高中数学高考 2020-2021学年下学期高三4月月考卷 文科数学 教师版(1)

020-2021学年下学期高三4月月考卷

文科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】，

其在复平面内对应的点在第一象限，故选A．

2．已知集合，，若，则实数k的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】若，即，

又，则，解得，

又，所以当时，实数的取值范围为集合的补集，

即实数k的取值范围为，故选C．

3．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（    ）

A．他们健身后，体重在区间内的人增加了2个

B．他们健身后，体重在区间内的人数没有改变

C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了

D．他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少

【答案】C

【解析】体重在区间内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，

所以人数增加了2个，A正确；

他们健身后体重在区间内的百分比没有变，所以人数没有变，B正确；

他们健身后20人的平均体重大约减少了，C错误；

因为图（2）中没有体重在区间内的比例，所以原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少，D正确，

故选C．

4．设，则“”是“直线和圆有公共点”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】圆，圆心，半径，

若直线与圆有公共点，

则圆心到直线的距离，解得，

，

所以“”是“直线和圆有公共点”的充分不必要条件，

故选A．

5．已知向量，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】已知向量，，则，，

由可得，解得，

故选B．

6．若两个等差数列和的前项和分别是，，已知，则（    ）

A． B． C．7 D．

【答案】B

【解析】由已知得，

故选B．

7．已知函数为自然数对数的底数），若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，，

故，

而显然为减函数，所以，故选D．

8．已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论，其中所有正确结论的序号是（    ）

①函数是奇函数

②的图象关于直线对称

③在上是增函数

④当时，函数的值域是

A．①③ B．③④ C．② D．②③④

【答案】C

【解析】因为，

又的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，

所以，所以，所以，

所以向左平移个单位得到，

横坐标伸长到原来倍得到，

①为非奇非偶函数，故错误；

②，所以是的一条对称轴，故正确；

③因为，所以，

又因为在上先增后减，所以在上不是增函数，故错误；

④当时，，

所以，此时；，此时，

所以的值域为，故错误，

故选C．

9．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻．某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛．若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（    ）

A．北偏东， B．北偏东，

C．北偏东， D．北偏东，

【答案】C

【解析】据题意知，在中，，海里，海里，

所以

，

所以海里，

又，所以，

又因为为锐角，所以，

所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里，故选C．

10．古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出k的值．17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”，类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式求体积（在正四面体中，D表示正四面体的棱长；在正方体中，D表示棱长），假设运用此体积公式求得球（直径为a）、正四面体（正四面体棱长为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为，，，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

如图所示，设正四面体的棱长为，为正四面体的高，

可知正四面体底面高，则，

由勾股定理可得正四面体的高，

所以正四面体的体积，，

，，

，故选B．

11．已知圆，点在直线上运动，若圆上存在两点、，

使得成立，则点运动的轨迹长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】圆的圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离为，故直线与圆相离，

过点作圆的两条切线，切点分别为、，连接、，则，，如下图所示：

由于，则，即，

由切线长定理可得，

，，，

，则，

，，所以，

设点，则，

整理可得，解得，

所以，点的轨迹的长度为，故选D．

12．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，得，

由，得，

曲线与曲线存在公共切线，

则设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，

则，

将代入，可得，

，记，则，

当时，；当时，，

当时，．

的范围是，故选C．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第6列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．

附：第1行至第2行的随机数表

21 16 65 08　90 34 20 76　43 81 26 34　91 64 17 50　71 59 45 06

91 27 35 36　80 72 74 67　21 33 50 25　83 12 02 76　11 87 05 26

【答案】15

【解析】从随机数表的第1行第6列的数字开始，按规则得到的编号依次为50，89，03，42，07，64，38，12，63，49，16，41，75，07，15，94，50，……其中编号在01至20之间的依次为03，07，12，16，07，15，……按照编号重复的删除后一个的原则，可知选出来的第5个个体的编号为15．

故答案为15．

14．国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为______．

【答案】

【解析】设事件表示“该软件能通过第轮考核”，

由已知得，，，，

设事件表示“该软件至多进入第三轮”，

则

，

故答案为．

15．一种药在病人血液中的量保持以上才有疗效；而低于病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时20％的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到）

【答案】

【解析】设应在病人注射这种药经过小时后再向病人的血液补充这种药，

则血液中的含药量与注射后的时间的关系式为，

依题意，可得，整理可得，

所以，即，

由，所以，

故在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效，

故答案为．

16．过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，若，，求的离心率的取值范围为___________．

【答案】

【解析】设右焦点，设一条渐近线的方程为，另一条渐近线的方程为，

由，可得的方程为，

联立方程，即；

联立方程，即，

又，，

解得，

又，，即，解得，

即，故答案为．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等差数列的前项和，满足．

（1）求的值；

（2）设，数列的前项和为，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由题意知，当时，，

当时，由，所以，

当时，由，所以，

因为为等差数列，所以，所以．

（2）由（1）知，，则，

∴，

∴，

上式减下式，得

，

∴，

∵，∴是关于的增函数，即，

又易知，故．

18．（12分）如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设、分别为、的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的侧面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）∵、分别为、的中点，∴，

又平面，平面，∴平面，

在中，，，∴，

又，∴，

∵平面，平面，∴平面，

又，∴平面平面．

（2）∵平面，平面，平面，

由（1）可知，∴，，

∵，，，，

∴，，，

由（1）可知，

在中，，

∴，

又，

在中，，∴边上的高，

∴，

∴三棱锥的侧面积．

19．（12分）某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，

收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．

表中，．

（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到)；

（3）若该图书每册的定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【答案】（1）更适合；（2）；（3）至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元．

【解析】（1）由散点图判断，更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量(单位：千册)的回归方程．

（2）令，先建立y关于u的线性回归方程，

由于，

所以，

所以y关于u的线性回归方程为，

所以y关于x的回归方程为．

（3）假设印刷千册，依题意得，解得，

所以至少印刷11120册才能使销售利润不低于80000元．

20．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）直线过点交抛物线于两点，过点作抛物线的切线与准线交于点，求面积的最小值．

【答案】（1）；（2）4．

【解析】（1）因为是上的点，所以，

化简得，解得或．

因为，所以，

抛物线的方程为．

（2）依题意可知，，直线的斜率存在，故设直线的方程为，

联立，消去可得．

设，，则，，

所以，

由，得，

所以过A点的切线方程为，

又，所以切线方程可化为，

准线为，可得，

所以点，

所以点到直线的距离，

所以，当时，等号成立，

所以面积的最小值为．

21．（12分）已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1），有且定义域为，

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

（2）据题意，对任意的成立，

整理得在恒成立，

设，则，

令，则，

当时，，在上单调递减，

即，

∴当时，，则在上单调递增，

即，故，

即实数的取值范围是．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求的普通方程和的极坐标方程；

（2）求曲线上的点到曲线距离的最小值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由，所以，

得，

消去参数得的普通方程为；

由，得，

整理得曲线的普通方程为，

将，代入得其极坐标方程为．

（2）设曲线上任意一点的坐标为，

则曲线上的点到曲线的距离，

其中，

当时，．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）解不等式；

（2）若为正实数，函数的最小值为，已知，求的最小值．

【答案】（1）；（2）最小值为3．

【解析】（1），

的解集为．

（2）由（1）可知的最小值为，则，

又，

当且仅当时取等号，所以最小值为3．