接BC，过点C作于点M，过点D作于点N，

，
是⊙O的直径，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
是⊙O的直径，AB=10，
，
，
，ON=3，
，
．
【解题思路】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，圆的切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定及性质，求角的正切值，作出辅助线是解决本题的关键．
24. 我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼千，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【答案】（1）第一次购买了7吨龙眼，第二次购买了14吨龙眼
（2）至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉
【详解】
【分析】（1）设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，则总的销售额为：，则根据题意有不等式，解该不等式即可求解．
【小问1详解】
设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，
根据题意有：
，解得：，
即第一次购买龙眼7吨，第二次购买龙眼14吨；
【小问2详解】
设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，
则总的销售额为：，
则根据题意有：，
解得：，
即至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉．
【解题思路】本题考查了二元一次方程组即一元一次不等式的应用，明确题意列出二元一次方程组即一元一次不等式是解答本题的关键．
25. 如图，在矩形中，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作交的延长线于点F，设．


（1）求的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接交于点G，连接，当时，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）
（2）见详解
【详解】
【分析】（1）根据矩形的性质可得，然后可证，进而根据相似三角形的性质可求解；
（2）如图，连接AC，由题意易证四边形是平行四边形，然后可得，进而可证，则可证，最后问题可求证．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
证明：由题意可得如图所示：


连接AC，
在矩形中，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【解题思路】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键．
26. 如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．


（1）求抛物线的详解式；
（2）若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）不能，理由过程见详解
（3）(1,4)或者()
【详解】
【分析】（1）根据抛物线对称轴即可求出b，再根据抛物线过B点即可求出C，则问题得解；
（2）假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，根据等边三角形的性质即可求出P点坐标，再验证P点是否在抛物线上即可求证；
（3）先根据PH⊥BO，求得∠MHB=90°，根据（2）中结果求得OC=4，根据B点(2,0)，可得OB=2，则有tan∠CBO=2，分类讨论：第一种情况：△BMH∽△CMP，即可得，即P点纵坐标等于C点纵坐标则可求出此时P点坐标为(1,4)；第二种情况：△BMH∽△PMC，过P点作PG⊥y轴于点G，先证明∠GCP=∠OBC，即有tan∠GCP=2，即有2GC=GP，设GP=a，则GC=，即可得PH=OG=+4，则有P点坐标为(a,+4)，代入到抛物线即可求出a值，则此时P点坐标可求．
【小问1详解】
∵的对称轴为，
∴，即b=2，
∵过B点(2,0)，
∴，
∴结合b=2可得c=4，
即抛物线详解式为：；
【小问2详解】
△POD不可能是等边三角形，
理由如下：
假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，如图，


∵当x=0时，，
∴C点坐标为(0,4)，
∴OC=4，
∵D点是OC的中点，
∴DO=2，
∵在等边△POD中，PN⊥OD，
∴DN=NO=DO=1，
∵在等边△POD中，∠NOP=60°，
∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°=，
∴P点坐标为(,1)，
经验证P点不在抛物线上，
故假设不成立，
即△POD不可能是等边三角形；
【小问3详解】
∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根据（2）中的结果可知C点坐标为(0,4)，
即OC=4，
∵B点(2,0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分类讨论
第一种情况：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴，
∴即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，
当y=4时，，
解得：x=1或者0，
∵P点在第一象限，
∴此时P点坐标为(1,4)，
第二种情况：△BMH∽△PMC，
过P点作PG⊥y轴于点G，如图，


∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
设GP=a，
∴GC=，
∴GO=+OC=+4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四边形PGOH是矩形，
∴PH=OG=+4，
∴P点坐标为(a,+4)，
∴，
解得：a=或者0，
∵P点在第一象限，
∴a=，
∴，
此时P点坐标为()；
∵△BMH与△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，
通过相似可知△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，故不存在当∠CPM为直角时，∠PCM=∠BMH相等的情况；
同理不存在当∠PCM为直角时，∠CPM=∠BMH相等的情况，
综上所述：P点坐标为：(1,4)或者()．
【解题思路】本题考查了求解抛物线详解式、二次函数的图像与性质、等边三角形的判定、相似三角形的性质、解直角三角形等知识，掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键．