高中数学高考 2021届高考二轮精品专题八 排列组合、二项式定理（理） 学生版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高考二轮精品专题八 排列组合、二项式定理（理） 学生版(1)，共15页。试卷主要包含了二项式定理，二项式系数的性质，《九章算术》中有一分鹿问题等内容，欢迎下载使用。
     1．排列组合的考查主要以实际生活为背景，以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，通常还会与概率结合进行考查，难度中等．2．二项式定理主要以选择题或者填空题的形式进行考查，常考的内容为，求展开式中特定项的系数，或者已知特定项的系数求参数，以及运用赋值法求特定项系数和的问题．  1．排列、组合的定义排列的定义从个不同元素中取出个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合2．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数组合数定义从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数公式性质，，，正确理解组合数的性质（1）：从个不同元素中取出个元素的方法数等于取出剩余个元素的方法数．（2）：从个不同元素中取出个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素有种方法；②含特殊元素有种方法．3．二项式定理（1）二项式定理： ❶；（2）通项公式：，它表示第项；（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为❷．4．二项式系数的性质（1）①项数为．②各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为．③字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到．（2）二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指，，…，，它只与各项的项数有关，而与，的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与，的值有关．如的二项展开式中，第项的二项式系数是，而该项的系数是．当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的． 
      一、选择题．1．在的展开式中，的系数为（    ）A． B．15 C． D．202．在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（    ）A．63 B． C． D．3．为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（    ）A．540 B．240 C．150 D．1204．高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法种数为（    ）A．4 B．8 C．16 D．245．甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数（    ）A．18 B．24 C．30 D．366．2020年我国实现全面建设成小康社会的目标之年，也是全面打赢脱贫攻坚战之年．某乡镇为了了解本镇脱贫攻坚情况，现派出甲、乙、丙3个调研组到、、、、等5个村去，每个村一个调研组，每个调研组至多去两个村，则甲调研组到村去的派法有（    ）A．48种 B．42种 C．36种 D．30种7．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ）A．56 B．72 C．64 D．848．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆．将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（    ）A．72 B．84 C．96 D．1209．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（    ）A． B． C． D．10．（多选）已知的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（    ）A．  B．展开式中偶数项的二项式系数和为512C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为45 二、填空题．11．记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有________．12．现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是_______．13．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种．（结果用数字表示）14．在二项式的展开式中，含的项的系数为______；各项系数的最小值为______．（结果均用数值表示） 一、填空题．1．本相同的资料书分配给三个班级，要求每班至少一本且至多六本，则不同的分配方法共有_____种． 一、选择题．1．展开式中项的系数为160，则（    ）A．2 B．4 C． D．2．已知随机变量服从二项分布，其期望，当时，目标函数的最小值为，则的展开式中各项系数之和为（    ）A．1 B． C． D．3．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（    ）A． B． C． D．4．某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（    ）A．96种 B．84种 C．78种 D．16种5．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（    ）A．90 B．120 C．210 D．2166．2020年5月22日，国务院总理李克强在发布的2020年国务院政府工作报告中提出，2020年要优先稳就业保民生，坚决打赢脱贫攻坚战，努力实现全面建成小康社会目标任务．为响应党中央号召，某单位决定再加派五名工作人员甲、乙、丙、丁、戊去所负责的A，B，C，D四个村小组帮助指导贫困户脱贫，每个村小组至少派一人，为工作方便，甲不去A小组，乙去B小组，则不同的安排方法有（    ）A．24 B．42 C．120 D．240 二、填空题．7．的展开式中常数项为________．8．数列中，，（），则________．9．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有______种不同的选法．（用数字作答）10．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3中的一个．（i）当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有______种；（ii）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．11．如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．  
 一、选择题．1．【答案】C【解析】由二项式定理得的展开式的通项，令，得，所以，所以的系数为，故选C．【点评】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．2．【答案】B【解析】常数项是，令求各项系数和，，则除常数项外，其余各项系数的和为，故选B．【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项公式的应用．3．【答案】C【解析】根据题意分派到3个贫困村得人数为或，当分派到3个贫困村得人数为时，有种；当分派到3个贫困村得人数为时，有种，所以共有种，故选C．【点评】本题考查了两个计数原理和简单的排列组合问题，属于基础题．4．【答案】B【解析】由题可知，戊站在正中间，位置确定，则只需排其余四人即可，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法有（种），故选B．【点评】本题主要考查了分布分类计数原理，属于基础题．5．【答案】C【解析】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有种，再排除甲乙被分在同一地方的情况共有种，所以不同的安排方法种数是，故选C．【点评】本题考查了排列组合的综合运用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于中档题．6．【答案】D【解析】甲只去1村，则方法为，甲去2个村调查，则方法数有，∴总方法数为，故选D．【点评】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件的过程方法，根据完成事件的方法选择分类计数原理和分步计数原理．7．【答案】D【解析】分两种情况：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有种；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有种，共有84种，故答案为D．【点评】（1）本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．（2）排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．8．【答案】B【解析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有种排法，其中一半是重复的，故此时有12种重复．故共有种，故选B．【点评】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力．9．【答案】B【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务， 基本事件总数，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数，所以大夫、不更恰好在同一组的概率为，故选B．【点评】本题考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．【答案】BCD【解析】由题意，，所以（负值舍去），又展开式中各项系数之和为1024，所以，所以，故A错误；偶数项的二项式系数和为，故B正确；展开式的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；的展开式的通项，令，解得，所以常数项为，故D正确，故选BCD．【点评】本题主要考查了二项式基本定理及其通项，属于基础题． 二、填空题．11．【答案】432【解析】根据题意，，，，，，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则共有个排列，若为偶数的对立事件为“为奇数”，、、全部为奇数，有，故为偶数的排列的个数共有，故答案为432．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．12．【答案】【解析】现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，基本事件总数，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有种，4只次品必有一只排在第五次测试，有种，那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有种．于是根据分步计数原理有种．∴最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率p，故答案为．【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．13．【答案】336【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法；再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，因此所求放法种数为．【点评】本题考查排列组合应用，考查综合分析与求解能力，属中档题．14．【答案】15，【解析】因为二项式，所以，当时，则，含的项的系数为15；当时，则，此时系数最小，最小值为，故答案为15，．【点评】本题考查二项式定理展开式的系数问题，是基础题． 一、填空题．1．【答案】25【解析】先分组，再排序，12本书分三个班级，且每班至少一本且至多六本，可能有1、5、6；2、4、6；2、5、5；3、3、6；3、4、5；4、4、4共6中情况，当一个班分1本，一个班分5本，一个班分6本，不同的方法有种；当一个班分2本，一个班分4本，一个班分6本，不同的方法有种；当一个班分2本，一个班分5本，一个班分5本，不同的方法有种；当一个班分3本，一个班分3本，一个班分6本，不同的方法有种；当一个班分3本，一个班分4本，一个班分5本，不同的方法有种；当一个班分4本，一个班分4本，一个班分4本，不同的方法有种；所以一共有，故答案为25．【点评】本题考查了排列组合，此种情况解题的关键是先分组，再排序，属于中档题． 一、选择题．1．【答案】C【解析】二项式展开式的通项为，令可得二项式展开式中的系数为，∴展开式中的系数为，可得，解得，故选C．【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项，属于基础题．2．【答案】B【解析】根据二项分布期望的定义，可知，得，画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，其中，，，平移直线，当直线经过点时，取最小值，即，于是，令，可得展开式的各项系数之和为，故选B．【点评】本题把二项式定理与线性划结合以及二项分布考查，属于中档题．3．【答案】D【解析】由题可得基本事件总数，第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是，故选D．【点评】本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．4．【答案】B【解析】先确定选的两门，再确定学生选，所以不同的选课方案有故选B．【点评】本题主要考了分步分类计数原理，属于基础题．5．【答案】C【解析】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：种站法；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：种站法；所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是，故选C．【点评】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题．6．【答案】B【解析】当甲、乙在同一小组时，即都在B小组时，则不同的安排方法有：；当甲、乙不在同一小组时，根据题意可以分成组，乙所在的小组去B小组，甲有2种方法，剩下的两人有2种方法，因此有不同的安排方法有：，因此符合题意的不同的安排方法有种方法，故选B．【点评】本题考查了排列组合的应用，考查了数学分析问题能力，属于中档题． 二、填空题．7．【答案】【解析】，展开式中常数项为，故答案为．【点评】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．8．【答案】454【解析】因为，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则，又，，所以原式，故答案为454．【点评】本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量．9．【答案】360【解析】分两类：①只有1名护士，共有：种选法；②有2名护士，共有：种，故共有种选法，故答案为360．【点评】此题考查排列组合的应用，分类讨论方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．10．【答案】4，6【解析】（i）每条边上的三个数字之和为4，填法如图1，共4种；（ii）同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法如图2，共6种．故答案为4，6．【点评】本题考查了简单的排列组合问题，关键是分步和分类，属于基础题．11．【答案】576，264【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有．（2）若，，，用四种颜色，则有；若，，，用三种颜色，则有；若，，，用两种颜色，则有，所以共有264种．故答案为①576；②264．【点评】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．  
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