高中数学高考 2021届高三大题优练6 圆锥曲线面积的取值范围问题（理） 教师版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练6 圆锥曲线面积的取值范围问题（理） 教师版(1)，共11页。
     例1．已知椭圆的左、右焦点分别是，，且经过点，直线与轴的交点为，的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若是坐标原点，，两点（异于点）是椭圆上的动点，且直线与直线的斜率满足，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵的周长为，∴，∴．将代入，得，解得，∴椭圆的标准方程是．（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，，将与联立并消去，整理得，则，．∵，∴，∴，化简得，∴或（舍去）．当时，，则，得，，原点到直线的距离，∴，当且仅当，即时取等号，经验证，满足题意，∴面积的最大值是． 
1．已知抛物线，两条直线，分别与抛物线交于，两点和，两点．（1）若线段的中点为，求直线的斜率；（2）若直线，相互垂直且同时过点，求四边形面积的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设，，因为线段的中点为，所以，则，所以，所以，所以直线的斜率．（2）依题意可知，的斜率都存在且不等于0，设的斜率为，因为直线，相互垂直，所以的斜率为，所以直线的方程为，直线的方程为，联立，消去并整理得，恒成立，所以，，所以，同理可得，因为，所以四边形面积，令，则，当且仅当，即时，等号成立．故，其中，利用二次函数的性质知，当时，，所以四边形面积的最小值为．2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，，过点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设分别过点，且互相平行的直线，与椭圆依次交于，，，四点，求四边形面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由，得，即，即，即．由，得，．根据椭圆的焦点弦可知过点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为，得，即，解得，则，故椭圆的标准方程为．（2）设直线，的方程分别为，．联立，消去得，．设，，则，，所以，又直线，之间的距离，所以．令，则，则，当且仅当，即时等号成立，所以四边形面积的最大值为．3．已知抛物线（）的焦点为，准线与轴交于点，过点作圆的两条切线，切点为，，．（1）求抛物线的方程；（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点），求与面积之和的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，圆的圆心，半径．设与轴交于，由圆的对称性可得，于是，，所以，即有，解得，则抛物线的方程为．（2）设直线，，，设，，联立抛物线方程可得，∴，，由，有，解得或2（舍去），即，解得．则有恒过定点，，（当且仅当，即时取等号），∴与面积之和的最小值．4．已知直线与圆相切，动点到与两点距离之和等于，两点到直线的距离之和．（1）设动点的轨迹为，求轨迹的方程；（2）对于椭圆上一点，以为切点的切线方程为．设为上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，，为切点．①求证：直线过定点；②求面积的最大值．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②最大值为．【解析】（1）依题意有为中点，，两点到直线的距离之和为点到直线的距离的2倍，又与圆相切，，即动点到与两点距离之和等于为，动点的轨迹方程为．（2）①．设，，，过，的椭圆切线方程为，，则，，直线方程为，即，显然过定点．②．直线方程为，联立椭圆方程，得，显然，，，，面积．令，，则，当且仅当，时等号成立，故面积的最大值为．5．如图，已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，过点作抛物线的切线交轴于点，过点作平行交轴于点，交直线于点．（1）若，求的最小值；（2）若的面积为，的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线，，，联立，得，得，所以，因为，所以，所以，易知，故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为．（2）不妨设点位于轴下方，由，得．因为直线与抛物线相切，所以直线的斜率，故直线的方程为，令，得，所以，则．又，所以，所以直线的方程为，令，得，故．又，所以，所以，连接，则，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，又易知，所以．6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．（1）求动点的轨迹方程；（2）过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；②求四边形面积的最小值．【答案】（1）；（2）①证明见解析，定点坐标为；②．【解析】（1）设点，依题意，，所以动点的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则，，，动点的轨迹方程是．（2）①若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；设直线的方程为，则直线的方程为，直线、均过椭圆的焦点（椭圆内一点），、与椭圆必有交点．设、，由，由韦达定理可得，则，所以点的坐标为，同理可得点，直线的斜率为，直线的方程是，即，当时，直线的方程为，直线过定点．综上，直线过定点．②由①可得，，，同理可得，所以，四边形的面积为，当且仅当取等号，因此，四边形的面积的最小值为．