高中数学高考 2021届高三大题优练8 导数之恒成立问题（文） 学生版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练8 导数之恒成立问题（文） 学生版(1)，共16页。试卷主要包含了已知，，已知函数，设函数，，已知函数，，已知函数，当时，函数有极值等内容，欢迎下载使用。
     例1．已知，．（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间为；（2）．【解析】（1）解：的定义域为，，令，得或．当x变化时，，变化如下：0200增极大值减极小值增所以的单调递增区间为和，递减区间为．（2）因为定义域为，的定义域为，令()，则，所以当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以，则，所以，故实数的取值范围为．例2．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）在，单调递增，在单调递减；（2）．【解析】（1），，又，时，或；时，，在，单调递增，在单调递减．（2）∵存在使成立，由（1）可得，①当时，，即，令，，，在单调递增，在单调递减，恒成立，即当时，不等式恒成立；(另解：当时，在单调递减，单调递增，．)②当时，在单调递增，，，，综合①②，得．例3．已知函数(，e为自然对数的底数)．（1）当时，求函数的零点；（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）0；（2）．【解析】（1），，设，则，当时，，递减；当时，，递增，所以，所以恒成立，即恒成立，所以在上是增函数，又，所以的零点为0．（2）时，不等式为成立，；时，不等式化为，时，不等式化为．设，则，所以时，递减，，恒成立，；时，递减，，恒成立，，综上的范围是．例4．设函数，．（1）求函数的单调区间；（2）设对于任意，且，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）．【解析】（1）易知的定义域为R，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）当，时，恒成立，即恒成立，设，由题意可知，在上单调递减，即在上恒成立，，，设，则，在上单调递减，，，即． 
1．已知三次函数．（1）若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围．           2．已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．           3．已知函数．（1）证明：当时，函数在区间没有零点；（2）若时，，求的取值范围．           4．已知点在函数(且)上．（1）求函数的单调区间；（2）若，且在上恒成立，求实数a的取值范围．            5．已知函数，．（1）求的单调性；（2）若对于任意，恒成立，求实数a的取值范围．             6．已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）证明当时，关于x的不等式恒成立．               7．已知函数，当时，函数有极值．（1）求实数b、c的值；（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．                8．已知函数．（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的单调区间；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值集合．    
1．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，由题意知，解得，，，．（2）由（1）知，令，得，所以在和上分别单调递增，在上单调递减，而，，，，在区间上，，对于区间上任意两个自变量，，都有，．2．【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）．【解析】（1）当时，，所以．当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极小值，无极大值．（2）因为在上恒成立，所以在上恒成立．当时，恒成立，此时；当时，在上恒成立．令，则．由（1）知时，，即．当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数的取值范围是．3．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：，∵，∴恒成立，在上单调递增，又，∴，都有，∴在区间上没有零点．（2），即，由，得，令，，，令，，，得在单调递减，，从而，，单调递减；，，单调递增，∴，得．4．【答案】（1）递增区间为，递减区间为在；（2）．【解析】（1）∵(且)过点，可得，，∴．，，所以，；，，所以函数的递增区间为，递减区间为在．（2）∵，∴，即恒成立，即，令，可得，当，，函数单调递增；当，，函数单调递减，所以，所以．5．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），令，，在上单调递增．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．（2）令，则，，令，，∴在上递增，∴，当时，，∴ ，单调递增，∴，满足题意；当时，，，，，∴当时，，单调递减，又，此时，不合题意，综上可得．6．【答案】（1）的单调递减区间为，单增区间为；（2）证明见解析．【解析】（1），由，得．又，所以，所以的单调递减区间为，函数的单增区间为．（2）令，所以，因为，所以，令，得，所以当，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值，令，因为，又因为在是减函数，所以当时，，即对于任意正数总有，所以关于的不等式恒成立．7．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由已知当时，，则，所以，又因为，所以．（2）因为存在，使得成立，所以问题可转化为时，，由（1）知，①当时，，令，得或．时，；时，；时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，又，，，所以当时，，得；②当时，，当时，成立；当时，，所以；当时，成立，所以，综上可知：a的取值范围为．8．【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．【解析】（1）由题意知，且，解得，∴．∵的定义域为，即，且函数在上为增函数，，即当时，；当时，，∴的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）（法一）且定义域为，①当时，，此时在上单调递减，当时，，显然不符合题意；②当时，，不合题意；③当时，令，得，即．令，则，所以在上单调递增，则存在，使得，两边同时取对数可得．当时，，；当时，，，∴．令，则．由，得；由，得，从而，所以．又，所以，∴，故的取值集合为．（法二），令，则等价于．设，则．①当时，，此时在上单调递减，因为，所以不恒成立；②当时，在上单调递增，在上单调递减，则．令，则．由，得；由，得，从而，所以．又，所以，∴，故的取值集合为．