2023年湖南省长沙市中考数学模拟试题及答案

这是一份2023年湖南省长沙市中考数学模拟试题及答案，共30页。试卷主要包含了4　．等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前先将密封线左侧的项目填写清楚。
3.答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写，密封线内不得答题。

2023年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）（2023•长沙）下列各数中，比小的数是　　
A． B． C．0 D．1
2．（3分）（2023•长沙）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
3．（3分）（2023•长沙）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）（2023•长沙）下列事件中，是必然事件的是　　
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是
5．（3分）（2023•长沙）如图，平行线，被直线所截，，则的度数是　　

A． B． C． D．
6．（3分）（2023•长沙）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是　　

A． B．
C． D．
7．（3分）（2023•长沙）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的　　
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（3分）（2023•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积是　　
A． B． C． D．
9．（3分）（2023•长沙）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是　　

A． B． C． D．
10．（3分）（2023•长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离是　　

A． B．
C． D．
11．（3分）（2023•长沙）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
12．（3分）（2023•长沙）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是　　

A． B． C． D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2023•长沙）式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是　　．
14．（3分）（2023•长沙）分解因式：　 　．
15．（3分）（2023•长沙）不等式组的解集是　　．
16．（3分）（2023•长沙）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
“摸出黑球”的次数
36
387
2023
4009
19970
40008
“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）
0.360
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是　　．（结果保留小数点后一位）
17．（3分）（2023•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得，则的长是　　．

18．（3分）（2023•长沙）如图，函数为常数，的图象与过原点的的直线相交于，两点，点是第一象限内双曲线上的动点（点在点的左侧），直线分别交轴，轴于，两点，连接分别交轴，轴于点，．现有以下四个结论：
①与的面积相等；②若于点，则；③若点的横坐标为1，为等边三角形，则；④若，则．
其中正确的结论的序号是　　．（只填序号）

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
19．（6分）（2023•长沙）计算：．
20．（6分）（2023•长沙）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）（2023•长沙）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
优秀
21

良好


合格
6

待合格
3


（1）本次调查随机抽取了　　名学生；表中　　，　　；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
22．（8分）（2023•长沙）如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

23．（9分）（2023•长沙）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
24．（9分）（2023•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假” ．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；　　命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；　　命题）
③两个大小不同的正方形相似．　　命题）
（2）如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似．
（3）如图2，四边形中，，与相交于点，过点作分别交，于点，．记四边形的面积为，四边形的面积为，若四边形与四边形相似，求的值．

25．（10分）（2023•长沙）已知抛物线，为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为，求，的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数，，当时，恰好，求，的值．
26．（10分）（2023•长沙）如图，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点的坐标为，，连接并延长与过，，三点的相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）过点作的切线交轴于点．
①如图1，求证：；
②如图2，连接，，，当，时，求的值．


2023年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）下列各数中，比小的数是　　
A． B． C．0 D．1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：，
所以比小的数是，
故选：．
2．（3分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：数据150 0000 0000用科学记数法表示为．
故选：．
3．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可．
【解答】解：、与不是同类项，故不能合并，故选项不合题意；
、，故选项符合题意；
、，故选项不符合题意；
、，故选项不合题意．
故选：．
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是　　
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是
【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解：．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；
．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
．任意画一个三角形，其内角和是，属于必然事件，符合题意；
故选：．
5．（3分）如图，平行线，被直线所截，，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．

6．（3分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是　　

A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的三视图判断即可．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥．
故选：．
7．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的　　
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：．
8．（3分）一个扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积是　　
A． B． C． D．
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：，
故选：．
9．（3分）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案．
【解答】解：在中，，，
，
由作图可知为的中垂线，
，
，
，
故选：．
10．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离是　　

A． B．
C． D．
【分析】过点作，则在中易得的长，再在直角中求出，相加可得的长．
【解答】解：过作于点，
，，（海里）．
在中，，
（海里）．
在中，，
（海里），
．
答：此时轮船所在的处与灯塔的距离是海里．
故选：．

11．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
12．（3分）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是　　

A． B． C． D．10
【分析】如图，作于，于．由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，作于，于．

，
，
，设，，
则有：，
，
或（舍弃），
，
，，，
（等腰三角形两腰上的高相等）
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是　　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
【解答】解：式子在实数范围内有意义，则，
故实数的取值范围是：．
故答案为：．
14．（3分）分解因式：　　．
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：

．
故答案为：．
15．（3分）不等式组的解集是　　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
故答案为：．
16．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
“摸出黑球”的次数
36
387
2023
4009
19970
40008
“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）
0.360
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是　0.4　．（结果保留小数点后一位）
【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，
故摸到白球的频率估计值为0.4；
故答案为：0.4．
17．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得，则的长是　100　．

【分析】先判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，问题得解．
【解答】解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
米．
故答案为：100．
18．（3分）如图，函数为常数，的图象与过原点的的直线相交于，两点，点是第一象限内双曲线上的动点（点在点的左侧），直线分别交轴，轴于，两点，连接分别交轴，轴于点，．现有以下四个结论：
①与的面积相等；②若于点，则；③若点的横坐标为1，为等边三角形，则；④若，则．
其中正确的结论的序号是　①③④　．（只填序号）

【分析】①设点，，构建一次函数求出，坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．
②不一定是等边三角形，故结论不一定成立．
③设，由为等边三角形，推出，可得，推出，根据，构建方程求出即可判断．
④如图，作交于．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：①设点，，
则直线的解析式为，
，，，
，，
与的面积相等，故①正确；
反比例函数与正比例函数关于原点对称，
是的中点，
，
，
，
，，
，，
不一定等于，
不一定是，
不一定是．故②错误，
点的横坐标为1，
可以假设，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，
如图，作交于．
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故答案为①③④．

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
19．（6分）计算：．
【分析】根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算．
【解答】解：原式

．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
优秀
21

良好


合格
6

待合格
3


（1）本次调查随机抽取了　50　名学生；表中　　，　　；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
【分析】（1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数；
（2）根据题意补全条形统计图即可得到结果；
（3）全校2000名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）本次调查随机抽取了名学生，，，
故答案为：50，20，12；
（2）补全条形统计图如图所示；
（3）人，
答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．

22．（8分）如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）由正方形的性质得出，，得出，由证明，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出，得出，因此，由勾股定理得出，在中，由三角形面积即可得出结果．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
．
23．（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【分析】（1）设增长率为，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；
（2）用增长率），计算即可求解．
【解答】解：（1）设增长率为，根据题意，得
，
解得（舍去），．
答：增长率为．

（2）（万人）．
答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
24．（9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假” ．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；　假　命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；　　命题）
③两个大小不同的正方形相似．　　命题）
（2）如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似．
（3）如图2，四边形中，，与相交于点，过点作分别交，于点，．记四边形的面积为，四边形的面积为，若四边形与四边形相似，求的值．

【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断．
（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
（3）四边形与四边形相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明即可．
【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．

（2）证明：如图1中，连接，．

，且，
△，
，，
，
，
，
，
△，
，，，
，，，，，，
四边形与四边形相似．

（3）如图2中，

四边形与四边形相似．
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
25．（10分）已知抛物线，为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为，求，的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数，，当时，恰好，求，的值．
【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式可知，，易得、的值；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是，，，，代入函数解析式，经过化简得到，易得；
（3）由题意知，抛物线为，则．利用不等式的性质推知：，易得．由二次函数图象的性质得到：当时，．当时，．所以，通过解方程求得、的值．
【解答】解：（1）由题可知，抛物线解析式是：．
．
，．

（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是，，，，
代入解析式可得：．
两式相加可得：．
，
；

（3）由（1）可知抛物线为．
．
，当时，恰好，
．
．
，即．
．
抛物线的对称轴是，且开口向下，
当时，随的增大而减小．
当时，．
当时，．
又，
．
将①整理，得，
变形，得．
．
，
．
解得（舍去），．
同理，由②得到：．
，
．
解得，（舍去），（舍去）．
综上所述，，．
26．（10分）如图，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点的坐标为，，连接并延长与过，，三点的相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）过点作的切线交轴于点．
①如图1，求证：；
②如图2，连接，，，当，时，求的值．

【分析】（1）令，可得，则点坐标可求出；
（2）①连接，连接延长交轴于点，由切线的性质可证得，则；
②设，由，可得，由可得，则，综合整理代入可求出的值．
【解答】解：（1）令，
，
；
（2）①证明：如图，连接，连接延长交轴于点，

过、、三点，为顶点，
，，
又，
，
为切线，
，
又，
，
．
②解：设，即，
由切割线定理得：，
，
①，
，
，，
由角平分线定理：，
即：，
②，
由①②得，
整理得：，
，
．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2023/7/9 8:47:46；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521


参考答案到此结束