2022年辽宁省锦州市中考数学真题（教师版）

这是一份2022年辽宁省锦州市中考数学真题（教师版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年辽宁省锦州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ﹣2022的绝对值是（　　）
A. B. C. 2022 D. ﹣2022
【答案】C
【详解】
【分析】根据绝对值的意义可直接得出答案．
【详解】解：−2022的绝对值是2022，
故选：C．
【解题思路】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．
2. 党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展．据报道，截至2021年底，我国高技能人才超过60000000人，请将数据60000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据60000000用科学记数法表示为；
故选B．
【解题思路】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
3. 如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ）


A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：
该几何体的主视图为 ；
故选C．
【解题思路】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
4. 某校教师自愿者团队经常做公益活动，下表是对10名成员本学期参加公益活动情况进行的统计：
次数/次
10
8
7
4
人数
3
4
2
1
那么关于活动次数的统计数据描述正确的是（ ）
A. 中位数是8，平均数是8 B. 中位数是8，众数是3
C. 中位数是3，平均数是8 D. 中位数是3，众数是8
【答案】A
【详解】
【分析】由表格可直接进行求解．
【详解】解：由表格得：次数为8的人数有4人，故众数为8，这组数据的中位数为，平均数为；
故选A．
【解题思路】本题主要考查平均数、众数及中位数，熟练掌握平均数、众数与中位数的求法是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项逐一判断即可．
【详解】解：A．，故本选项不合题意；
B．，故本选项符合题意；
C．，故本选项不合题意；
D．，故本选项不合题意．
故选：B．
【解题思路】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记这些运算法则是解答本题的关键．
6. 如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为（ ）


A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
【分析】如图，根据平行线的性质可得∠3=∠1=110°，则有∠4=70°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【详解】解：如图，

∵，，
∴∠3=∠1=110°，
∴，
∵
∴；
故选C．
【解题思路】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
7. 如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（ ）


A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
【分析】根据矩形可知为直角三角形，根据勾股定理可得的长度，在中得到，又由题知为的垂直平分线，于是 ，于是在中，利用锐角三角函数即可求出的长．
【详解】解：设与的交点为，


四边形为矩形，
，，，
为直角三角形，
，，
，
，
又由作图知为的垂直平分线，
，，
在中，
，
，
，
．
故选：D．
【解题思路】本题主要考查矩形的性质，锐角三角函数，垂直平分线，勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键．
8. 如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）


A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
【分析】由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意知：，
∴，
由折叠的性质可得：，
当点P与AB中点重合时，则有，
当点P在AB中点的左侧时，即，
∴与重叠部分的面积为；
当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示：

由折叠性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴与重叠部分的面积为；
综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；
故选D．
【解题思路】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. 甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲生10次立定跳远成绩的方差为，乙生10次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是___________．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【详解】
【分析】根据方差可直接进行求解．
【详解】解：由，可知：，且甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，所以甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是乙；
故答案为乙．
【解题思路】本题主要考查方差，熟练掌握方差的相关知识点是解题的关键．
10. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________．
【答案】6
【详解】
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为8×=6（个）．
故答案为：6．
【解题思路】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
11. 若关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】k＜
【详解】
详解】解：由题意得：△=9﹣4k＞0，
解得：k＜，
故答案为：k＜．
12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．

【答案】40°##40度
【详解】
【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
【解题思路】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
13. 如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________．


【答案】3
【详解】
【分析】由正方形的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
【解题思路】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．

【答案】2
【详解】
【分析】作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，证明△ADC≌△BDO，推出S△OAC = S△OAB=1，由此即可求得答案．
【详解】解：设A(a，b) ，如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，

则：AC=b ，OC=a ，AC∥OB，
∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，
∴△ADC≌△BDO，
∴S△ADC=S△BDO，
∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，
∴×OC×AC=ab=1，
∴ab=2，
∵A(a，b) 在y=上，
∴k=ab=2 ．
故答案为：2 ．
【解题思路】本题考查了反比例函数性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线进行解题．
15. 如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：
①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）

【答案】①②##②①
【详解】
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点和点，则对称轴，故，故③错误；
④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；
综上所述，正确的为①②．
故答案为：①②．
【解题思路】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
16. 如图，为射线上一点，为射线上一点，．以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；…，按此规律进行下去，则的面积___________．


【答案】
【详解】
【分析】过点作于点D，连接，分别作，然后根据菱形的性质及题意可得，则有，进而可得出规律进行求解．
【详解】解：过点作于点D，连接，分别作，如图所示：


∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵菱形，且，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴，
由上可得：，，
∴，
故答案．
【解题思路】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及三角函数是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】
【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
把代入得：原式=．
【解题思路】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．
18. 某校为了传承中华优秀传统文化，举行“薪火传承育新人”系列活动，组建了四个活动小组：A（经典诵读），B（诗词大赛），C（传统故事），D（汉字听写）．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组．学校随机抽取了部分学生，对其参加活动小组的情况进行了调查．下面图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图．


请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次随机调查的学生有___________名，在扇形统计图中“C”部分圆心角的度数为___________；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名学生，请根据以上调查结果，估计参加“B”活动小组的人数．
【答案】（1）50、108°
（2）见详解 （3）估计参加“B”活动小组的人数约有150名．
【详解】
【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数，根据各类型人数之和等于总人数求得C的人数，用360°乘以C人数所占比例即可得其对应圆心角度数；
（2）据（1）的数据补全图形即可得；
（3）总人数乘以B活动小组人数和所占比例即可；
【小问1详解】
解：本次调查的总人数为10÷20%=50（名），
C活动小组人数为50-（10+5+20）=15（名），
扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角度数是360°×=108°，
故答案为：50、108°；
【小问2详解】
解：由（1）得C活动小组人数为15名，
补全图形如下：
；
【小问3详解】
解：估计参加“B”活动小组的人数有1500×=150（名）．
【解题思路】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19. 小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的甲盒中，再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的乙盒中．
（1）小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为___________；
（2）小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌．请用画树状图或列表方法，求抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率．
【答案】（1）
（2）
【详解】
【分析】（1）先求出从甲盒中随机抽取1张有4种等可能的结果，抽到扑克牌花色为“红心”结果只有1种，再利用概率公式求解；
（2）先列出表，进而得到从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌共有16种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的结果有2种，利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：根据题意可知
从甲盒中随机抽取1张有4种等可能的结果，抽到扑克牌花色为“红心”结果只有1种，
所以抽到扑克牌花色为“红心”的概率为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：

红心甲
黑桃甲
方块甲
梅花甲
红心乙
红心甲，红心乙
黑桃甲，红心乙
方块甲，红心乙
梅花甲，红心乙
黑桃乙
红心甲，黑桃乙
黑桃甲，黑桃乙
方块甲，黑桃乙
梅花甲，黑桃乙
方块乙
红心甲，方块乙
黑桃甲，方块乙
方块甲，方块乙
梅花甲，方块乙
梅花乙
红心甲，梅花乙
黑桃甲，梅花乙
方块甲，梅花乙
梅花甲，梅花乙
从图中可知，从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌共有16种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的结果有2种，
所以抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率是．
【解题思路】本题主要考查了概率公式和用树状图或列表法求概率，理解相关知识是解答关键．
20. 2022年3月23日“天官课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
【答案】A款套装的单价是180元、B款套装的单价是150元．
【详解】
【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
由题意得：，
解得：x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x=180．
答：A款套装的单价是180元、B款套装的单价是150元．
【解题思路】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
21. 如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．


【答案】货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【详解】
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：过B作BD⊥AC于D，


由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°，
在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，
∴BD= BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【解题思路】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22. 如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使．

（1）求证：为的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明见详解；
（2）3；
【详解】
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，由等弧对等角可得∠BAD=∠CAD=∠BAC，再进行等量代换可得∠ABF=90°便可证明；
（2）连接AD、BE，由圆周角定理可得∠AEB=90°，∠BOD=2∠BAD，于是∠BOD=∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB∶AE=OF∶AB，再代入求值即可；
【小问1详解】
证明：如图，连接AD，

AB是圆的直径，则∠ADB=90°，
D为的中点，则∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵，
∴∠CBF=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABF=∠ABD+∠CBF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接AD、BE，

AB是圆的直径，则∠AEB=90°，
∵∠BOD=2∠BAD，∠BAC=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BAC，
又∵∠ABF=∠AEB=90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB∶AE=OF∶AB，
∴OB∶4=∶2OB，OB2=9，
OB＞0，则OB=3，
∴的半径为3；
【解题思路】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
23. 某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当时，；当时，．
（1）求y与x之间函数关系式；
（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数关系式为
（2）这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【详解】
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，然后代值求解即可；
（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得，进而根据二次函数的性质可求解．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为，由题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：设每天获得的利润为w元，由（1）可得：
，
∵，且-10＜0，
∴当时，w有最大值，最大值为160；
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【解题思路】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．
24. 如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接．
　　 　　

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长．
【答案】（1）见详解 （2），理由见详解
（3）
【详解】
【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可得证；
（2）证明，根据（1）的结论即可得；
（3）连接，过点作于，证明，可得，勾股定理求得，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

，D，E，F分别为的中点，
，，
，
，
【小问2详解】
，理由如下，
连接，如图，
，D，E，F分别为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，

将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，
，
，
，
，
，
，
【小问3详解】
如图，连接，过点作于，

中，,
，
，
，
，
，
，
，
中，
，
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解题思路】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．


（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点P的横坐标为或或或
【详解】
【分析】（1）把点和代入详解式求解即可；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，由（1）设，直线AC的详解式为，然后可求出直线AC的详解式，则有，进而可得，最后根据可进行求解；
（3）由题意可作出图象，设，然后根据题意及k型相似可进行求解．
【小问1详解】
解：把点和代入得：
，解得：，
∴抛物线的详解式为；
【小问2详解】
解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：


设，直线AC的详解式为，
由（1）可得：，
∴，解得：，
∴直线AC的详解式为，
∴，
∴，
∵DH∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
【小问3详解】
解：由题意可得如图所示：


分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．
【解题思路】本题主要考查二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．