人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形优秀同步达标检测题

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正方形的性质
如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是( )
A.22.5° B.25° C.23° D.20°
【答案解析】A
如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A.16 B.12 C.24 D.18
【答案解析】A.
如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD度数是( )
A.75° B.60° C.54° D.67.5°
【答案解析】B
如图，有一▱ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上.若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为( )
A.50° B.55° C.70° D.75°
【答案解析】C.
如图，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE＝CA，AE交CD于F，则∠FAC＝ ．
【答案解析】答案为：22.5°
如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为 ．
【答案解析】答案为：3．
如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为 ．
【答案解析】答案为：5.
如图，正方形ABCD中，对角线BD长为15cm．P是线段AB上任意一点，则点P到AC，BD的距离之和等于 cm．
【答案解析】答案为：7.5．
如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.
求证：DE＝BF.

【答案解析】证明：∵∠FAB＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠DAE，
∵∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE，
∴△AFB≌△ADE，
∴DE＝BF.
如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，BC＝4CE.
求证：AF⊥FE.

【答案解析】证明：连接AE，设正方形的边长为 4a.
在Rt△ADF中，AD＝4a，DF＝2a，
据勾股定理得，AF2＝AD2＋DF2，解得AF2＝20a2.
在Rt△ABE中，AB＝4a，BE＝3a，
据勾股定理得，AE2＝AB2＋BE2，解得AE2＝25a2.
在Rt△ECF中，FC＝2a，CE＝a，
据勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，解得EF2＝5a2.
∴AE2＝AF2＋EF2，
∴AF⊥FE.
正方形的判定
如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )

A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
【答案解析】A
小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题.
从下列四个条件:①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD.中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
【答案解析】D
如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是( )
A.四边形ACDF是平行四边形
B.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D.四边形ACDF不可能是正方形
【答案解析】B.
已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A.当AB＝BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC＝90°时，它是矩形
D.当AC＝BD时，它是正方形
【答案解析】D.
如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF面积为________.
【答案解析】答案为：2.
如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE的长为 ．
【答案解析】答案为：2eq \r(2).
如图，已知点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE．
求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)四边形EFPQ是正方形．
【答案解析】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，
，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)，
∴EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP＋∠APF＝90°，
∴∠APF＋∠BPQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形EFPQ是正方形．
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别延长OA、OC到点E、F，使AE＝CF，依次连接B、F、D、E各点.
(1)求证：△BAE≌△BCF；
(2)若∠ABC＝50°，则当∠EBA＝________°时，四边形BFDE是正方形.
【答案解析】证明：(1)在菱形ABCD中，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAE＝∠BCF.
在△BAE与△BCF中，
BA＝BC，∠BAE＝∠BCF，AE＝CF
∴△BAE≌△BCF(SAS).
(2)20.
正方形综合问题
如图，把一张正方形纸对折两次后，沿虚线剪下一角，展开后所得图形一定是( )
A.三角形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【答案解析】B.
如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )
A.30 B.34 C.36 D.40
【答案解析】B.
如图,将边长为eq \r(2)的正方形ABCD沿对角线AC平移,点A移至线段AC的中点A′处,得新正方形A′B′C′D′,新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(1,2) C.1 D.eq \f(1,4)
【答案解析】D
如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是( )
A.7 B.8 C.7eq \r(2) D.7eq \r(3)
【答案解析】C.
如图，正方形CEGF的顶点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AB＝5，CE＝3，连接BG、DG，则图中阴影部分的面积是
【答案解析】答案为：8.
如图，点P的坐标为(2，2)，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°.
下列结论：
①PA＝PB；
②当OA＝OB时四边形OAPB是正方形；
③四边形OAPB的面积和周长都是定值；
④连接OP，AB，则AB＞OP.
其中正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上)
【答案解析】答案为：①②.
如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、CB相交于点C、D.
(1)问PC与PD相等吗？试说明理由.
(2)若OP＝2，求四边形PCOD的面积.
【答案解析】解：(1)结论：PC＝PD.
理由：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP＝∠DEP＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠1＋∠FPD＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠FPE＝90°，
∴∠2＋∠FPD＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP(ASA)，
∴PC＝PD.
(2)∵四边形PCOD的面积＝正方形OEPF的面积，
∴四边形PCOD的面积＝eq \f(1,2)×2×2＝2.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

【答案解析】解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴OE＝OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF，
∴OF＝OM，
∵OM⊥AB，OF⊥AD，
∴AO是∠BAC的角平分线，
即点O在∠BAC的平分线上；
(2)∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(52＋122)＝13，
设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝12，,y＋z＝13，,x＋z＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝10，,z＝3，))
∴OE＝CE＝CF＝2.
如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：∠DPE＝∠ABC；
(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝________°.
【答案解析】证明：(1)在正方形ABCD中，BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°.
在△BCP和△DCP中，
∴△BCP≌△DCP(SAS)．
(2)证明：如图，由(1)知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP＝∠CDP.
∵PE＝PB，
∴∠CBP＝∠E，
∴∠CDP＝∠E.
又∵∠1＝∠2(对顶角相等)，
∴180°﹣∠1﹣∠CDP＝180°﹣∠2﹣∠E，即∠DPE＝∠DCE.
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠ABC，
∴∠DPE＝∠ABC.
(3)58.
如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
(1)探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
(2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；
(3)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
【答案解析】解：(1)OE＝OF．
证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠2．
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3．
∴∠2＝∠3．
∴OE＝OC．
同理可证OC＝OF．
∴OE＝OF．
(2)四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由(1)可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．
(3)当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形(∠ACB＝90°)时，四边形AECF是正方形．
理由如下：∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵由(1)知OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∠1＋∠2＋∠4＋∠5＝180°，
∴∠2＋∠5＝90°，即∠ECF＝90°，
∴▱AECF为矩形，
又∵AC⊥EF．
∴▱AECF是正方形．
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．