2023年人教版八年级数学下册《平行四边形性质与判定》分层练习(2份打包，教师版+原卷版)

2023年人教版八年级数学下册

《平行四边形性质与判定》分层练习

平行四边形的性质

1.如图，在▱ABCD中，连结AC，∠B＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是 (     　)

A.       B.2           C.2           D.4

【答案解析】C

2.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB长为(  )

A.4                          B.3                         C.2.5                           D.2

【答案解析】B

3.已知▱ABCD的两条对角线AC＝18，BD＝8，则BC的长度可能为(　　)

A.5       B.10          C.13          D.26

【答案解析】B.

4.如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝18°，则∠2＝(　　)

A.98°            B.102°             C.108°           D.118°

【答案解析】C.

5.如图，点E在▱ABCD的边BC上，BE＝CD.若∠EAC＝20°，∠B＋∠D＝80°，则∠ACD的度数为　　    .

【答案解析】答案为：90°.

6.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为　   　.

【答案解析】答案为：15.

7.在平行四边形ABCD中，已知AD＝10cm，AB垂直于BD，点O是两条对角线的交点，OD＝4cm，则AB＝     cm.

【答案解析】答案为：6.

8.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE＋AF＝2，则平行四边形ABCD的周长是_____.

【答案解析】答案为：8.

9.如图，在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连结EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连结AN，CM.

(1)求证：△AFN≌△CEM；

(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．

【答案解析】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，

∴∠AFN＝∠CEM.

∵FN＝EM，AF＝CE，∴△AFN≌△CEM(SAS)．

(2)解：∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF＝∠ECM.

∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，∴107°＝72°＋∠ECM，∴∠ECM＝35°，∴∠NAF＝35°.

10.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F.

(1)求证：BF＝CD；

(2)连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝2，求平行四边形ABCD的周长.

【答案解析】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，

又∵AF平分∠BAD，

∴∠FAD＝∠FAB.

∴∠AFB＝∠FAB.

∴AB＝BF，

∴BF＝CD；

(2)解：∵由(1)知：AB＝BF，

又∵∠BFA＝60°，

∴△ABF为等边三角形，

∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，

∵BE⊥AF，

∴点E是AF的中点.

∵在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝2，

∴EF＝2，BF＝4，

∴AB＝BF＝4，

∵四边形BACD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，

∴∠DCF＝∠ABC＝60°＝∠F，

∴CE＝EF，

∴△ECF是等边三角形，

∴CE＝EF＝CF＝2，

∴BC＝4﹣2＝2，

∴平行四边形ABCD的周长为2＋2＋4＋4＝12.

平行四边形的判定

11.在四边形ABCD中，AD∥BC，若ABCD是平行四边形，则还应满足(  )

A.∠A＋∠C＝180°    B.∠B＋∠D＝180°

C.∠A＋∠B＝180°    D.∠A＋∠D＝180°

【答案解析】D

12.下列命题中，真命题的个数是(    )

①对角线互相平分的四边形是平行四边形.

②两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.

A.3       B.2     C.1      D.0

【答案解析】B.

13.下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是(    )

A.一组对角相等                  B.对角线互相平分    C.一组对边相等                 D.对角线互相垂直

【答案解析】B

14.已知四边形ABCD是平行四边形，再从：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(　　)

A.选①②     B.选②③      C.选①③   D.选②④

【答案解析】B

15.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件　　        ，使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可).

【答案解析】答案为：AF＝CE.

16.在四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件之一：①AB∥CD；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠C.能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是         .

【答案解析】答案为：①或③.

17.已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　　   .

【答案解析】答案为：4或﹣2.

18.一个四边形四条边顺次是a、b、c、d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是_________.

【答案解析】答案为：平行四边形.

19.如图，已知OM⊥ON，OP＝x﹣3，OM＝4，ON＝x﹣5，MN＝5，MP＝11﹣x.

求证：四边形OPMN是平行四边形.

【答案解析】解：∵OM⊥ON，∴在直角三角形MON中，OM2＋ON2＝MN2，

∵OM＝4，ON＝x﹣5，MN＝5，∴42＋(x﹣5)2＝52，解得：x＝8，

∴MP＝11﹣x＝11﹣8＝3，ON＝x﹣5＝8﹣5＝3，OP＝x﹣3＝8﹣3＝5，

∴MP＝ON，PO＝NM∴四边形OPMN是平行四边形.

20.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧.点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连结PE，设点P的运动时间为t秒.

(1)若PE⊥BC，求BQ的长；

(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

【答案解析】证明：(1)作AM⊥BC于M，如图所示：

∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，

∴AB＝AC，∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5，

∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°，

∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，

∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，

∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，

∴5﹣t＝2t﹣2，解得：t＝，BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝ ；

(2)存在，t＝4；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，

∴t＝10﹣2t＋2，解得：t＝4，

∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4.

三角形中位线定理

21.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF周长为(     )

A.9              B.10              C.11            D.12

【答案解析】A

22.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为(     )

A.8         B.10       C.12        D.16

【答案解析】D.

23.如图，在▱ABCD中，AD＝16，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于(　　)

A.10                          B.8                             C.6                           D.4

【答案解析】B.

24.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为(       )

A.            B.1                           C.1.5                          D.

【答案解析】A.

25.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝6cm，AC＝8cm，则四边形ADEF的周长等于　　       cm.

【答案解析】答案为：14.

26.如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是　   　cm.

【答案解析】答案为：8.

27.如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于 点F，E为BC的中点，则DE的长为           cm；

【答案解析】答案为：2.

28.如图，四边形ABCD中，∠A＝900，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度最大值为    .

【答案解析】答案为：EF＝3.

29.在△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点.

求证：四边形MNEF是平行四边形．

【答案解析】证明：∵BE，CF是△ABC的中线，

∴EF∥BC且EF＝BC，

∵M是BO的中点，N是CO的中点，

∴MN∥BC且MN＝BC，

∴EF∥MN且EF＝MN，

∴四边形MNEF是平行四边形．

30. (1)如图①，已知BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交.求证：AB＋BC＋AC＝2FG.

(2)若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变(如图②)，线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明.

【答案解析】解：(1)如图1，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，
在△ABF和△MBF中，
∵，
∴△ABF≌△MBF(ASA)
∴MB＝AB
∴AF＝MF，
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG是△AMN的中位线
∴FG＝MN，
＝(MB＋BC＋CN)，
＝(AB＋BC＋AC)．

(2)延长AG交BC于N，延长AF交BC于M

∵AF⊥BD，AG⊥CE，

∴∠AGC＝∠CGN＝90°，∠AFB＝∠BFM＝90°

在Rt△AGC和Rt△CGN中

∠AGC＝∠CGN＝90°，CG＝CG，∠ACG＝∠NCG∴△AGC≌Rt△NGC

∴AC＝CN，AG＝NG

同理可证：AF＝FM，AB＝BM.

∴GF是△AMN的中位线∴GF＝MN.

∵AB＋AC＝MB＋CN＝BN＋MN＋CM＋MN，BC＝BN＋MN＋CM

∴AB＋AC-BC＝MN

∴GF＝MN＝(AB＋AC-BC)；