高中数学高考 2021届高三大题优练5 圆锥曲线之面积取值范围问题（文） 学生版(1)

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     例1．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．（1）求抛物线的方程；（2）直线过点交抛物线于两点，过点作抛物线的切线与准线交于点，求面积的最小值．【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）因为是上的点，所以，化简得，解得或．因为，所以，抛物线的方程为．（2）依题意可知，，直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立，消去，可得．设，，则，．所以，由，得，所以过A点的切线方程为，又，所以切线方程可化为，准线为，可得，所以点，所以点到直线的距离，所以，当时，等号成立，所以面积的最小值为．例2．已知椭圆过点，点为其上顶点，且直线的斜率为．（1）求椭圆的方程；（2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意，设直线，令，则，于是，所以，，故椭圆的方程为．（2）设，且，又，，所以直线，令，，则．直线，令，，则．所以四边形的面积为，所以四边形的面积为定值．例3．已知抛物线上的点到其焦点的距离为，过点的直线与抛物线相交于两点．过原点垂直于的直线与抛物线的准线相交于点．（1）求抛物线的方程及的坐标；（2）设，的面积分别为，，求的最大值．【答案】（1）抛物线方程为，焦点为；（2）1．【解析】（1）因为点到其焦点的距离为，所以，，所以抛物线方程为，焦点为．（2）设，，直线斜率一定存在，设直线方程为，由，得，，，，，抛物线的准线方程为，过作准线的垂线与准线分别交于，与轴分别交于，，，，，时，直线方程为，则，得，即，，所以，，则，设，，则，因为，所以，在上是减函数，所以，所以；时，，，，，，，综上，的最大值是1．
1．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆与圆的公共点．（1）求的方程；（2）直线与交于，两点，点在上，且在这一段曲线上运动（异于端点与），求面积的取值范围．            2．已知椭圆的左、右焦点分别是，，上、下顶点分别是，，离心率，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，，若，试求内切圆的面积．            3．已知椭圆经过点，其长半轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求与的面积分别为，，求的最大值．            4．设O为坐标原点，抛物线与过点的直线相交于两个点．（1）求证：；（2）求面积的最小值．             5．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、．设是椭圆上一点，满足轴，．（1）求椭圆的标准方程；（2）过且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求的面积．           6．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，且．（1）求椭圆的方程；（2）设点为原点，直线，且直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．            7．已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上．记，的面积分别为，，求的取值范围．   
1．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）联立，得，因此的焦点为，设抛物线，则，则，故的方程为．（2）联立，得或，不妨假设，，则．设，则，到直线的距离，因为当时，函数的值域为，所以，则，故面积的取值范围是．2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，又，解得，，所以椭圆的方程为．（2）由，，知的斜率为，因，故的斜率为，则直线的方程为，即，联立，可得，设，，则，，则的面积，由的周长，及，得内切圆，所以的内切圆面积为．3．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，得，∴椭圆的方程为，∵圆经过点，∴，解得，∴圆的方程为．（2）由题意，知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，．由，消去，得．∵，∴，．∵为点关于轴的对称点，∴，∴直线的方程为，即．令，则，∴，∴．∴当且仅当，即时，取得最大值．4．【答案】（1）证明见解析；（2）16．【解析】（1）设直线，设，，联立，消去x，得，，．，，，即．（2）设，代入，得，化简得，，，又O到直线的距离为，，当k不存在时，直线，则易知，，综上可知，的最小值为16．5．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由条件可知，解得，，，所以椭圆的标准方程是．（2）设直线，，，直线与椭圆方程联立，得，，，．6．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）记椭圆的左右焦点为，，又，所以，，又，则，则，又点为椭圆上的一点，所以有，解得，所以椭圆的方程为．（2）由题意，，因为，所以可设直线的方程为，设，，由，得，整理得，所以，，则，则，又点到的距离，所以，当且仅当，即时，等号成立，因为满足，故直线的方程为．7．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵椭圆的离心率为，∴（为半焦距），∵直线与圆相切，∴，又∵，∴，，∴ 椭圆的方程为．（2）∵为线段的中点，∴．（i）当直线的斜率不存在时，由及椭圆的对称性，不妨设所在直线的方程为，得，则，，∴；（ii）当直线的斜率存在时，设直线，，．由，消去，得．∴，即，∴，．∵点在以为直径的圆上，∴，即，∴，∴．化简，得，经检验满足成立，∴线段的中点．当时，，此时．当时，射线所在的直线方程为．由，消去，得，，∴，∴，∴，综上，的取值范围为．